Funkcje – ciąg dalszy

Zadanie 1. Wylicz granicę górną i dolną ciągu:

a) a

n

=

 

1 +

(−1)

n

n

2

!

2n

;

b) a

n

=

 

1 +

(−1)

n

2n

!

n

2

;

c) a

n

= sin



2πn

3



;

d) a

n

=

 

1 +

r

3

(n)

n

!

n

, gdzie r

3

(n)– reszta z dzielenia przez 3;

e) a

n

=

n

r

n +



r

3

(n)



n

, gdzie r

3

(n)– reszta z dzielenia przez 3.

Zadanie 2. Sprawdź, czy f : X → Y jest funkcją:

a) X = Y = [0, +∞), f (x) określamy jako y ∈ Y takie, że y

2

− 2y = x;

b) jak w a) dla X = [−100, −10), Y = R;

c) jak w a) dla x = [0, +∞), Y = R.

Zadanie 3. Dla funkcji y = f (x) określić dziedzinę D

f

, zbiór wartości, funkcję odwrotną,

oraz f (A) i f

−1

(B):

a) f (x) =

−2x − 7

3 + x

, A = (−4, 0], B =



−

7

3

, 0



;

b) f (x) =

2x + 2

2x + 1

, A = (−4, 0], B =



−

7

3

, 0



;

c) f (x) =

3x − 1

1 − x

, A = (0, 2], B = [−5, 0);

d) f (x) =

2x + 1

3x − 3

, A = [0, 3), B = (0, 1].

Zadanie 4. Dla funkcji f, g : R → R określić f ◦ g i g ◦ f :

a) f (x) = x

3

, g(x) = sin(2x);

b) f (x) =

3

√

x, g(x) = e

x

;

c) f (x) = x

2

+ x + 1, g(x) = 2

x

− 1;

Zadanie 5. Powołując się na wykresy funkcj elementarnych naszkicować wykresy funkcji:

a) f (x) = 3e

x

+ 2;

b) f (x) = 4 sin(2x);

c) f (x) = − ctg(πx);

d) f (x) = ln |x + 1|;

e) f (x) = e

−4x

;

f ) f (x) = arc sin |x|;

g) f (x) = | arc tg x|;

h) f (x) = |e

x

− 1|;

i) f (x) = 2 tg



x −

π

4



.

Zadanie 6. Czy funkcja f : X → Y jest ”na„

a) f (x) =

1

cos x + 1

, X =



π

2

, π



, Y = (1, +∞);

1

b) f (x) =

1

1 + cos x

, X =



π

2

, π



, Y = h1, +∞);

c) f (x) =

1

1 − cos x

, X =



0,

π

2



, Y = h1, +∞).

Zadanie 7. :

a) f (x) =

1

|x|

, X = Y = (0, +∞);

b) f (x) =

1

|x|

, X = (−∞, −1), Y = h0, 1i;

c) f (x) =

1

|x|

, X = (−∞, −1i, Y = (0, 1i.

Zadanie 8. :

a) f (x) = x

2

− x, X = (1, +∞), Y = R;

b) f (x) = x

2

− x, X = h0, 1i, Y = R;

c) f (x) = sin x

2

, X =



−

r

π

2

,

r

π

2



, Y = h−1, 1i.

2

Funkcje – ciąg dalszy – odpowiedzi

Zadanie 2

a) tak, y = 1 +

√

1 + x ­ 0;

b) nie, bo ∆ < 0 i y nie jest określone;

c) nie, bo y nie jest wyznaczone jednoznacznie.

Zadanie 3

a) f

−1

(y) = −

3y+7

y+2

, f (A) = (−∞, −

7
3

i ∪ (−1, +∞), f

−1

(B) = (−∞, −

7
2

) ∪ h2, +∞);

b) f

−1

(y) = −

2−y

2y−3

, f (A) = (−∞,

6
7

) ∪ h2, +∞), f

−1

(B) = (−1, −

13
20

);

c) f

−1

(y) = −

y+1
y+3

, f (A) = (−∞, −5i ∪ (−1, +∞), f

−1

(B) = (−∞,

1
3

) ∪ h2, +∞);

d) f

−1

(y) = −

3y+1
3y−2

, f (A) = (−∞, −

1
3

i ∪ (

7
6

, +∞), f

−1

(B) = (−∞, −

1
2

) ∪ h4, +∞).

Zadanie 5 a)

b)

c)

d)

1

e)

f)

g)

h)

i)

2