Funkcje
Niech X, Y będą ustalonymi zbiorami niepustymi.
Def. Funkcją odwzorowującą (przekształcającą) zbiór X w zbiór Y
nazywamy dowolne przyporządkowanie, które każdemu elementowi
x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y
i zapisujemy f: X → Y.
Elementy x zbioru X nazywamy argumentami, a zbiór X – dziedziną
funkcji. Często dziedzinę funkcji f będziemy oznaczad D

f

. Element y ze

zbioru Y taki, że y=f(x) dla pewnego x ze zbioru X nazywamy wartością
funkcji f dla argumentu x. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną
funkcji f. W przeciwdziedzinie Y wyróżniamy podzbiór f(X), gdzie
i nazywamy go zbiorem wartości funkcji f.
Def.Funkcję f: X → Y nazywamy funkcją odwzorowującą zbiór X
na zbiór Y ( lub inaczej surjekcją) i zapisujemy wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy element zbioru Y jest wartością funkcji f, tzn. f(X)=Y.•

Y

X

f

na

:

}

:

)

(

{

)

(

X

x

x

f

X

f

def

Def. Jeżeli f: X → Y, to wykresem funkcji f nazywamy podzbiór
zbioru X × Y określony równością •
Def. Dwie funkcje nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy
mają tę samą dziedzinę oraz w każdym punkcie dziedziny mają tę
samą wartośd.•
Def. Niech f: X → Y oraz A X, A ≠ ø. Obcięciem funkcji f do
zbioru A nazywamy taką funkcję f

|A

: A → Y, że f

|A

(x) = f(x). •

Def. Funkcję f: X → Y nazywamy różnowartościową ( lub inaczej
injekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy
Definicja Funkcję f: X → Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną( lub
inaczej bijekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona różnowartościowa
i odwzorowuje X na Y. Mówimy wtedy, że funkcja f przekształca
wzajemnie jednoznacznie zbiór X na zbiór Y.

)).

(

)

(

(

2

1

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

X

x

X

x

A

x

)}.

(

:

)

,

{(

x

f

y

Y

X

y

x

W

f

Def. Niech f: D

f

→ Y i g: D

g

→ Z oraz niech f(D

f

) D

g

.

Funkcję h: D

f

→Z określoną wzorem h(x) = g(f(x)) nazywamy złożeniem

funkcji f z funkcją g i oznaczamy symbolem g f. Funkcję f nazywamy
funkcją wewnętrzną, natomiast g – funkcją zewnętrzną złożenia g f.
Uwaga Jeżeli jednak nie jest spełniony warunek f(D

f

) D

g

, ale

jednocześnie zbiór D

h

{x D

f

: f(x) D

g

- jest niepusty, to funkcję

h: D

h

→Z określoną wzorem h(x) = g(f(x)) również nazywamy złożeniem

funkcji f z funkcją g i oznaczamy symbolem g f.
Przykład Wyznaczyd g f oraz f g, jeżeli funkcje f oraz g są określone
wzorami: f(x)= , g(x)=2 x - 4. D

g

= R, więc f(D

f

) D

g

. Funkcja g f

jest zatem określona na D

f

i (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = 2 - 4.

W przypadku złożenia f g mamy g(D

g

) D

f

. Należy zatem sprawdzid,

czy D

h

= {x D

g

: g(x) D

f

- ≠ ø. D

f

= <0, ∞), więc ,x D

g

: g(x) D

f

} =

= {x R: 2x - 4 <0, ∞)- = ,x R : 2x – 4 ≥ 0- = <2,∞) ≠ ø.
Zatem D

f g

= <2,∞) i (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 4) = dla x D

f g

.

