LISTA 4.

Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Zad. 1: Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

;

1

sin

1

lim

)

;

lim

)

;

ln

lim

)

;

sin

lim

)

2

0

5

0

0













−

−

→

∞

→

→

→

+

x

x

x

d

x

e

c

ctgx

x

b

x

e

e

a

x

x

x

x

bx

ax

x

( )

( )

;

sin

lim

)

;

1

lim

)

0

2

0

tgx

x

x

x

x

f

ctgx

e

e

+

→

→

−

( )

;

lim

)

sin

0

x

x

ctgx

g

+

→

(

)

.

lim

)

/

1

2

0

x

x

x

x

e

h

+

→

Zad. 2: Zapisać wzór Taylora rzędu 4 dla funkcji f(x) w punkcie x

0

, jeśli spełnione są założenia

twierdzenia Taylora:

.

2

,

1

)

(

.

;

1

,

)

(

.

0

0

=

−

=

−

=

=

x

x

x

x

f

b

x

e

x

f

a

x

Zad. 3: Zapisać wzór Taylora rzędu n dla funkcji f(x) w punkcie x

0

, jeśli spełnione są założenia

twierdzenia Taylora:

.

4

,

)

(

.

;

1

,

1

)

(

.

0

0

=

=

−

=

=

x

x

x

f

b

x

x

x

f

a

Zad. 4: Oszacować błędy bezwzględne wzorów przybliżonych:

.

1

,

0

,

3

)

;

1

0

,

!

4

!

3

!

2

1

)

3

4

3

2

≤

+

≈

≤

≤

+

+

+

+

≈

x

x

x

tgx

b

x

x

x

x

x

e

a

x

Zad. 5: Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji f(x) w podanym przedziale:

.

1

;

0

,

1

1

)

(

.

;

2

,

2

2

1

,

)

(

.

2

2

x

x

arctg

x

f

b

e

x

f

a

x

x

+

−

=

−

=

−

Zad. 6: Zbadać następujące funkcje oraz zbudować ich wykresy:

.

.

;

.

;

ln

.

;

2

.

2

3

2

2

x

e

x

y

d

xarctgx

y

c

x

x

y

b

x

x

y

a

−

=

=

=

−

=