Funkcje odwrotne id 182083 Nieznany

background image

1

Złożenie funkcji

Definicja

Załóżmy, że

f : X → Y

,

g : Y → Z

są funkcjami.

Złożeniem funkcji

f

i

g

nazywamy funkcję

h : X → Z

daną

wzorem

h(x) = g(f (x))

.

Złożenie

f

i

g

oznaczamy symbolem

f ◦ g

(

h = f ◦ g

),

funkcję

f

nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję

g

- funkcją

zewnętrzną.

background image

2

Uwaga

Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

Złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.

Złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.

Przykład

Określmy funkcje złożone

f ◦ f

,

f ◦ g

,

g ◦ f

,

g ◦ g

, jeżeli

f (x) = x

2 i

g(x) =

x

.

background image

3

Funkcja odwrotna

Definicja

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją różnowartościową

(injekcją), jeżeli

x

1

,x

2

∈X

( x

1

6= x

2

)

=

f (x

1

) 6= f (x

2

)

!

.

Funkcją różnowartościową będziemy oznaczać:

f : X

11

−→ Y

.

Definicja

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją ”na”

(surjekcją), jeżeli

W

f

= Y

, tzn.

y∈Y

x∈X

y = f (x).

Funkcją ”na” będziemy oznaczać:

f : X

na

−→ Y

.

background image

4

Definicja

Funkcję, która jest jednocześnie ”1-1” i ”na” nazywamy

funkcją

wzajemnie

jednoznaczną

(bijekcją)

i

oznaczamy

f : X

11

−→

na

Y

.

Przykład

Czy funkcje zilustrowane grafami lub wykresami są

różnowartościowe i ”na” ?

background image

5

background image

6

Uwaga

Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową.

Funkcja ściśle monotoniczna jest funkcją różnowartościową.

Przykład

Sprawdźmy, czy funkcja

f (x) =

2x − 3

x + 1

jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

background image

7

Definicja

Niech

f : X → Y

będzie funkcja wzajemnie jednoznaczną.

Funkcję

f

1

: Y → X

nazywamy funkcją odwrotną do funkcji

f

,

jeżeli dla każdego

x ∈ X

i

y ∈ Y

f

1

(y) = x

⇐⇒

y = f (x).

f ◦ f

1

= Id

X

(f ◦ f

1

)(x) = f

1

(f (x)) = f

1

(y) = x

f

1

◦ f = Id

Y

(f

1

◦ f )(y) = f (f

1

(y)) = f (x) = y

background image

8

Uwaga

Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji

danej, odbijając go symetrycznie względem prostej

y = x

.

Przykład

Wyznaczmy funkcję odwrotną do funkcji:

y = x

3

x ∈ R

y = x

2

− x

x ∈ [1, +)

background image

9

Funkcje cyklometryczne

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f :

"

π

2

,

π

2

#

[1, 1]

danej wzorem

f (x) = sin x

nazywamy funkcją arcsin (czyt. arkus

sinus).

arcsin : [1, 1]


π

2

,

π

2


background image

10

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f : [0, π] [1, 1]

danej wzorem

f (x) = cos x

nazywamy funkcją arccos (czyt. arkus

cosinus).

arccos : [1, 1] [0, π]

background image

11

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f :

π

2

,

π

2

!

R

danej

wzorem

f (x) = tg x

nazywamy funkcją arctg (czyt. arkus tangens).

arctg : R


π

2

,

π

2


background image

12

Ćwiczenie

Napisz definicję funkcji arcctg (czyt. arkus kotangens),

jako funkcji odwrotnej do funkcji

f : [0, π] R

danej wzorem

f (x) = ctg x

.

Przykład

Oblicz:

• arcsin (

1
2

)

• arccos

2

2

• arctg (

3)

background image

13

Podstawowe związki między funkcjami cyklometrycznymi

Dla każdego

x ∈ [1, 1]

zachodzi:

arcsin x = arcsin (−x) =

π

2

arccos x

Dla każdego

x ∈ R

zachodzi:

arctg x = arctg (−x) =

π

2

arcctg x

background image

14

Funkcje elementarne

Definicja

Podstawową funkcją elementarną nazywamy funkcję

stałą, potęgową, wykładniczą, logarytmiczną, trygonometryczną lub

cyklometryczną. Funkcję, którą można otrzymać z podstawowych

funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych

oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcją elementarną.

Przykład

Następujące funkcje są funkcjami elementarnymi:

f (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

f (x) =

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

b

m

x

m

+ b

m−1

x

m−1

+ ... + b

2

x

2

+ b

1

x + b

0

f (x) =

3

3x

2

+ 1,

f (x) = log

2

(x + 3),

f (x) = sin(arctg x + 1)

• sh x =

e

x

−e

−x

2

,

ch x =

e

x

+e

−x

2

Przykład

Uzasadnić, że funkcja

f : R [0, +]

dana wzorem

background image

15

f (x) = |x|

jest funkcją elementarną.

Przykład

Przykłady funkcji nieelementarnych:

Funkcja ”signum”:

sgn x =

1

x > 0

0

x = 0

1

x < 0

Funkcja ”część całkowita”:

z(x) = k

jeżeli

x ∈ [k, k + 1),

k ∈ Z

Funkcja Dirichleta:

D(x) =

1

x ∈ Q

0

x ∈ R r Q


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Funkcje tworzace id 182133 Nieznany
Funkcje ksztaltu id 182041 Nieznany
funkcje finansowe id 182166 Nieznany
Funkcja prokreacyjna id 543595 Nieznany
Kinematyka odwrotna id 235013 Nieznany
pochodna funkcji, wyklad id 364 Nieznany
5 ekstrema funkcji id 40709 Nieznany (2)
Funkcja opisujaca pop1 id 18182 Nieznany
Laboratorium nr 4 funkcje cd id Nieznany
7 Funkcjonalizm id 44874 Nieznany (2)
Funkcje 5 id 181902 Nieznany
Funkcje 6 id 181903 Nieznany
funkcje transporterow ABC id 18 Nieznany
AMI 14 Funkcje c d id 59050 Nieznany (2)
5 Badanie funkcji id 39644 Nieznany (2)
generator funkcji (1) id 187188 Nieznany
Pochdne funkcji id 364356 Nieznany

więcej podobnych podstron