zbadać przebieg zmienności funkcji:

1. Wyznaczenie dziedziny:

2. Znalezienie punktów przecięcia z osiami:

- należy przyrównać funkcję do 0:

stąd:

- należy obliczyć wartość funkcji dla

stąd:

3. Granice na krańcach przedziałów określoności
Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem krańcami przedziałów określoności są oraz ; należy obliczyć granice:


4. Asymptoty:

pionowe: ponieważ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, asymptoty pionowe nie istnieją
ukośne (czyli również poziome - asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, której współczynnik jest równy 0):

prawostronna:


ponieważ granica określająca współczynnik jest równa , asymptota ukośna prawostronna nie istnieje.

lewostronna:


podobnie jak wyżej, asymptota ukośna lewostronna nie istnieje.

5. własności związane z pierwszą pochodną

Monotoniczność oraz ekstrema funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą pierwszej pochodnej. Istnieją również inne metody; zostaną one przedstawione w dalszej części artykułu. Ponieważ funkcja jest różniczkowalna, warunkiem wystarczającym aby funkcja była monotoniczna w danym przedziale jest stałość znaku pochodnej w tym przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale, w którym pochodna jest ujemna. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie jest . Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum jest spełnianie przez pochodną określonych warunków w otoczeniu jej miejsca zerowego. Najpierw zostaną wyznaczone przedziały, w których pochodna ma stały znak lub wartość zerową:



Oznacza to, że funkcja jest monotoniczna rosnąca w przedziale

oraz

monotoniczna malejąca w przedziale



natomiast punktami podejrzanymi o istnienie ekstremów są

oraz

W celu stwierdzenia, czy w punkcie podejrzanym znajduje się ekstremum, można skorzystać z wniosków wyciągniętych z definicji:

Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Na tej podstawie można wyciągnąć oczywiste wnioski,

Stosując powyższe twierdzenia do punktu , można otrzymać wniosek:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest dodatnia, natomiast na prawo jest ujemna - zatem w punkcie znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to maksimum;

analogicznie dla punktu :
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia - zatem w punkcie znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to minimum.

Istnieje możliwość zbadania istnienia ekstremum oraz jego rodzaju (maksimum lub minimum) za pomocą drugiej pochodnej, co zostanie opisane poniżej.

6. własności związane z drugą pochodną


Warto najpierw powrócić do zagadnienia badania ekstremów za pomocą drugiej pochodnej. Taka możliwość istnieje w przypadku gdy funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna. Podany wcześniej odnośnik wspomina o kryterium istnienia ekstremum w zależności od drugiej pochodnej:
a) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość większą od 0, w punkcie jest minimum
b) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość mniejszą od 0, w punkcie jest maksimum
c) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość zerową, przypadek jest nierozstrzygnięty - może tam istnieć zarówno ekstremum dowolnego rodzaju, jak i punkt przegięcia.

Dowód powyższych własności można znaleźć w podręczniku (nie: zbiorze zadań) analizy matematycznej.

Stosując powyższe kryterium do punktów oraz , można otrzymać

zatem w punkcie istnieje ekstremum i jest to maksimum, co jest zgodne z wynikiem uzyskanym za pomocą poprzedniej metody.

zatem w punkcie istnieje ekstremum i jest to minimum.

Wypukłość i punkty przegięcia funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą drugiej pochodnej. Podobnie jak wcześniej, istnieją również inne metody, które zostaną przedstawione w dalszej części artykułu.

Funkcja jest wypukła w górę (wklęsła) gdy druga pochodna jest mniejsza od 0 oraz wypukła w dół (wypukła) gdy druga pochodna jest większa od 0. Warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest , ale podobnie jak poprzednio nie jest to warunek wystarczający. Z definicji punktu przegięcia, istnieje on wtedy gdy funkcja zmienia w tym punkcie wypukłość, musi zatem znajdować się pomiędzy przedziałami o różnej wypukłości. Najpierw należy wyznaczyć odpowiednie przedziały:



Oznacza to, że funkcja jest wypukła w dół dla oraz wypukła w górę dla . Ponieważ w punkcie następuje zmiana wypukłości, istnieje tam punkt przegięcia.

7. Na podstawie zgromadzonych danych należy wykonać tabelkę przebiegu zmienności funkcji.

a) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szuakamy asymptot pionowych – ponieważ   brak asymptot pionowych

3) szukamy asyptot ukośnych o równaniu

zatem funkcja nie posiada asymptot ukosnych ani poziomych

4) monotoniczność

oraz

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada maksimum lokalne w punkcie i wynosi

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła /wflęsła  oraz punkt przegięcia

funkcja jest wpukła na przedziale

funkcja jest wklęsła na przedziale

jest punktem przegięcia funkcji

7) sprawdzimy granice na krancach dziedziny

8 ) sprawdizmy gdzie nasza funkcja przecina oś OX

oraz

9) Sprawdzimy gdzie nasza funkcja przecina oś Oy

b) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie

zatem funkcja nie posiada asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie 

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu

zatem nie istnieje asymptota ukośna ani  pozioma

4) monotoniczność

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

zatem funkcja jest wypukła w całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy granice na krańcach przedziałów

8 )  sprawdzimy gdzie funkcja przetnie os OX

nie należy do dziedzinyfunkcji oraz

c) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szukamy asyptot pionowych w punktach nieciągłości dziedziny prawostronnej oraz obustronnej

zatem nie istnieje asymptota pionowa prawostronna w punkcie

zatem istnieje asymptota pionowa obustronna w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

 oraz  

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji

funkcja nie posiada ekstremum

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkt przegięcia

oraz

funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie oraz nie posiada pounktów przegięcia

7)  sprawdzimy granice funkcji na krańcach przedziałów dziedziny

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie się z osią OX

9) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie się z osią OY

d) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych obustronnych w punkcie

zatem funkcja posiada asymptote pionową obustronną w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

oraz oraz funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła , wklęsła oraz punkt przegięcia

 brak rozwiązań

oraz funkcja jest wklęsła dla

funkcja jest wypukła dla

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oX

8 )   sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oY

9) sparwdzimy granice na kranczach dziedziny

e) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych-brak asymptot pionowych ponieważ 

3) szukamy asymptot ukośnych

4) monotoniczność

funkcja rośnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne właściwe w pkt i wynosi

funkcja posiada maksimum lokalne właściwe w pkt i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

funkcja jest wypukła na przedziale

funkcja jest wklęsła na przedziale

punkt przegięcia funkcji oraz

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 )   sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OY

f(0)=0

9) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

f) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych w punkcie prawostronnej

brak asymptoty pionowych

3) szukamy asymptot ukośnych

brak asymptot ukośnych i poziomych

4) monotoniczność

funkcja jest rosnąca na przedziale

funkcja jest malejąca na przedziale

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne właściwe w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny

g) zbadać przebieg zmienności funkcji:

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji

2) szukamy asymptot pionowych obustronyych w punkcie

funkcja posiada asymptotę pionową prwawostronną w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych

zatem funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

funkcja rosnie na przedziale

funkcja maleje na przedziale

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

brak pierwiastkówzatem funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią OX

8 ) sprawdzimy granice funkcji na krańcach dziedziny