LISTA 4.
Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji.
Zad. 1: Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:
;
1
sin
1
lim
)
;
lim
)
;
ln
lim
)
;
sin
lim
)
2
0
5
0
0
−
−
→
∞
→
→
→
+
x
x
x
d
x
e
c
ctgx
x
b
x
e
e
a
x
x
x
x
bx
ax
x
( )
( )
;
sin
lim
)
;
1
lim
)
0
2
0
tgx
x
x
x
x
f
ctgx
e
e
+
→
→
−
( )
;
lim
)
sin
0
x
x
ctgx
g
+
→
(
)
.
lim
)
/
1
2
0
x
x
x
x
e
h
+
→
Zad. 2: Zapisać wzór Taylora rzędu 4 dla funkcji f(x) w punkcie x
0
, jeśli spełnione są założenia
twierdzenia Taylora:
.
2
,
1
)
(
.
;
1
,
)
(
.
0
0
=
−
=
−
=
=
x
x
x
x
f
b
x
e
x
f
a
x
Zad. 3: Zapisać wzór Taylora rzędu n dla funkcji f(x) w punkcie x
0
, jeśli spełnione są założenia
twierdzenia Taylora:
.
4
,
)
(
.
;
1
,
1
)
(
.
0
0
=
=
−
=
=
x
x
x
f
b
x
x
x
f
a
Zad. 4: Oszacować błędy bezwzględne wzorów przybliżonych:
.
1
,
0
,
3
)
;
1
0
,
!
4
!
3
!
2
1
)
3
4
3
2
≤
+
≈
≤
≤
+
+
+
+
≈
x
x
x
tgx
b
x
x
x
x
x
e
a
x
Zad. 5: Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji f(x) w podanym przedziale:
.
1
;
0
,
1
1
)
(
.
;
2
,
2
2
1
,
)
(
.
2
2
x
x
arctg
x
f
b
e
x
f
a
x
x
+
−
=
−
=
−
Zad. 6: Zbadać następujące funkcje oraz zbudować ich wykresy:
.
.
;
.
;
ln
.
;
2
.
2
3
2
2
x
e
x
y
d
xarctgx
y
c
x
x
y
b
x
x
y
a
−
=
=
=
−
=