PRZEBIEG FUNKCJI

1. Dziedzina.

a) mianownik ułamka musi być różny od zera

b) wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym musi być większe lub równe zero

c) w przypadku logarytmu w postaci log_ab, podstawa a > 0, a ≠ 1zaś wyrażenie logarytmowane b > 0

przykładowo log₂8 = 3, gdyż 2³ = 8.

Wynika to z interpretacji graficznej logarytmu. Niemożliwe jest np. narysowanie wykresu funkcji y = ( − 2)^x.

d) funkcję tangens rozpatrujemy na przedziale$\ \mathbb{R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\},k\mathbb{\in Z}$

e) funkcję cotangens rozpatrujemy na przedziale ℝ∖{kπ}, k∈ℤ

f) funkcję arcus sinus rozpatrujemy na przedziale $\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rbrack$

g) funkcję arcus cosinus rozpatrujemy na przedziale [0, π]

2. Symetria i okresowość.

a) funkcja jest parzysta, gdy f(x) = f(−x), co oznacza symetrię względem osi Y

b) funkcja jest nieparzysta, gdy f(−x) = −f(x), co oznacza symetrię względem początku układu współrzędnych

c) funkcja, której wartości powtarzają się cyklicznie w stałych odstępach jest okresowa (np. funkcja sinus)

3. Pierwiastki (miejsca zerowe) funkcji.

znalezienie rozwiązań równania f(x)=0

4. Granice i asymptoty.

a) obliczenie granic na krańcach przedziałów np. lim_{x → ±∞}f(x)

b) określić czy funkcja jest ciągła i w jakich przedziałach

c) obliczenie granic z prawej i lewej strony dla pojedynczych punktów wykluczonych z dziedziny, np. w wypadku $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ policzymy granicę przy x dążącym do zera z lewej i z prawej strony. W ten sposób znajdziemy asymptoty pionowe funkcji f.

d) asymptoty ukośne i poziome: Prosta y = ax + b stanowi asymptotę ukośną, funkcji f, gdy:

$$a = \lim_{\rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x},\ b = \lim_{\rightarrow \pm \infty}(f\left( x \right) - ax)$$

Może się zdarzyć, że wartość a będzie równa zero, zaś b = const. i wtedy prosta y = b jest asymptotą poziomą funkcji.

5. Analiza pierwszej pochodnej funkcji.

a) monotoniczność funkcji: ∀x ∈ (a, b)f^′(x) > 0 ⇒ f ↗ w(a, b)

∀x ∈ (a,b)f^′(x) < 0 ⇒ f ↘ w(a, b)

∀x ∈ (a,b)f^′(x) = 0 ⇒ ∀x ∈ (a,b)f(x) = const.

b) lokalne ekstrema:

Warunek konieczny ekstremum funkcji – Twierdzenie Fermata:

Funkcja f może (ale nie musi) mieć lokalne maksimum lub minimum w punkcie x₀ gdy f^′(x₀) = 0 (nie jest to warunek wystarczający, gdyż na przykład dla f(x) = x³,  f^′(x) = 0 ⇔ 3x² = 0 ⇔ x = 0, podczas gdy funkcja f nie posiada żadnego lokalnego minimum, ani maksimum).

Po drugie: funkcja może mieć lokalne ekstremum w x₀ nawet, gdy pochodna w danym punkcie nie istnieje.

Warunek wystarczający ekstremum funkcji:

Funkcja f dana w zbiorze liczb rzeczywistych musi być różniczkowalna (co jest jednoznaczne z tym, że musi być między innymi ciągła w określonym przedziale) w przedziale (x₀−δ,x₀) oraz w (x₀, x₀+δ), a także δ > 0. Wtedy:

Jeśli pochodna funkcji zmienia się z dodatniej na ujemną w x₀ (czyli funkcja f rośnie aż do x₀ i zaczyna maleć), to funkcja f ma lokalne maksimum w punkcie x₀, co zapisujemy w następujący sposób:

$$\left\{ \begin{matrix} \forall x \in \left( x_{0} - \delta,x_{0} \right)f^{'}\left( x \right) > 0 \\ \forall x \in \left( x_{0},\ x_{0} + \delta \right)f^{'}\left( x \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Jeśli pochodna funkcji zmienia się z ujemnej na dodatnią w x₀ (czyli funkcja f maleje aż do x₀ i zaczyna rosnąć), to funkcja f ma lokalne minimum w punkcie x₀, co zapisujemy w następujący sposób:

$$\left\{ \begin{matrix} \forall x \in \left( x_{0} - \delta,x_{0} \right)f^{'}\left( x \right) < 0 \\ \forall x \in \left( x_{0},\ x_{0} + \delta \right)f^{'}\left( x \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

6. Analiza drugiej pochodnej.

wklęsłość i wypukłość funkcji:

Funkcja jest wypukła w przedziale (ang. concave up), gdy jej wykres leży nad liniami stycznymi do punktów z tego przedziału.

Funkcja jest wklęsła w przedziale (ang. concave down), gdy jej wykres leży pod liniami stycznymi.

a) Jeżeli druga pochodna jest dodatnia, to funkcja jest wypukła – concave up – w tym przedziale.

∀x ∈ (a,b)f″(x)>0 ⇒ f jest wypukła w przedziale (a,b)

Jeżeli druga pochodna jest ujemna, to funkcja jest wklęsła – concave down – w tym przedziale.

∀x ∈ (a,b)f^″(x) < 0 ⇒ f jest wklęsła w przedziale (a,b)

b) punkty przegięcia:

Warunek konieczny punktu przegięcia:

Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w danym przedziale oraz x₀ jest punktem przegięcia,
to na pewno f^″(x) = 0 (ale nie jest to warunek wystarczający).

Warunek wystarczający punktu przegięcia:

Funkcja f ma punkt przegięcia, gdy jej wypukłość zmienia się w danym punkcie, czyli:

$$\left\{ \begin{matrix} \forall x \in \left( x_{0} - \delta,x_{0} \right)f^{'}'\left( x \right) > 0 \\ \forall x \in \left( x_{0},\ x_{0} + \delta \right)f^{''}\left( x \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \text{lub}\left\{ \begin{matrix} \forall x \in \left( x_{0} - \delta,x_{0} \right)f^{''}\left( x \right) < 0 \\ \forall x \in \left( x_{0},\ x_{0} + \delta \right)f^{'}'\left( x \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

c) Inny sposób sprawdzenia, czy dany punkt jest lokalnym minimum, czy maksimum:

Funkcja f ∈ C² (jest dwukrotnie różniczkowalna) w sąsiedztwie punktu x₀ oraz f^′(x₀) = 0

jeśli f^″(x₀) > 0 to funkcja ma lokalne minimum w x₀

jeśli f^″(x₀) < 0 to funkcja ma lokalne maksimum w x₀

7. Zebranie informacji na temat pochodnych w tabeli.

x0 – punkt krytyczny	funkcja	max.	min.
		(x0−δ,x0)	x0
f^′(x0) = 0	f″(x)	–	–
	f′(x)	+	0
	f(x)		max.
f^′(x0) nie istnieje	f″(x)	+
	f′(x)	+
	f(x)		max. ostrze

8. Sporządzenie wykresu funkcji na bazie zebranych informacji.