Elementy analizy funkcjonalnej 2
Elementy analizy funkcjonalnej 2
Spis treści
Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Przestrzenie liniowe unormowane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Przestrzenie unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Ortogonalność w przestrzeni unitarnej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Rozdział 2. Ciągi i szeregi ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Szereg trygonometryczny Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Rozdział 3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Dodatek A. Zaliczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
A.2. Znaleźć ekstremalę funkcjonału
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Dodatek B. Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Rozdział 1
Pojęcia wstępne
1.1. Przestrzenie metryczne
Niech X — zbiór dowolny
Definicja 1.1. Metryką nazywamy funkcję d : X × X → R
+
∪ {0} spełniającą warunki
m1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y dla każdego x, y ∈ X
m2) d(x, y) = d(y, x) dla każdego x, y ∈ X
m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z) dla każdego x, y, z ∈ X (Aksjomat trójkąta)
d(x, y) — uogólniona odległość x od y
Definicja 1.2. Przestrzenią metryczną nazywamy strukturę (X, d), gdzie X jest niepustym zbiorem, a d jest
metryką określoną na zbiorze X
Przykłady przestrzeni metrycznych
1) (R, | |)
d(x, y) = |x − y|
m1)
V
x,y∈R
d(x, y) = 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y
m2)
V
x,y∈R
d(x, y) = |x − y| = |−1| · |x − y| = |(−1)(x − y)| = |y − x| = d(y, x)
m3)
V
x,y,z∈R
d(x, y) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ¬ |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z)
|a + b| ¬ |a| + |b|
6
-
r
r
x
1
y
1
x
2
y
2
y
x
Rys. 1.1: Punkty w przestrzeni R
2
2) (R
2
, d)
x = (x
1
, x
2
) y = (y
1
, y
2
)
d(x, y) =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
metryka pitagorejska
3) (R
2
, d
m
)
d(x, y) = |x
1
− y
1
| + |x
2
− y
2
|
metryka manhattańska
1. Pojęcia wstępne
2
4) (R
2
, d
max
)
d
max
(x, y) = max{|x
1
− y
1
| , |x
2
− y
2
|}
metryka maximum
5) (R
n
, d)
x = (x
1
, . . . , x
n
) y = (y
1
, . . . , y
n
)
d(x, y) =
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
uogólniona metryka pitagorejska
m1) d(x, y) = 0 ⇔
s
n
P
i=1
(x
i
− y
i
)
2
= 0 ⇔
n
P
i=1
(x
i
− y
i
)
2
= 0 ⇔
V
i
(x
i
− y
i
)
2
= 0 ⇔
V
i
x
i
− y
i
= 0 ⇔
⇔
V
i
x
i
= y
i
⇔ x = y
m2) d(x, y) =
s
n
P
i=1
(x
i
− y
i
)
2
=
s
n
P
i=1
[(−1)(y
i
− x
i
)]
2
=
s
n
P
i=1
(−1)
2
(y
i
− x
i
)
2
==
s
n
P
i=1
(y
i
− x
i
)
2
= d(y, x)
m3) Ponieważ
V
x,y
d(x, y) 0 to wystarczy pokazać, że
[ d(x, y) + d(y, z)]
2
[ d(x, z)]
2
[ d(x, z)]
2
=
n
P
i=1
(x
i
− z
i
)
2
=
n
P
i=1
[(x
i
− y
i
) + (y
i
− z
i
)]
2
=
n
P
i=1
[(x
i
− y
i
)
2
+ 2(x
i
− y
i
)(y
i
− z
i
) +
+ (y
i
− z
i
)
2
] =
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
|
{z
}
[ d(x,y)]
2
+2
n
P
i=1
(x
i
− y
i
)(y
i
− z
i
) +
n
X
i=1
(y
i
− z
i
)
2
|
{z
}
[ d(y,z)]
2
Z nierówności Schwarza–Cauchy’ego, która mówi, że:
n
P
i=1
u
i
v
i
2
¬
n
P
i=1
u
2
i
n
P
i=1
v
2
i
a w szczególności
n
P
i=1
u
i
v
i
¬
s
n
P
i=1
u
2
i
! s
n
P
i=1
v
2
i
!
