Anna S ˛

aczewska-Piotrowska

Badanie zmienno´sci funkcji

Badanie zmienno´sci funkcji

Celem badania zmienno´sci funkcji jest uzyskanie mo˙zliwie wyczerpuj ˛

acych informacji o danej funkcji.

Badanie mo˙ze przebiega´c według nast˛epuj ˛

acego schematu:

1. Okre´slenie dziedziny funkcji.

2. Okre´slenie podstawowych własno´sci funkcji: ci ˛

agło´s´c, parzysto´s´c, nieparzysto´s´c, okresowo´s´c oraz

wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.

3. Obliczenie granic funkcji na brzegach dziedziny.

4. Wyznaczenie równa´n asymptot funkcji.

5. Okre´slenie przedziałów monotoniczno´sci funkcji i znalezienie ekstremów.

6. Okre´slenie przedziałów wkl˛esło´sci i wypukło´sci oraz wyznaczenie punktów przegi˛ecia.

7. Sporz ˛

adzenie tabeli zmienno´sci - zebranie informacji uzyskanych w punktach od 1 do 6.

8. Sporz ˛

adzenie wykresu funkcji na podstawie tabeli zmienno´sci funkcji.

Przykład 0.1. Zbada´c funkcj˛e

f (x) =

x

3

(1 + x)

2

.

1. Dziedzin ˛

a badanej funkcji jest zbiór:

D

f

= {x ∈ R : x 6= 1} = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞).

2. W ka˙zdym punkcie tego zbioru funkcja jest ci ˛

agła, poniewa˙z jest ilorazem funkcji ci ˛

agłych.

Funkcja nie jest parzysta, poniewa˙z

f (−x) =

(−x)

3

(1 − x)

2

6= f (x)

oraz nie jest nieparzysta, poniewa˙z

f (x) = −

x

3

(1 + x)

2

6= f (−x).

Funkcja nie jest okresowa, poniewa˙z dla T 6= 0 jest

f (x + T ) =

(x + T )

3

(1 + x + T )

2

6= f (x).

Miejscem zerowym funkcji jest x = 0.
3. Obliczamy granice w niesko´nczono´sci:

lim

x→−∞

x

3

(1 + x)

2

= −∞,

lim

x→+∞

x

3

(1 + x)

2

= +∞.

Brzegiem dziedziny jest równie˙z punkt x = −1. Zachowanie si˛e funkcji w otoczeniu punktu x = −1
ustalamy, znajduj ˛

ac granice:

lim

x→−1

−

x

3

(1 + x)

2

= −∞,

lim

x→−1

+

x

3

(1 + x)

2

= −∞.

1

Anna S ˛

aczewska-Piotrowska

Badanie zmienno´sci funkcji

4. Wykres funkcji f ma asymptot˛e pionow ˛

a o równaniu x = −1. Wynika to z rozwa˙za´n w punkcie 3.

Sprawdzamy tak˙ze, czy wykres tej funkcji ma równie˙z asymptot˛e uko´sn ˛

a. Skoro

a =

lim

x→−∞

x

3

x(1 + x)

2

=

lim

x→+∞

x

3

x(1 + x)

2

= 1,

b =

lim

x→−∞



x

3

(1 + x)

2

− x



=

lim

x→+∞



x

3

(1 + x)

2

− x



= −2,

wi˛ec równanie asymptoty uko´snej jest postaci y = x − 2.
5. Obliczamy pierwsz ˛

a pochodn ˛

a funkcji

f

0

(x) =

3x

2

(1 + x)

2

− x

3

2(1 + x)

(1 + x)

4

=

3x

2

(1 + x) − 2x

3

(1 + x)

3

=

x

2

(x + 3)

(1 + x)

3

oraz jej miejsca zerowe x = −3, x = 0, a nast˛epnie badamy znak pochodnej:

x

(−∞, −3)

−3

(−3, −1)

−1

(−1, 0)

0

(0, +∞)

f

0

(x)

+

0

−

x

+

0

+

f (x)



max

@

R

x



0



6. Obliczamy drug ˛

a pochodn ˛

a funkcji

f

00

(x) =

(3x

2

+ 6x)(1 + x)

3

− (x

3

+ 3x

2

)3(1 + x)

2

(1 + x)

6

=

6x

(1 + x)

4

.

Druga pochodna jest równa zero, gdy x = 0. Badamy znak pochodnej

x

(−∞, −1)

−1

(−1, 0)

0

(0, +∞)

f

00

(x)

−

x

−

0

+

f (x)

∩

x

∩

p.p.

∪

7. Sporz ˛

adzamy tabel˛e zmienno´sci, w której zamieszczamy informacje z punktów od 1 do 6:

x

(−∞, −3)

−3

(−3, −1)

−1

(−1, 0)

0

(0, +∞)

f

0

(x)

+

0

−

x

+

0

+

f

00

(x)

−

−

−

x

−

0

+

max

p.p.

+∞

f (x)

−∞

−6, 75

−∞

x

−∞

0

2

Anna S ˛

aczewska-Piotrowska

Badanie zmienno´sci funkcji

8. Sporz ˛

adzenie wykresu funkcji (wygodnie jest go zacz ˛

a´c od narysowania lini ˛

a przerywan ˛

a asymptot)

Rys. 1. Wykres funkcji f (x) =

x

3

(1+x)

2

3