x

x



def





x









4

2x









Def. Załóżmy, że funkcja jest funkcją różnowartościową.
Funkcję taką, że
nazywamy funkcją odwrotną względem f.
Z definicji wynika, że jeżeli f: X → Y jest funkcją wzajemnie
jednoznaczną, to
Definicja Niech f: X → Y. Jeżeli X oraz Y są podzbiorami R, to funkcję
f nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej .
W dalszym ciągu będziemy zajmowad się tylko takimi funkcjami.
Zapis f: X → Y nie daje pełnej informacji o funkcji f, gdyż nie zawiera
opisu sposobu przyporządkowania. Z tego powodu będziemy czasem
posługiwad się pełnym zapisem
gdzie y = f(x) jest wzorem opisującym funkcję f.
Jeżeli funkcja f: X → Y, gdzie X ,Y R, jest funkcją wzajemnie
jednoznaczną oraz f

-1

jest funkcją względem niej odwrotną, to wykresy

funkcji f oraz f

-1

są symetryczne do siebie względem prostej y = x.

X

Y

f

na

:

1

)

)

(

)

(

(

1

y

x

f

x

y

f

X

x

Y

y

.

)

)(

(

)

)(

(

1

1

y

y

f

f

oraz

x

x

f

f

Y

y

X

x





,

)

(

:

X

x

dla

Y

x

f

y

x

f

Y

X

f

na

:

Tw. Funkcja f: X → Y ma funkcję odwrotną wtedy i tylko
wtedy, gdy f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Przykład Wyznaczyd funkcję odwrotną do:
1) funkcji f danej wzorem f(x) = 3x – 1
2) funkcji g danej wzorem g(x) = x

2

dla x ≥ 0.

Ad 1) Funkcja jest różnowartościowa, więc istnieje funkcja
do niej odwrotna. Aby znaleźd wzór opisujący funkcję do niej
odwrotną trzeba rozwiązad równanie y = 3x – 1 względem
zmiennej x. Otrzymujemy . Ostatni wzór opisuje właśnie
funkcję odwrotną. Zatem Zamieniając nazwy
zmiennych otrzymujemy
Ad 2) Funkcja jest różnowartościowa, więc istnieje
funkcja do niej odwrotna. Rozwiązując równanie y = x

2

względem

zmiennej x otrzymujemy Ostatni wzór opisuje g

-1

. Zatem

Zamieniając nazwy zmiennych otrzymujemy

.

)

(

3

1

1

x

x

f

.

)

(

3

1

1

y

y

f

3

1

y

x

.

y

x

.

)

(

1

y

y

g

R

R

na

f :

)

,

0

)

0

:

na

g

,

.

)

(

1

x

x

g

Własności funkcji
Niech f: D

f

→ R, D

f

R i g: D

g

→ R, D

g

R.

Def. Funkcję f: D

f

→ R nazywamy funkcją ograniczoną

Def. Funkcję f: D

f

→ R nazywamy funkcją stałą

Def. Niech f: D

f

→ R, A D

f

. Funkcję f nazywamy funkcją:

(a) rosnącą w zbiorze A
(b) niemalejącą w zbiorze A
(c) malejącą w zbiorze A
(d) nierosnącą w zbiorze A
Funkcje zdefiniowane powyżej nazywamy funkcjami monotonicznymi,
natomiast zdefiniowane w punktach (a) i (c)- ściśle monotonicznymi•
Def. Funkcję f: D

f

→ R nazywamy funkcją parzystą

Wykres funkcji parzystej jest osiowo symetryczny względem osi Oy.•

.

)

(

M

x

f

m

f

D

x

M

m

R

R

.

)

(

a

x

f

f

D

x

a R

)).

(

)

(

(

2

1

2

1

,

2

1

x

f

x

f

x

x

A

x

x

)).

(

)

(

(

2

1

2

1

,

2

1

x

f

x

f

x

x

A

x

x

)).

(

)

(

(

x

f

x

f

D

x

f

D

x

f

)).

(

)

(

(

2

1

2

1

,

2

1

x

f

x

f

x

x

A

x

x

)).

(

)

(

(

2

1

2

1

,

2

1

x

f

x

f

x

x

A

x

x

Def. Funkcję f: D

f

→ R nazywamy funkcją nieparzystą

Wykres funkcji nieparzystej jest środkowo symetryczny względem
początku układu.•
Def. Funkcję f: D

f

→ R nazywamy funkcją okresową

liczbę t nazywamy okresem funkcji f.
Def. Jeżeli wśród okresów dodatnich funkcji f istnieje
najmniejszy, to nazywamy go okresem podstawowym i oznaczamy
symbolem T.•
Przykład Rozważmy funkcję f opisaną wzorem
Jest to funkcja okresowa i każda liczba wymierna jest jej okresem.
Jednak wśród liczb wymiernych dodatnich nie istnieje liczba
najmniejsza.

