ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Zad.1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:

a)

x

x

f

x

2

)

(

=

b)

4

)

(

2

+

=

t

t

t

h

c)

1

1

)

(

−

=

x

e

x

g

d)

)

1

2

(

)

(

2

+

+

=

x

x

e

x

g

x

e)

x

x

y

ln

2

=

f)

(

)

2

1

ln

)

(

x

x

x

k

+

−

=

g)

2

)

1

(

2

x

e

x

y

−

+

=

h)

x

x

x

f

1

)

(

=

i)

(

)

z

e

z

z

p

5

)

(

−

=

j)

x

x

x

g

ln

)

(

=

k)

x

x

x

f

ln

)

(

=

l)

3

)

(

x

x

f

=

m)

2

2

ln

ln

)

(

t

t

t

h

−

=

n)

x

x

x

g

ln

1

ln

)

(

+

=

o)

x

x

g

1

2

1

1

)

(

+

=

r)

(

)

x

x

x

x

x

x

h

4

2

3

ln

2

)

(

2

2

+

−

−

=

s)

3

4

5

10

15

6

)

(

x

x

x

x

g

+

−

=

t)

x

e

x

x

h

1

)

(

⋅

=

u)

(

)

1

-1

2

x

y

x

e

= − ⋅

w)

(

)

2ln

1

2

y

x

x

=

+ −

y)

3

2

3

x

x

y

e

−

=

z)

( )

2

x

f x

x e

=

a1)

2

2

y

x

ln x

=

−

b1)

( )

1

g x

x

x

= +

Zad.2. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz (o ile istnieją) punkty przegięcia:

a)

1

6

6

2

4

+

−

−

=

x

x

x

y

b)

)

1

ln(

)

(

−

=

x

x

x

f

c)

1

1

)

(

−













+

=

x

x

x

h

d)

(

)

7

ln

12

4

−

=

x

x

y

e)

8

ln

8

)

(

x

x

x

h

=

f)

x

e

x

x

f

−

⋅

=

3

)

(

g)

3

1

)

(

−

⋅

=

x

x

x

g

h)

(

)

3

2

1

−

=

x

x

y

i)

2

1

)

(

x

e

x

h

−

=

j)

2

ln

y

x

x

=

k)

(

)

2

ln 9

y

x

=

−

l)

(

)

2

ln 1

y

x

x

= −

+

m)

2

arcsin

1

y

x

x

=

−

−

n)

2

y

x

2 ln x

=

+

o) y

x

arc ctg x

= −

p) y

ln x

3x 1

=

+

−

r)

(

)

x

e

x

y

1

2

+

=

s)

x

x

y

1

2

−

=

t)

2

4

1

)

(

x

x

f

−

=

u)

)

1

ln(

2

x

y

+

=

w)

)

4

ln(

1

)

(

2

−

−

=

x

x

g

Zad.3. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:

a)

2

3

4

)

(

x

x

x

g

−

=

b)

x

x

x

f

)

5

ln(

)

(

+

=

c)

1

)

(

2

+

=

x

xe

x

h

d)

2

arctg

2

x

x

y

+

=

e)

1

1

)

(

−

=

x

e

x

g

f)

x

x

x

x

e

e

e

e

y

−

−

+

−

=

Zad.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

a)

x

e

x

x

f

−

=

4

)

(

b)

x

x

x

g

ln

)

(

=

c)

2

1

1

1

)

(

x

x

h

+

⋅

π

=

d)

x

x

y

arctg

2

−

=

e)

)

1

ln(

)

(

x

x

x

f

+

−

=

f)

x

x

x

k

)

3

(

)

(

−

=

g)

x

x

x

f

ln

4

ln

)

(

2

+

=

h)

a

a

a

p

ln

)

(

=