mamy:
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)(y
i
− z
i
) ¬
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
v
u
u
t
n
X
i=1
(y
i
− z
i
)
2
Zatem:
[ d(x, y)]
2
¬ [ d(x, y)]
2
+ 2[ d(x, y) d(y, z)] + [ d(y, z)]
2
= [ d(x, y) + d(y, z)]
2
6) {0, 1}
n
=
n
(b
1
, . . . , b
n
) : b
i
∈ {0, 1}
o
^
x,y∈X
x=(x
1
,...,x
n
) x
i
∈{0,1}
y=(y
1
,...,y
n
) y
i
∈{0,1}
d(x, y) =
{i : x
i
6= y
i
}
=liczba pozycji na których x i y się różnią=liczba jedynek (waga) w ciągu x ± y
odległość Haminga
1.2. Przestrzenie liniowe
Definicja 1.3. Przestrzenią liniową (wektorową) nad zbiorem
K (K = R lub K = C) nazywamy dowolny zbiór
X, w którym określone są działania:
^
x,y∈X
(x, y) 7→ x + y ∈ X
^
λ∈
K
^
x,y∈X
(λ, x) 7→ λ · x ∈ X
spełniające następujące aksjomaty przestrzeni liniowej:
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
3
A1)
V
x,y∈X
x + y = y + x
A2)
V
x,y,z∈X
(x + y) + z = x + (y + z)
A3)
W
~
0∈X
V
x∈X
x + ~0 = x
A4)
V
x∈X
W
−x∈X
x + (−x) = 0
A5)
V
λ∈
K
V
x,y∈X
λ(x + y) = λx + λy
A6)
V
λ,µ∈
K
V
x∈X
(λ + µ)x = λx + µx
A7)
V
λ,µ∈
K
V
x∈X
λ(µx) = (λµ)x
A8)
V
x∈X
1 · x = x
Przykłady:
1) X = R nad K = R
2) X = C nad K = R
2’) X = R
2
nad
K = R ≡ 2)
3) X = R
n
nad
K = R
x = (x
1
, . . . , x
n
) y = (y
1
, . . . , y
n
) λ ∈
K
x + y
def
= (x
1
+ y
1
, . . . x
n
+ y
n
)
λx
def
= (λx
1
, . . . , λx
n
)
4) X – zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n nad
K = R
A = [a
ij
]
m×n
B = [b
ij
]
m×n
^
A+B∈X
A + B
def
= [a
ij
+ b
ij
]
^
λ∈R
^
A∈X
λA = [λa
ij
]
5) X = C(ha, bi) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale ha, bi
^
f,g∈X
^
t∈ha,bi
(f + g)(t)
def
= f (t) + g(t)
^
λ∈R
^
f ∈X
(λf )(t)
def
= λf (t)
1.3. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej
Przykłady
1) X = R
~
u, ~
v ∈ R
-
0
~
v
~
u
-
~
u || ~
v ⇔
_
c∈R
~
u = c~
v
Dowolne dwa wektory ~
u, ~
v ∈ R są liniowo zależne
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
4
2) X ∈ R
2
-
6
~
v
~
u
~
u k ~
v ⇔
W
c∈R
~
u = c~
v – ~
u, ~
v są liniowo zależne
~
u ∦ ~v ⇔ ∼
W
c∈R
~
u = c~
v – ~
u, ~
v są liniowo niezależne
~
u, ~
v, ~
w są liniowo zależne ponieważ:
_
a,b∈R
~
w =
a~
u + b~
v
|
{z
}
kombinacja liniowa ~
u i ~
v
Każda baza w R
2
(minimalny układ liniowo niezależnych wektorów) składa się z 2 wektorów. Z tego wynika,
że wymiar tej przestrzeni wynosi 2.
3) X = R
3
Jeśli ~
u, ~
v, ~
w nie leżą na jednej płaszczyźnie to dwa z nich leżą na tej samej płaszczyźnie ale trzeci nie, więc:
∼
_
a,b∈R
~
w = a~
u + b~
v
czyli ~
u, ~
v, ~
w są liniowo niezależne.
Każda baza w R
3
składa się z 3 wektorów. Czyli wymiar tej przestrzeni wynosi 3.
Definicja 1.4. Mówimy, że punkty x
1
, . . . , x
n
przestrzeni liniowej są liniowo niezależne jeżeli
^
α
1
,...,α
n
∈
K
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
= ~0 ⇒ α
1
= α
2
= . . . = α
n
= 0
(1.3.1)
nie istnieją stałe α
1
, . . . , α
n
, z których conajmniej jedna jest rożna od 0, takie, że
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
= ~0
nie jest możliwe zapisanie któregokolwiek z punktów jako kombinacji liniowej pozostałych
Definicja 1.5. Kombinacją liniową punktów x
1
, . . . , x
k
nazywamy punkt
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
k
x
k
gdzie α
1
, . . . , α
k
∈
K
Jeżeli punkty nie są liniowo niezależne to są liniowo zależne
Definicja 1.6. Maksymalną liczbę liniowo niezależnych punktów przestrzeni liniowej X nazywamy jej wymia-
rem i oznaczamy dim X
Definicja 1.7. Jeżeli dim X = k to każdy układ k liniowo niezależnych punktów nazywamy bazą tej przestrzeni
Przykłady:
i) W R bazę tworzy każdy punkt x ∈ R
ii) W R
2
bazę tworzą dowolne dwa wektory nie leżące na jednej prostej
iii) W R
3
bazę tworzą dowolne trzy wektory, które nie leżą na jednej płaszczyźnie
Uwaga: Jeżeli x
1
, . . . , x
n
tworzą bazę przestrzeni X to dla każdego y ∈ X punkty x
1
, . . . , x
n
, y są liniowo zależne
a zatem y daje się zapisać jako kombinacja liniowa punktów bazy, tzn.:
W
α
1
,...,α
n
∈
K
y = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
Definicja 1.8. Zbiór
Y ⊂ X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni X jeśli:
^
y
1
,y
2
∈
Y
α
1
,α
2
∈
K
α
1
y
1
+ α
2
y
2
∈
Y
(1.3.2)
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
5
1.4. Przestrzenie liniowe unormowane
Definicja 1.9. Normą w przestrzeni liniowej X nad zbiorem skalarów
K nazywamy funkcję:
X
3 x 7→ ||x|| ∈ R
+
∪ {0}
(1.4.1)
taką, że:
n1)
V
x∈X
(||x|| = 0) ⇐⇒ x = 0
n2)
V
λ∈
K
V
x∈X
||λx|| = |λ| · ||x||
(jednorodność)
n3)
V
x,y∈X
||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||
(aksjomat trójkąta)
Definicja 1.10. Przestrzeń liniową z określoną na tej przestrzeni normą nazywamy przestrzenią unormo-
waną
Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną.
Definicja 1.11. Przyjmuje się następującą definicję metryki wyznaczonej przez normę:
d(x, y)
def
= ||x − y|| = ||x + (−y)||
(1.4.2)
Tak zdefiniowana funkcja spełnia aksjomaty metryki:
m1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
m
||x − y|| = 0
n1
⇐⇒ x − y = 0 ⇔ x + (−y) = 0 ⇔ −x = −y ⇔ x = y
m2) d(x, y) = d(y, x)
||x − y|| = ||(−1)(y − x)||
n2
= |−1| · ||y − x|| = ||y − x||
m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z)
||x − z|| = ||x + (y − y) − z|| = ||(x − y) + (y − z)||
n3
¬ ||x − y|| + ||y − z||
Przykłady
1) X = R
V
x∈R
||x|| = |x|
n1)
V
x∈R
||x|| = 0 ⇔ |x| = 0 ⇔ x = 0
n2)
V
λ∈R
V
x∈R
||λx|| = |λx| = |λ| |x| = |λ| ||x||
n3)
V
x,y∈R
||x + y|| = |x + y| ¬ |x| + |y| = ||x|| + ||y||
2) X = R
n
X
3 x = (x
1
, . . . , x
n
) → ||x||
def
=
s
n
P
i=1
x
2
i
metryka wyznaczona przez tę normę:
d(x, y) = ||x − y|| =
s
n
P
i=1
(x
i
− y
i
)
2
3) X = C(ha, bi) – przestrzeń liniowa funkcji określonych na ha, bi
V
f ∈C(ha,bi)
||f ||
def
=
sup
x∈ha,bi
(|f |) metryka wyznaczona przez tę normę:
^
f,g∈C(ha,bi)
d(f, g) = ||f − g|| = sup
x∈ha,bi
(|f (x) − g(x)|)
nazywa się metryką Czybyszewa
• przykład
X = C(h0, 1i),
f (x) = x, g(x) = x
2
d(f, g) = sup
x∈h0,1i
|f (x) − g(x)| = sup
x∈h0,1i
x − x
2
= sup
x∈h0,1i
(x − x
2
) = max(x − x
2
) =
1
2
− (
1
2
)
2
=
1
4
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
6
1.5. Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej
Definicja 1.12. Ciąg liczbowy (a
n
) jest zbieżny do liczby a ∈ R ⇔
V
ε>0
W
M
V
n>M
|a
n
− a| < ε
piszemy lim
n→∞
a
n
= a
Definicja 1.13. Ciąg punktów (x
n
)
n∈N
przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeśli istnieje taki punkt
x ∈ X, że
lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0
(1.5.1)
i piszemy
lim
n→∞
x
n
= x
Definicja 1.14. Zbieżność ciągu (x
n
) punktów przestrzeni liniowej unormowanej X do punktu x ∈ X w sensie
metryki wyznaczonej przez normę nazywamy zbieżnością według normy
lim
n→∞
x
n
= x według normy ⇐⇒ lim
n→∞
||x
n
− x|| = 0
(1.5.2)
Definicja 1.15. Mówimy, że ciąg (x
n
) przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli
^
ε>0
_
M
^
n,m>M
d(x
n
, x
m
) < ε
(1.5.3)
Twierdzenie 1.16. Ciąg, który spełnia warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem podstawowym
Twierdzenie 1.17. Każdy ciąg zbieżny punktów przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy’ego
zbieżny
−→
←
6−
podstawowy
Dowód:
Niech lim
n→∞
x
n
= x
Wtedy
^
ε>0
_
M
^
n>M
d(x
n
, x) < ε
i niech ε =
1
2
ε
0
czyli
^
ε>0
_
M
^
n,m>M
d(x
n
, x
m
) <
1
2
ε
0
Zatem:
^
n,m>M
d(x
n
, x
m
) ¬ d(x
n
, x) + d(x, x
m
)
|
{z
}
<
1
2
ε
0
+
1
2
ε
0
=ε
0
skąd
^
ε
0
>0
_
M
^
n,m>M
d(x
n
, x
m
) < ε
0
więc ciąg (x
n
) jest podstawowy
Definicja 1.18. Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeżeli każdy ciąg podstawowy punktów X jest zbieżny
w tej przestrzeni.
Przykłady:
przestrzenie zupełne: R
n
, ha, bi
przestrzenie które nie są zupełne: (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi\{c} gdzie a, b, c ∈ R
Definicja 1.19. Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną
Przykłady
1. R
2
||x|| =
s
n
P
i=1
x
2
i
2. C(ha, bi)
||f || = sup
x∈ha,bi
|f |
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
7
1.6. Przestrzenie unitarne
Niech X – przestrzeń linowa.
