(3656) przebieg zmiennoci funkcji[1]

background image

PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI


Przykład 1.

f(x)=

2

1

3

x

x

1. Dziedzina i miejsca zerowe

Dziedzina :

1-x

2

≠0

x

≠1 ∨

x

≠-1

Miejsca zerowe:

2

1

3

x

x

=0

x=0.


2. Granice i asymptoty

+∞

=

=

1

2

1

lim

2

1

3

lim

x

x

x

x

x

x

,

−∞

=

+

=

+

1

2

1

lim

2

1

3

lim

x

x

x

x

x

x

,

+∞

=

2

1

3

1

lim

x

x

x

,

−∞

=

+

2

1

3

1

lim

x

x

x

,

+∞

=

2

1

3

1

lim

x

x

x

,

−∞

=

+

2

1

3

1

lim

x

x

x

.


Asymptoty poziome:

brak,


Asymptoty pionowe:

x=-1, x=1,


Asymptota ukośna:

a=

1

2

1

2

lim

2

1

3

lim

)

(

lim

=

=

 −

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

,

Arkadiusz Lisak

1

background image

b=

(

)

0

2

1

lim

2

1

3

3

lim

2

1

3

lim

)

(

lim

=

=

+

=



+

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ax

x

f

x

y=ax+b, więc

y=-x.


3. Pochodna funkcji

(

)

2

2

1

2

3

2

2

2

1

4

2

3

2

2

1

4

2

4

3

2

3

2

2

1

2

3

2

1

2

3

)

(

'

=

=

+

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f


4. Ekstrema i monotoniczność funkcji

f’(x)=0

x

2

(3-x

2

)=0

x=0

x=

3

x= -

3

f’(x)>0

x

2

(3-x

2

)>0

f’(x)<0

x

2

(3-x

2

)<0

3-x

2

>0

3-x

2

<0

(

)(

)

x

x

+

3

3

>0

(

)(

)

x

x

+

3

3

<0

(

)

3

,

3

x

(

) (

)

+∞

,

3

3

,

x


f rośnie w przedziale

(

)

3

,

3

, zaś maleje w przedziale

(

) (

)

+∞

,

3

3

,

.


f osiąga minimum w punkcie

3

, zaś maksimum w punkcie 3 .

( )

2

3

3

3

1

3

3

3

min

=

=

f

( )

2

3

3

3

1

3

3

3

max

=

=

f

.

Arkadiusz Lisak

2

background image

5. Tabelka

-

3

-1 0 1

3

+

f’(x)

- 0 +

+ 0 +

+ 0 -

f(x)

+

min

2

3

3

+





0

+





max

2

3

3

-


6. Wykres







2

3

3




3

-1

1 3






2

3

3





Arkadiusz Lisak

3

background image

Przykład 2.

( )

2

1

x

x

x

f

=


1. Dziedzina i miejsca zerowe

Dziedzina:

0

x


Miejsce zerowe:

1

=

x


2. Granice i asymptoty

0

1

lim

2

=

−∞

x

x

x

0

1

lim

2

=

+∞

x

x

x

+∞

=

2

0

1

lim

x

x

x

+∞

=

+

2

0

1

lim

x

x

x

Asymptota pozioma:

0

=

y


Asymptota pionowa:

0

=

x


3. Pochodne funkcji

( )

(

)

(

)

3

4

4

2

4

2

2

4

2

2

2

2

2

2

1

2

'

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

=

=

=

+

=

=

( )

(

)

(

)

(

)

4

6

2

6

3

2

6

2

3

3

6

2

3

3

2

3

2

2

6

6

3

2

3

''

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

=

=

=

+

=

=


4. Ekstrema i monotoniczność funkcji

f’(x)=0

x=2

)

f’(x)>0

x

3

(x-2)>0

f’(x)<0

x

3

(x-2)<0

x(x-2)>0

x(x-2)<0

(

) (

+∞

,

2

0

,

x

( )

2

,

0

x


f rośnie w przedziale

(

) (

)

+∞

,

2

0

,

, zaś maleje w przedziale

( )

2

,

0

.


f osiąga minimum w punkcie 2.

( )

4

1

min

2

=

f

Arkadiusz Lisak

4

background image

5. Punkty przegięcia i wypukłość

f’’(x)=0

x=3

f’’(x)>0

x<3


f’’(x)<0

x>3


f jest wypukła w górę (wypukła) w przedziale

, jest wypukła

w dół (wklęsła) w przedziale

(

) {

0

\

3

,

}

(

)

+∞

,

3

.


f ma punkt przegięcia dla x=3.

( )

9

2

3

=

pp

f


6. Tabelka

-

0

1 2 3 +

f’(x)

+ +

- - - 0 + + + +

f’’(x)

+ +

+ + + + + 0 - -

f(x)

0

+


+


0

min

4

1

pp

9

2

0


7. Wykres









1 2 3

9

2

4

1


Arkadiusz Lisak

5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
przebieg zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przebieg zmiennosci funkcji Z Zadanie domowe id 834520
AMI 21.1. Przebieg zmienności funkcji. Zbadać
Przebieg zmiennosci funkcji Z Rozwiazanie zadania domowego id
Elementy przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie de l’Hospitala, Analiza matematyczna
AMI 21 1 Przebieg zmienności funkcji Zbadać
Badanie przebiegu zmiennosci funkcji
Przebieg zmienności funkcji
8 badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji obejmuje trzy etapy, Badanie przebiegu zmienności funkcji obejm
Badanie przebiegu zmienności funkcji
AMI 21 1 Przebieg zmienności funkcji Zbadać
AMI 21 Przebieg zmienności funkcji
AMI 21 Przebieg zmiennosci fun Nieznany (2)
elementy przebiegu zmienności f , wyklad

więcej podobnych podstron