Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Twierdzenie Lagrange’a: Jeżeli
1.
f jest ciągła w [a,b],
2.
f jest różniczkowalna w (a,b),
to
∃
c
∈
(a,b) : f(b)-f(a)=f
’
(c) (b-a).
Dowód. Wystarczy rozpatrzyć funkcję
−
−
−
+
−
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
t
a
b
a
f
b
f
a
f
t
f
t
ϕ
, t
∈
[a,b], która
spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd istnieje c
∈
(a,b) takie, że
0
)
(
=
′
c
ϕ
. Stąd otrzymujemy
0
)
(
)
(
)
(
)
(
'
=
−
−
−
=
′
a
b
a
f
b
f
c
f
c
ϕ
, co implikuje tezę.
Interpretacja i wnioski
W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna (
)
(c
f
′
to współczynnik
kierunkowy stycznej) jest równoległa do siecznej (
a
b
a
f
b
f
−
−
)
(
)
(
to współczynnik kierunkowy
siecznej).
Z tw. Lagrange’a:
x
c
f
x
f
x
x
f
f
∆
⋅
′
=
−
∆
+
=
∆
)
(
)
(
)
(
0
(
)
}
,
max{
},
,
min{
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
c
∆
+
∆
+
∈
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)=0 ⇒ f stała w (a,b)
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)>0 ⇒ f
rosnąca w (a,b)
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)<0 ⇒ f
malejąca w (a,b)
Dowód.
2
1
x
x
<
)
)(
(
)
(
)
(
1
2
1
2
x
x
c
f
x
f
x
f
−
′
=
−
0
)
(
>
′
c
f
zawsze (bo taki przypadek
rozpatrujemy),
0
1
2
>
−
x
x
z założenia, a więc
0
)
(
)
(
1
2
>
−
x
f
x
f
, czyli f rosnąca.
Ekstrema funkcji
Niech funkcja f : Ot(x
0
,
δ
0
)
∋
x
→
f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu x
0
Def. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne właściwe jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)<f(x
0
)
minimum lokalne właściwe jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)>f(x
0
)
maksimum lokalne
jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)
≤
f(x
0
)
minimum lokalne
jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)
≥
f(x
0
)
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
WK istnienia ekstremum (tw. Fermata). Jeżeli
•
f ma w punkcie x
0
ekstremum
•
f jest różniczkowalna w x
0
to
f
’
(x
0
)=0
Dow. (dla minimum)
<
≤
>
≥
=
−
−
0
0
0
0
dla
0
dla
0
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
ale granica istnieje i jest ona tylko jedna, czyli
jedyna możliwa to 0.
Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których pochodna zeruje się lub nie
istnieje.
I WW istnienia ekstremum. Jeżeli
•
f jest ciągła w punkcie x
0
•
f jest różniczkowalna w S(x
0
,
δ
)
•
f ’(x)<0 dla x
∈
(x
0
-
δ
, x
0
) [f ’(x)>0 dla x
∈
(x
0
-
δ
, x
0
)]
•
f ’(x)>0 dla x
∈
(x
0
, x
0
+
δ
) [f ’(x)<0 dla x
∈
(x
0
, x
0
+
δ
)]
to f ma w punkcie x
0
minimum [maksimum] lokalne właściwe.
Dowód. (dla minimum).Niech x
∈
S(x
0
,
δ
) . Z tw. Lagrange,a
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
)
f(x)-f(x
0
)= f ’(x
0
+
θ
(x-x
0
)) (x-x
0
)>0 ,
θ
∈
(0,1) (bo f ’(x
0
+
θ
(x-x
0
)) i (x-x
0
) są tego samego znaku.
Twierdzenie i wzór Taylora-
uogólnienie twierdzenia Lagrange’a
Niech I oznacza przedział domknięty o końcach x
0
i x tzn. I=[min{x
0
,x}, max{x
0
,x}]
Twierdzenie Taylora. Jeżeli f : I
→
R
•
ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 w I
•
ma pochodną rzędu n we wnętrzu I (int I)
to
∃
c
∈
int I takie, że
4
4
3
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
1
)
(
0
!
)
(
)
(
1
0
!
)
1
(
)
(
2
0
!
2
)
(
0
!
