1. FUNKCJA ODWROTNA

   Twierdzenie

   Niech  f : Rⁿ → R^m będzie funkcją klasy C^k , k ≥ 1. Załóżmy, że $\text{Df}\left( x_{0} \right) = \frac{\delta f(x_{0})}{\text{δx}}$ jest rzędu n, (detDf(x₀) ≠ 0). Wówczas , w pewnym otoczeniu punkty y₀ = f(x₀) istnieje funkcja g(y) = f⁻¹(y), odwrotna do f. Jest ona także klasy C^k.

   Własności:

   - f⁻¹ * f(x) = x

   - I_n = D_x = D(f⁻¹*f(x)) = Df⁻¹(f(x)) * Df(x) ⇒ Df⁻¹(f(x)) = (Df(x))⁻¹

   Tworząc odbicie uzyskujemy funkcję odwrotną:

   

   Przykład

y = f(x) = x² + x,  x ∈ R,  y ∈ R

x₀ = 0,  Df(x) = 2x + 1|=_x = 01 

f(0) = 0 = y₀ Df(0) = 1

$$x^{2} + x - y = 0\ \ \ \ = 1 + 4y,\ x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4y}\ }{2},\ x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}$$

$$dla\ y > - \frac{1}{4}\ istnieje\ f.\ odwrotna\ x = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}$$

Istnienie Funkcji Odwrotnej

f : Rⁿ → R^m f ∈ C^k , k ≥ 1. $\text{Df}\left( x_{0} \right) = \frac{\text{δf}\left( x_{0} \right)}{\text{δx}}$ ma pełny rząd. Wówcas istnieje funkcja odwrotna f⁻¹ : v → U,  y₀ ∈ U,  x₀ ∈ U f⁻¹jest klasy C^k,  a 

f⁻¹ * f(x) = x → Df^−1(f(x)) * D(f) = I_n ⇒ Df⁻¹(f(x)) = D(f(x))⁻¹ to f­^-1 istnieje lokalnie.

Przyklad:

f : R² → R², f(x₁,x₂) = (x₁cosx₂, x₁sinx₂),  x₁ > 0

$$\text{Df}\left( x_{1},x_{2} \right) = \left\lbrack \begin{matrix} \cos x_{2} & - x_{1}\sin x_{2} \\ \text{\ sin}x_{2} & \ x_{1}\cos x_{2} \\ \end{matrix}\ \right\rbrack,\det{\text{Df}\left( x_{1},x_{2} \right) = x_{1} > 0}\backslash n$$

Ponadto istnienie funkcji odwrotnej definiuje istnienie lokalnego dyfeomorfizmu.