)).

(

)

(

(

x

f

x

f

D

x

f

D

x

f

)).

(

)

(

(

}

0

{

x

f

t

x

f

D

t

x

D

t

x

f

f

D

x

t

f

R

W.

W

x

gdy

x

gdy

x

f

,

0

,

1

)

(

Przekształcenia wykresów
Załóżmy, że znamy wykres W

f

funkcji danej wzorem y = f(x).

1) Wykres funkcji g(x) = f(x) + q powstaje z wykresu W

f

przez

przesunięcie o wektor = *0, q+.
2) Wykres funkcji g(x) = f(x + p) powstaje z wykresu W

f

przez

przesunięcie o wektor = *-p, 0].
3) Wykres funkcji g(x) = k∙f(x ) (k > 0) powstaje z wykresu W

f

przez k-krotne „rozciągnięcie” wzdłuż osi Oy (powinowactwo
prostokątne o skali k i osi Ox).
4) Wykres funkcji g(x) = f(k∙x) (k > 0) powstaje z wykresu W

f

przez 1/k-krotne „rozciągnięcie” wzdłuż osi Ox (powinowactwo
prostokątne o skali 1/k i osi Oy).
5) Wykres funkcji g(x) = - f(x) powstaje z wykresu W

f

przez symetrię

osiową względem osi Ox, natomiast wykres funkcji g(x) = f(-x)
powstaje z wykresu W

f

przez symetrię osiową względem osi Oy.

w

w

Funkcje elementarne
Rozważmy funkcję stałą y = c, c R, funkcję tożsamościową y = x ,
wykładniczą y = a

x

, a > 0 i a ≠ 1 oraz trygonometryczną y = sinx.

Każdą funkcję, którą można otrzymad z wyżej wymienionych przez
dokonanie na nich skooczonej liczby operacji dodawania, mnożenia,
dzielenia, odwracania, składania, obcięcia nazywamy funkcją
elementarną.
Przykłady funkcji nieelementarnych:
( 1) funkcja Dirichleta:

(2) funkcja znaku sgn:

Mówimy, ze D jest dziedziną naturalną funkcji f, jeżeli D jest zbiorem
wszystkich x, dla których funkcja f ma sens, np. dziedziną naturalną
funkcji jest zbiór D = <0,∞).

W.

W

x

gdy

x

gdy

x

f

,

0

,

1

)

(

0.

x

gdy

,

1

0

x

gdy

,

0

0

x

gdy

,

1

)

sgn(

def

x

x

x

f

)

(

Logarytm i jego własności.
Def. Niech a > 0 i a ≠ 1. Logarytmem dodatniej liczby x przy
podstawie a nazywamy taką liczbę y, że a

y

= x. Logarytm liczby x przy

podstawie a oznaczamy symbolem log

a

x.

Symbolicznie możemy zapisad
Jeżeli a = 10, to logarytm nazywamy dziesiętnym i w symbolicznym
zapisie opuszczamy podstawy tzn.
Tw. Dla dowolnych dodatnich liczb x, y, dowolnej liczby
rzeczywistej c oraz dowolnych dodatnich liczb a, b takich, że a, b ≠ 1
prawdziwe są wzory



Wzór 4) oraz wynikający z niego 4’) noszą nazwę wzorów na zamianę
podstaw logarytmów.

.

)

5

log

1

log

)

'

4

log

log

log

)

4

log

log

)

3

log

log

)

(

log

)

2

log

log

)

(

log

)

1

log

x

a

a

b

b

x

x

x

c

x

y

x

y

x

y

x

x

b

a

a

a

b

a

c

a

a

a

y

x

a

a

a

a

a

.

log

x

a

y

x

y

a

.

log

log

10

x

x