1
)
(
0
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
)
1
(
0
''
0
'
x
r
n
n
c
f
x
P
n
n
x
f
x
f
x
f
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
−
+
−
+
+
−
+
−
+
=
−
−
−
−
Dow. Rozważmy funkcję pomocniczą
R
I
→
:
ϕ
postaci
n
n
x
t
M
t
P
t
f
t
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
−
−
−
=
−
ϕ
.
Dobieramy tak M, żeby
0
)
(
=
x
ϕ
, czyli
n
n
x
x
x
P
x
f
M
)
(
)
(
)
(
0
1
−
−
=
−
. Widać, że także
0
)
(
0
=
x
ϕ
.
Funkcja
ϕ
spełnia na przedziale I założenia twierdzenia Rolle’a, czyli
0
)
(
:
1
int
1
=
′
∃
∈
c
I
c
ϕ
.
Funkcja
ϕ
′
spełnia na przedziale
(
)
}
,
max{
},
,
min{
1
0
1
0
1
c
x
c
x
I
=
założenia twierdzenia Rolle’a,
czyli
0
)
(
:
2
int
1
2
=
′′
∃
∈
c
I
c
ϕ
. Powtarzamy rozumowanie n razy:
0
)
(
:
1
int
=
∃
)
(
∈
−
n
n
I
c
c
n
n
ϕ
.
Oznaczając c=c
n
∈
int I mamy
!
)
(
)
(
)
(
)
(
Mn
t
f
t
n
n
−
=
ϕ
i
!
)
(
0
)
(
)
(
)
(
n
c
f
M
c
n
n
=
⇒
=
ϕ
.
Otrzymaliśmy więc dwa wzory na M. Porównując
!
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
n
c
f
x
x
x
P
x
f
n
n
n
=
−
−
−
stąd teza.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
3
Zapis różniczkowy wzoru Taylora
)
,
(
!
1
)
,
(
)!
1
(
1
...
)
,
(
!
1
1
)
(
)
(
0
)
(
0
0
)
1
(
0
0
0
x
x
c
f
d
n
x
x
x
f
d
n
x
x
x
df
x
f
x
f
n
n
−
+
−
−
+
+
−
+
=
−
.
Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln x przyjmując x
0
=1 i n=3.
3
3
1
2
2
1
)
1
(
)
1
(
1
ln
3
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
c
.
Uwaga. Dla x
0
=0 wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina.
n
I
C
- zbiór funkcji
R
I
R
f
→
⊃
:
n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale I.
⇔
∈
n
I
C
f
n-ta pochodna
)
(n
f
jest ciągła na I.
0
I
C
- zbiór funkcji ciągłych na przedziale I.
n
I
I
I
C
C
C
⊃
⊃
⊃
...
1
0
Tw:
(II warunek wystarczający istnienia ekstremum)
( )
⇔
<
>
−
=
=
∈
0
0
)
(
1
2
,...,
2
,
1
dla
0
)
(
0
)
2
(
0
)
(
2
)
,
(
0
x
f
n
k
x
f
C
f
n
k
n
x
Ot
δ
f ma w p.
0
x
minimum (maksimum) lokalne właściwe.
Dow: (dla minimum) z wzoru Taylora:
n
n
x
x
n
c
f
x
f
x
f
2
0
)
2
(
0
)
(
)!
2
(
)
(
...
0
0
)
(
)
(
−
+
+
+
=
−
Z tw. o lokalnym zachowaniu znaku
0
)
(
)
2
(
>
c
f
n
oraz
0
)
(
2
0
0
>
−
∀
≠
n
x
x
x
x
, czyli
0
)
(
)
(
0
>
−
x
f
x
f
, co oznacza, że f ma w p.
0
x
minimum lokalne właściwe.
Dla maksimum analogicznie (
0
)
(
)
2
(
<
c
f
n
).
Ekstrema globalne
R
D
R
f
f
→
⊃
:
Def:
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
minimum globalne właściwe
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
>
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
minimum globalne
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
≥
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
maksimum globalne właściwe
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
<
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
maksimum globalne
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
≤
∀
⇔
≠
∈
.
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji f na zbiorze domkniętym i ograniczonym ( a wiec
zwartym).
1º
Szukamy punktów krytycznych we wnętrzu D (
f
x
f
′
∨
=
′
0
)
(
0
-nie istnieje),
2º
Sprawdzamy wartości funkcji na brzegu D,
3º
Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i porównujemy je.
Asymptoty
Def.
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa lewostronną funkcji f
±∞
=
⇔
−
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa prawostronną funkcji f
±∞
=
⇔
+
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa obustronną funkcji f
±∞
=
⇔
−
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
∧
±∞
=
+
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
(mogą być różne).
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Def. Prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f
(
)
0
)
(
lim
=
−
−
⇔
−∞
→
b
ax
x
f
x
Prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f
(
)
0
)
(
lim
=
−
−
⇔
+∞
→
b
ax
x
f
x
Powyższe definicje można uogólnić.
Def. Funkcja
)
(x
g
jest asymptotą prawostronną funkcji f
(
)
0
)
(
)
(
lim
=
−
⇔
±∞
→
x
g
x
f
x
Tw. Jeżeli prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, to
x
x
f
a
x
)
(
lim
−∞
→
=
,
(
)
ax
x
f
b
x
−
=
−∞
→
)
(
lim
, a,b – granice skończone.
Dowód. bezpośrednio z definicji - jako ćwiczenie.
Wypukłość funkcji
R
I
R
f
→
⊃
:
, I – przedział
Def. Funkcję
R
I
f
→
:
nazywamy
wypukłą w I gdy
(
∗
)
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
]
1
,
0
[
,
2
1
x
tf
x
f
t
tx
x
t
f
t
I
x
x
+
−
≤
+
−
∀
∀
∈
∈
(wykres jest poniżej siecznej)
Jeżeli (
∗
) zastąpimy warunkiem
(
∗
)’
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
)
1
,
0
(
,
2
1
x
tf
x
f
t
tx
x
t
f
t
I
x
x
+
−
<
+
−
∀
∀
∈
∈
, to f nazywamy ściśle wypukłą w I
Inaczej
(
∗∗
)
(
)
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
1
0
,
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
f
I
x
x
α
α
α
α
α
α
α
α
+
≤
+
∀
∀
=
+
≥
∈
Jeszcze inaczej
(
∗∗∗
)
)
(
)
(
)
(
:
0
0
0
x
f
x
x
a
x
f
I
x
R
a
I
x
+
−
≥
∀
∃
∀
∈
∈
∈
(w każdym punkcie istnieje prosta podpierająca)
Def.
Funkcja
R
I
f
→
:
jest wklęsła
⇔
funkcja
)
( f
−
jest wypukła.
Tw.
f
f
C
f
I
x
I
⇒
>
′′
∀
∈
∈
0
2
- wypukła.
f
f
C
f
I
x
I
⇒
<
′′
∀
∈
∈
0
2
- wklęsła
Dowód. Natychmiastowy z wzoru Taylora
Punkt przegięcia
Def.
Punkt
(
)
)
(
,
0
0
x
f
x
P
nazywamy punktem przegięcia funkcji
)
(x
f
y
=
jeżeli funkcja f jest
•
różniczkowalna w punkcie
0
x
(ma styczną w punkcie
(
)
)
(
,
0
0
x
f
x
P
)
•
wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie
0
x
•
wklęsła w prawostronnym
lub na odwrót.
Interpretacja. W punkcie przegięcia wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą
Tw.
∧
∈
(
2
I
C
f
f
ma w punkcie
I
x
∈
0
punkt przegięcia
0
)
(
)
0
=
′′
⇒
x
f
.
Punktów przegięcia szukamy więc wśród punktów, w których druga pochodna znika lub nie istnieje.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 Badanie przebiegu funkcji
badanie przebiegu funkcji, matematyka
4 Badanie przebiegu funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmiennosci funkcji
8 badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji obejmuje trzy etapy, Badanie przebiegu zmienności funkcji obejm
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegów niesinusoidalnych sprawozdanie
cw11 Badanie przebiegow okresowych
Badanie przebiegow pradow i napiec sinusoidalnych w elementach RLC, UTP-ATR, Elektrotechnika i elekt
LISTA 4 Twierdzenia Przebieg funkcji 2010
Badanie przebiegu czasowego e, Szkoła, Politechnika 1- 5 sem, SEM IV, Maszyny Elektryczne. Laborator
Badanie przebiegu czasowego a, Szkoła, Politechnika 1- 5 sem, SEM IV, Maszyny Elektryczne. Laborator
ŻuKoV, Badanie przebiegów falowych w liniach długich, POLITECHNIKA LUBELSKA
więcej podobnych podstron