ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Zad.1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:
a)
x
x
f
x
2
)
(
=
b)
4
)
(
2
+
=
t
t
t
h
c)
1
1
)
(
−
=
x
e
x
g
d)
)
1
2
(
)
(
2
+
+
=
x
x
e
x
g
x
e)
x
x
y
ln
2
=
f)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
x
k
+
−
=
g)
2
)
1
(
2
x
e
x
y
−
+
=
h)
x
x
x
f
1
)
(
=
i)
(
)
z
e
z
z
p
5
)
(
−
=
j)
x
x
x
g
ln
)
(
=
k)
x
x
x
f
ln
)
(
=
l)
3
)
(
x
x
f
=
m)
2
2
ln
ln
)
(
t
t
t
h
−
=
n)
x
x
x
g
ln
1
ln
)
(
+
=
o)
x
x
g
1
2
1
1
)
(
+
=
r)
(
)
x
x
x
x
x
x
h
4
2
3
ln
2
)
(
2
2
+
−
−
=
s)
3
4
5
10
15
6
)
(
x
x
x
x
g
+
−
=
t)
x
e
x
x
h
1
)
(
⋅
=
u)
(
)
1
-1
2
x
y
x
e
= − ⋅
w)
(
)
2ln
1
2
y
x
x
=
+ −
y)
3
2
3
x
x
y
e
−
=
z)
( )
2
x
f x
x e
=
a1)
2
2
y
x
ln x
=
−
b1)
( )
1
g x
x
x
= +
Zad.2. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz (o ile istnieją) punkty przegięcia:
a)
1
6
6
2
4
+
−
−
=
x
x
x
y
b)
)
1
ln(
)
(
−
=
x
x
x
f
c)
1
1
)
(
−
+
=
x
x
x
h
d)
(
)
7
ln
12
4
−
=
x
x
y
e)
8
ln
8
)
(
x
x
x
h
=
f)
x
e
x
x
f
−
⋅
=
3
)
(
g)
3
1
)
(
−
⋅
=
x
x
x
g
h)
(
)
3
2
1
−
=
x
x
y
i)
2
1
)
(
x
e
x
h
−
=
j)
2
ln
y
x
x
=
k)
(
)
2
ln 9
y
x
=
−
l)
(
)
2
ln 1
y
x
x
= −
+
m)
2
arcsin
1
y
x
x
=
−
−
n)
2
y
x
2 ln x
=
+
o) y
x
arc ctg x
= −
p) y
ln x
3x 1
=
+
−
r)
(
)
x
e
x
y
1
2
+
=
s)
x
x
y
1
2
−
=
t)
2
4
1
)
(
x
x
f
−
=
u)
)
1
ln(
2
x
y
+
=
w)
)
4
ln(
1
)
(
2
−
−
=
x
x
g
Zad.3. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
a)
2
3
4
)
(
x
x
x
g
−
=
b)
x
x
x
f
)
5
ln(
)
(
+
=
c)
1
)
(
2
+
=
x
xe
x
h
d)
2
arctg
2
x
x
y
+
=
e)
1
1
)
(
−
=
x
e
x
g
f)
x
x
x
x
e
e
e
e
y
−
−
+
−
=
Zad.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a)
x
e
x
x
f
−
=
4
)
(
b)
x
x
x
g
ln
)
(
=
c)
2
1
1
1
)
(
x
x
h
+
⋅
π
=
d)
x
x
y
arctg
2
−
=
e)
)
1
ln(
)
(
x
x
x
f
+
−
=
f)
x
x
x
k
)
3
(
)
(
−
=
g)
x
x
x
f
ln
4
ln
)
(
2
+
=
h)
a
a
a
p
ln
)
(
=