Lista 1

?

?

?

Badanie przebiegu zmienno´sci funkcji.

TEORIA

Badanie zmienno´sci funkcji nale˙zy przeprowadza´c według nast ˛epuj ˛acego wzoru:

1. okre´slamy dziedzin ˛e funkcji,

2. badamy zachowanie funkcji w kra´ncach okre´slono´sci,

3. znajdujemy miejsca zerowe,

4. okre´sliamy zbiory, na których funkcja jest ró˙zniczkowalna (czy istnieje f’, f” itd.) ,

5. badamy granice pochodnej (i by´c mo˙ze drugiej pochodnej) na kra´ncach jej dziedziny,

6. znajdujemy punkty krytyczne funkcji (miejsca zerowe pochodnej),

7. badamy monotoniczno´s´c funkcji (znak pierwszej pochodnej),

8. znajdujemy ekstrema lokalne, liczymy warto´sci jakie funkcja przyjmuje w tych punk-

tach,

9. badamy wypukło´s´c funkcji i punkty przegi ˛ecia, liczymy warto´sci w punktach przegi ˛ecia,

10. badamy asymptotyk ˛e funkcji,

11. sporz ˛adzamy wykres funkcji.

( ´

Zródło: "Wykład analizy matematematycznej cz ˛e´s´c 1", Wojciech Kryszewski)

ZADANIA

1. Wyznaczy´c dziedzin ˛e nast ˛epuj ˛acych funkcji:

a. y

= 1 − logx,

b. y

= 1 −

√

1 − x

2

,

c. y

=

1

x

2

−1

,

1

d. y

=

x

√

x

2

−3x

+2

,

e. y

= log

x

2,

f. y

= arcsin

√

2x,

g. y

=

√

x

+

3

q

1

x−

2

− log(2x − 3),

h. y

= logsinx.

2. Znale´z´c ekstrema lokalne nast ˛epuj ˛acych funkcji:

a. y

= x

3

− 2ax

2

+ a

2

x

, dla a > 0,

b. y

= x +

√

1 − x,

c. y

= x

2

e

−x

,

d. y

=

1

+3x

√

4

+5x

2

,

e. y

= x − ln(1 + x),

f. y

= 2x − ln(2x + 3),

g. y

= sin

3

x

,

h. y

= 4arctgx − lnx,

i. y

=

5

√

x

2

− x,

j. y

=

x

lnx

.

3. Wyznaczy´c przedziały monotoniczno´sci nast ˛epuj ˛acych funkcji:

a. y

= (x − 2)

5

(2x

+ 1)

4

,

b. y

= (x − 6)

√

x

,

c. y

=

1−x

+x

2

1

+x+x

2

,

d. y

=

10

4x

3

−9x

2

+6x

,

e. y

= x − 2sinx, dla 0 6 x 6 2π,

f. y

= ln(x +

√

1

+ x

2

),

g. y

= x − 3

3

√

x

,

h. y

= xe

x

2

,

i. y

= ln

2

x

+ lnx,

j. y

= 2sinx + cos2x, dla 0 6 x 6 2π.

4. Znale´z´c najwi ˛eksze i najmniejsze warto´sci danych funkcji:

a. y

= x

4

− 2x

2

+ 5 w przedziale [−2, 2],

b. y

= x + 2

√

x

w przedziale [0, 4],

c. y

=

1−x

+x

2

1

+x−x

2

w przedziale [0, 1],

2

d. y

= (x − 2)

2

x

2

w przedziale [−2, 3,

e. y

=

1

x

2

+1

w przedziale [−2, 1],

f. y

= x

2

e

x

w przedziale [−3, 1],

g. y

= (x + 2)e

1

x

w przedziale [−2, −

1
2

],

h. y

=

√

x − x

w przedziale [0, 4],

i. y

= sin2x − x w przedziale [−

π
2

;

π
2

].

5. Zbada´c przedziały wypukło´sci

/wkl˛esło´sci nast˛epuj˛acych funkcji:

a. y

= x

3

,

b. y

= xlnx,

c. y

=

lnx

√

x

,

d. y

= ln(1 + x

2

),

e. y

= x

4

− 6x

2

,

f. y

= (x

2

+ 1)e

x

,

g. y

= xe

−4x

,

h. y

= arcsin(

1−x

2

1

+x

2

).

6. Znale´z´c równania asymptot danych krzywych:

a. y

=

x

2

+

2

x

,

b. y

=

x

2

−3x

+2

x

2

+3x+2

,

c. y

= (x +

1

x

+2

)arcctgx,

d. y

= x +

lnx

x

,

e. y

=

1

e

2x

−1

,

f. y

= e

1

x

− x,

g. y

=

√

x

2

− 4x,

h. y

= xarctg

1

x

i. y

= 4x − tgx w przedziale (−

π
2

,

π
2

).

7. Zbada´c przebieg zmienno´sci i narysowa´c wykresy nast ˛epuj ˛acuch funkcji:

(a) y

= x

3

+ x

2

− 16x − 16,

(b) y

=

5

(2x

+1)

2

,

(c) y

=

3

√

x

2

e

x

,

(d) y

=

x

2

−x−4

x−

1

,

(e) y

= x + 2

√

−x,

3

(f) y

= (x + 2)

2
3

− (x − 2)

2
3

,

(g) y

= xe

−2x

,

(h) y

= x

q

2−x
2

+x

,

(i) y

= x

√

−x

2

+ 8x + 14,

(j) y

= x

2

√

36 − x

2

,

(k) y

= cos

2

x

+ 2sin

2

x

,

(l) y

= sin

2

xcosx

,

(m) y

=

√

1 − cosx,

(n) y

=

(x−3)

2

4(x−1)

,

(o) y

=

q

x

3

x−

2

,

(p) y

=

1
2

q

x

(x

2

−4)

2

,

(q) y

= lncosx,

(r) y

=

4x

+4

x

2

− 2,

(s) y

= e

−x

2

,

(t) y

=

12

1

+3e

− x

2

,

(u) y

= e

−x

sinx

.

4