Badanie przebiegu zmienności funkcji

Jeżeli w pewnym punkcie pochodna , to istnieje takie otoczenie punktu , w którym:

Jeżeli pochodna funkcji jest w przedziale O dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale rosnąca (malejąca)


Jeżeli funkcja jest rosnąca (malejąca) w przedziale , to ma pochodną dla każdego

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja ma w punkcie ekstremum i ma w tym punkcie pochodną, to

I warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji
Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie , przy czym

to funkcja ma w punkcie maksimum (minimum) lokalne

II warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różcznikowalna w pewnym otoczeniu punktu i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz , to funkcja ma w punkcie minimum (maksimum) lokalne równe

Zbadaj przedział zmienności podanych funkcji :

a)

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szuakamy asymptot pionowych – ponieważ brak asymptot pionowych

3) szukamy asyptot ukośnych o równaniu zatem funkcja nie posiada asymptot ukosnych ani poziomych

4) monotoniczność

oraz

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada maksimum lokalne w punkcie i wynosi

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła /wflęsła oraz punkt przegięcia

funkcja jest wpukła na przedziale

funkcja jest wklęsła na przedziale

jest punktem przegięcia funkcji

7) sprawdzimy granice na krancach dziedziny

8 ) sprawdizmy gdzie nasza funkcja przecina oś OX

oraz

9) Sprawdzimy gdzie nasza funkcja przecina oś Oy

b)

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie zatem funkcja nie posiada asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu zatem nie istnieje asymptota ukośna ani pozioma

4) monotoniczność

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstrema funkcji funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

zatem funkcja jest wypukła w całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy granice na krańcach przedziałów

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie os OX

nie należy do dziedzinyfunkcji oraz

c)

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szukamy asyptot pionowych w punktach nieciągłości dziedziny prawostronnej oraz obustronnej

zatem nie istnieje asymptota pionowa prawostronna w punkcie

zatem istnieje asymptota pionowa obustronna w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

oraz

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji funkcja nie posiada ekstremum

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkt przegięcia

oraz

funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie oraz nie posiada pounktów przegięcia

7) sprawdzimy granice funkcji na krańcach przedziałów dziedziny

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

9) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OY

d)

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych obustronnych w punkcie

zatem funkcja posiada asymptote pionową obustronną w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

oraz oraz funkcja rosnie na przedziale funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła , wklęsła oraz punkt przegięcia

brak rozwiązań

oraz funkcja jest wklęsła dla

funkcja jest wypukła dla

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oX

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oY

9) sparwdzimy granice na kranczach dziedziny

e)

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych-brak asymptot pionowych ponieważ

3) szukamy asymptot ukośnych

4) monotoniczność

funkcja rośnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji funkcja posiada minimum lokalne właściwe w pkt i wynosi funkcja posiada maksimum lokalne właściwe w pkt i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

funkcja jest wypukła na przedziale

funkcja jest wklęsła na przedziale

punkt przegięcia funkcji oraz

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OY f(0)=0

9) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

f)

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych w punkcie prawostronnej brak asymptoty pionowych

3) szukamy asymptot ukośnych brak asymptot ukośnych i poziomych

4) monotoniczność

funkcja jest rosnąca na przedziale funkcja jest malejąca na przedziale

5) ekstremum funkcji funkcja posiada minimum lokalne właściwe w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

g)

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych obustronyych w punkcie funkcja posiada asymptotę pionową prwawostronną w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych zatem funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

brak pierwiastkówzatem funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny