Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Twierdzenie Lagrange’a: Jeżeli
1.
f jest ciągła w [a,b],
2.
f jest różniczkowalna w (a,b),
to
∃
c
∈
(a,b) : f(b)-f(a)=f
’
(c) (b-a).
Dowód. Wystarczy rozpatrzyć funkcję
−
−
−
+
−
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
t
a
b
a
f
b
f
a
f
t
f
t
ϕ
, t
∈
[a,b], która
spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd istnieje c
∈
(a,b) takie, że
0
)
(
=
′
c
ϕ
. Stąd otrzymujemy
0
)
(
)
(
)
(
)
(
'
=
−
−
−
=
′
a
b
a
f
b
f
c
f
c
ϕ
, co implikuje tezę.
Interpretacja i wnioski
W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna (
)
(c
f
′
to współczynnik
kierunkowy stycznej) jest równoległa do siecznej (
a
b
a
f
b
f
−
−
)
(
)
(
to współczynnik kierunkowy
siecznej).
Z tw. Lagrange’a:
x
c
f
x
f
x
x
f
f
∆
⋅
′
=
−
∆
+
=
∆
)
(
)
(
)
(
0
(
)
}
,
max{
},
,
min{
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
c
∆
+
∆
+
∈
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)=0 ⇒ f stała w (a,b)
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)>0 ⇒ f
rosnąca w (a,b)
•
∀
x
∈
(a,b)
f
‘
(x)<0 ⇒ f
malejąca w (a,b)
Dowód.
2
1
x
x
<
)
)(
(
)
(
)
(
1
2
1
2
x
x
c
f
x
f
x
f
−
′
=
−
0
)
(
>
′
c
f
zawsze (bo taki przypadek
rozpatrujemy),
0
1
2
>
−
x
x
z założenia, a więc
0
)
(
)
(
1
2
>
−
x
f
x
f
, czyli f rosnąca.
Ekstrema funkcji
Niech funkcja f : Ot(x
0
,
δ
0
)
∋
x
→
f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu x
0
Def. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne właściwe jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)<f(x
0
)
minimum lokalne właściwe jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)>f(x
0
)
maksimum lokalne
jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)
≤
f(x
0
)
minimum lokalne
jeżeli
∃
S(x
0
,
δ
) :
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
) f(x)
≥
f(x
0
)
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
WK istnienia ekstremum (tw. Fermata). Jeżeli
•
f ma w punkcie x
0
ekstremum
•
f jest różniczkowalna w x
0
to
f
’
(x
0
)=0
Dow. (dla minimum)
<
≤
>
≥
=
−
−
0
0
0
0
dla
0
dla
0
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
ale granica istnieje i jest ona tylko jedna, czyli
jedyna możliwa to 0.
Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których pochodna zeruje się lub nie
istnieje.
I WW istnienia ekstremum. Jeżeli
•
f jest ciągła w punkcie x
0
•
f jest różniczkowalna w S(x
0
,
δ
)
•
f ’(x)<0 dla x
∈
(x
0
-
δ
, x
0
) [f ’(x)>0 dla x
∈
(x
0
-
δ
, x
0
)]
•
f ’(x)>0 dla x
∈
(x
0
, x
0
+
δ
) [f ’(x)<0 dla x
∈
(x
0
, x
0
+
δ
)]
to f ma w punkcie x
0
minimum [maksimum] lokalne właściwe.
Dowód. (dla minimum).Niech x
∈
S(x
0
,
δ
) . Z tw. Lagrange,a
∀
x
∈
S(x
0
,
δ
)
f(x)-f(x
0
)= f ’(x
0
+
θ
(x-x
0
)) (x-x
0
)>0 ,
θ
∈
(0,1) (bo f ’(x
0
+
θ
(x-x
0
)) i (x-x
0
) są tego samego znaku.
Twierdzenie i wzór Taylora-
uogólnienie twierdzenia Lagrange’a
Niech I oznacza przedział domknięty o końcach x
0
i x tzn. I=[min{x
0
,x}, max{x
0
,x}]
Twierdzenie Taylora. Jeżeli f : I
→
R
•
ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 w I
•
ma pochodną rzędu n we wnętrzu I (int I)
to
∃
c
∈
int I takie, że
4
4
3
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
1
)
(
0
!
)
(
)
(
1
0
!
)
1
(
)
(
2
0
!
2
)
(
0
!
1
)
(
0
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
)
1
(
0
''
0
'
x
r
n
n
c
f
x
P
n
n
x
f
x
f
x
f
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
−
+
−
+
+
−
+
−
+
=
−
−
−
−
Dow. Rozważmy funkcję pomocniczą
R
I
→
:
ϕ
postaci
n
n
x
t
M
t
P
t
f
t
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
−
−
−
=
−
ϕ
.
Dobieramy tak M, żeby
0
)
(
=
x
ϕ
, czyli
n
n
x
x
x
P
x
f
M
)
(
)
(
)
(
0
1
−
−
=
−
. Widać, że także
0
)
(
0
=
x
ϕ
.
Funkcja
ϕ
spełnia na przedziale I założenia twierdzenia Rolle’a, czyli
0
)
(
:
1
int
1
=
′
∃
∈
c
I
c
ϕ
.
Funkcja
ϕ
′
spełnia na przedziale
(
)
}
,
max{
},
,
min{
1
0
1
0
1
c
x
c
x
I
=
założenia twierdzenia Rolle’a,
czyli
0
)
(
:
2
int
1
2
=
′′
∃
∈
c
I
c
ϕ
. Powtarzamy rozumowanie n razy:
0
)
(
:
1
int
=
∃
)
(
∈
−
n
n
I
c
c
n
n
ϕ
.
Oznaczając c=c
n
∈
int I mamy
!
)
(
)
(
)
(
)
(
Mn
t
f
t
n
n
−
=
ϕ
i
!
)
(
0
)
(
)
(
)
(
n
c
f
M
c
n
n
=
⇒
=
ϕ
.
Otrzymaliśmy więc dwa wzory na M. Porównując
!
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
n
c
f
x
x
x
P
x
f
n
n
n
=
−
−
−
stąd teza.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
3
Zapis różniczkowy wzoru Taylora
)
,
(
!
1
)
,
(
)!
1
(
1
...
)
,
(
!
1
1
)
(
)
(
0
)
(
0
0
)
1
(
0
0
0
x
x
c
f
d
n
x
x
x
f
d
n
x
x
x
df
x
f
x
f
n
n
−
+
−
−
+
+
−
+
=
−
.
Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln x przyjmując x
0
=1 i n=3.
3
3
1
2
2
1
)
1
(
)
1
(
1
ln
3
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
c
.
Uwaga. Dla x
0
=0 wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina.
n
I
C
- zbiór funkcji
R
I
R
f
→
⊃
:
n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale I.
⇔
∈
n
I
C
f
n-ta pochodna
)
(n
f
jest ciągła na I.
0
I
C
- zbiór funkcji ciągłych na przedziale I.
n
I
I
I
C
C
C
⊃
⊃
⊃
...
1
0
Tw:
(II warunek wystarczający istnienia ekstremum)
( )
⇔
<
>
−
=
=
∈
0
0
)
(
1
2
,...,
2
,
1
dla
0
)
(
0
)
2
(
0
)
(
2
)
,
(
0
x
f
n
k
x
f
C
f
n
k
n
x
Ot
δ
f ma w p.
0
x
minimum (maksimum) lokalne właściwe.
Dow: (dla minimum) z wzoru Taylora:
n
n
x
x
n
c
f
x
f
x
f
2
0
)
2
(
0
)
(
)!
2
(
)
(
...
0
0
)
(
)
(
−
+
+
+
=
−
Z tw. o lokalnym zachowaniu znaku
0
)
(
)
2
(
>
c
f
n
oraz
0
)
(
2
0
0
>
−
∀
≠
n
x
x
x
x
, czyli
0
)
(
)
(
0
>
−
x
f
x
f
, co oznacza, że f ma w p.
0
x
minimum lokalne właściwe.
Dla maksimum analogicznie (
0
)
(
)
2
(
<
c
f
n
).
Ekstrema globalne
R
D
R
f
f
→
⊃
:
Def:
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
minimum globalne właściwe
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
>
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
minimum globalne
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
≥
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
maksimum globalne właściwe
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
<
∀
⇔
≠
∈
.
Funkcja f ma w
f
D
x
∈
0
maksimum globalne
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
x
D
x
f
≤
∀
⇔
≠
∈
.
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji f na zbiorze domkniętym i ograniczonym ( a wiec
zwartym).
1º
Szukamy punktów krytycznych we wnętrzu D (
f
x
f
′
∨
=
′
0
)
(
0
-nie istnieje),
2º
Sprawdzamy wartości funkcji na brzegu D,
3º
Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i porównujemy je.
Asymptoty
Def.
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa lewostronną funkcji f
±∞
=
⇔
−
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa prawostronną funkcji f
±∞
=
⇔
+
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
Prosta
0
x
x
=
jest asymptotą pionowa obustronną funkcji f
±∞
=
⇔
−
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
∧
±∞
=
+
→
)
(
lim
x
f
o
x
x
(mogą być różne).
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 7 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Def. Prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f
(
)
0
)
(
lim
=
−
−
⇔
−∞
→
b
ax
x
f
x
Prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f
(
)
0
)
(
lim
=
−
−
⇔
+∞
→
b
ax
x
f
x
Powyższe definicje można uogólnić.
Def. Funkcja
)
(x
g
jest asymptotą prawostronną funkcji f
(
)
0
)
(
)
(
lim
=
−
⇔
±∞
→
x
g
x
f
x
Tw. Jeżeli prosta
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, to
x
x
f
a
x
)
(
lim
−∞
→
=
,
(
)
ax
x
f
b
x
−
=
−∞
→
)
(
lim
, a,b – granice skończone.
Dowód. bezpośrednio z definicji - jako ćwiczenie.
Wypukłość funkcji
R
I
R
f
→
⊃
:
, I – przedział
Def. Funkcję
R
I
f
→
:
nazywamy
wypukłą w I gdy
(
∗
)
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
]
1
,
0
[
,
2
1
x
tf
x
f
t
tx
x
t
f
t
I
x
x
+
−
≤
+
−
∀
∀
∈
∈
(wykres jest poniżej siecznej)
Jeżeli (
∗
) zastąpimy warunkiem
(
∗
)’
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
)
1
,
0
(
,
2
1
x
tf
x
f
t
tx
x
t
f
t
I
x
x
+
−
<
+
−
∀
∀
∈
∈
, to f nazywamy ściśle wypukłą w I
Inaczej
(
∗∗
)
(
)
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
1
0
,
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
f
I
x
x
α
α
α
α
α
α
α
α
+
≤
+
∀
∀
=
+
≥
∈
Jeszcze inaczej
(
∗∗∗
)
)
(
)
(
)
(
:
0
0
0
x
f
x
x
a
x
f
I
x
R
a
I
x
+
−
≥
∀
∃
∀
∈
∈
∈
(w każdym punkcie istnieje prosta podpierająca)
Def.
Funkcja
R
I
f
→
:
jest wklęsła
⇔
funkcja
)
( f
−
jest wypukła.
Tw.
f
f
C
f
I
x
I
⇒
>
′′
∀
∈
∈
0
2
- wypukła.
f
f
C
f
I
x
I
⇒
<
′′
∀
∈
∈
0
2
- wklęsła
Dowód. Natychmiastowy z wzoru Taylora
Punkt przegięcia
Def.
Punkt
(
)
)
(
,
0
0
x
f
x
P
nazywamy punktem przegięcia funkcji
)
(x
f
y
=
jeżeli funkcja f jest
•
różniczkowalna w punkcie
0
x
(ma styczną w punkcie
(
)
)
(
,
0
0
x
f
x
P
)
•
wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie
0
x
•
wklęsła w prawostronnym
lub na odwrót.
Interpretacja. W punkcie przegięcia wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą
Tw.
∧
∈
(
2
I
C
f
f
ma w punkcie
I
x
∈
0
punkt przegięcia
0
)
(
)
0
=
′′
⇒
x
f
.
Punktów przegięcia szukamy więc wśród punktów, w których druga pochodna znika lub nie istnieje.