Definicja 1.20. X nazywamy przestrzenią unitarną jeśli dla każdej pary uporządkowanej (x, y) punktów tej
przestrzeni przyporządkowana jest liczba (x|y) taka, że:
u1) (x|x) > 0 ⇐⇒ x 6= 0 dla każdego x ∈ X oraz (x|x) = 0 ⇐⇒ x = 0
u2)
V
α
1
,α
2
∈R
V
x
1
,x
2
,y∈X
(α
1
x
1
+ α
2
x
2
|y) = α
1
(x
1
|y) + α
2
(x
2
|y)
u3)
V
x,y∈X
(x|y) = (y|x)
(x|y) nazywamy uogólnionym iloczynem skalarnym wektorów x i y
Definicja 1.21. Normę w przestrzeni unitarnej X określamy wzorem:
^
x∈X
||x||
def
=
p
(x|x)
(1.6.1)
i nazywamy normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny
Sprawdzenie spełnialności aksjomatów normy przez normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny
n1) ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
m
p(x|x) = 0 ⇐⇒ (x|x)
u1
= 0
n2)
V
x∈X
V
λ∈R
||λx|| = |λ| · ||x||
m
p(λx|λx)
u2
=
pλ · λ(x|x) = pλ
2
(x|x) =
√
λ
2
p(x|x) = |λ| · ||x||
n3)
V
x,y∈X
||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||
Wykorzystamy nierówność Schwarz’a
V
x,y∈X
|(x|y)| ¬ ||x|| · ||y||, mianowicie:
||x + y||
2
= (x + y|x + y)
u2
= (x|x) + 2(x|y) + (y|y) = ||x||
2
+ 2(x|y) + ||y||
2
nier.Schw.
¬
||x||
2
+ 2 ||x|| · ||y|| + ||y||
2
=
||x|| + ||y||
2
Uwaga: Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną
Definicja 1.22. Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną, która jest przestrzenią zupełną w sensie
normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny
Przykłady
1) X = R
n
jest przestrzenią Hilberta
x = (x
1
, . . . , x
n
)
y = (y
1
, . . . , y
n
)
(x|y) =
n
P
i=1
x
i
· y
i
||x|| = |x| =
s
n
P
i=1
x
2
i
=
p(x|x)
2) X = C(ha, bi) nie jest przestrzenią Hilberta (choć jest przestrzenią Banacha tyle, że nie w sensie normy
wyznaczonej przez iloczyn skalarny)
^
f,g∈C(ha,bi)
(f |g) =
b
Z
a
f (t)g(t) dt
Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny
V
f,g∈C(ha,bi)
||f || =
p(f|f) =
v
u
u
u
t
b
Z
a
f
2
(t) dt
|
{z
}
norma kwadratowa
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne
8
u1)
V
f,g∈C(ha,bi)
(f |f ) > 0 jeśli f ≡ 0
jeżeli f ≡ 0 to istnieje x ∈ ha, bi takie, że f (x) 6= 0 również f
2
(x) 6= 0 stąd
(f |f ) =
b
R
a
f (t)f (t) dt =
b
R
a
f
2
(t) dt > 0
u2)
V
α
1
,α
2
∈R
V
f,g∈C(ha,bi)
(α
1
f
1
+ α
2
f
2
|g) = α
1
(f
1
|g) + α
2
(f
2
|g)
(α
1
f
1
+ α
2
f
2
|g) =
b
R
a
[(α
1
f
1
(t) + α
2
f
2
(t)]g(t) dt =
b
R
a
α
1
f
1
(t)g(t) dt +
b
R
a
α
2
f
2
(t)g(t) dt =
= α
1
b
R
a
f
1
(t)g(t) dt + α
2
b
R
a
f
2
(t)g(t) dt = α
1
(f
1
|g) + α
2
(f
2
|g)
u3)
V
f,g∈C(ha,bi)
(f |g) =
b
R
a
f (t)g(t) dt =
b
R
a
g(t)f (t) dt = (g|f )
Uwaga: Można udowodnić, ze dowolną przestrzeń unitarną da się rozszerzyć (przez dodanie nowych elementów)
do przestrzeni Hilberta (czyli zupełnej ze względu na normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny)
1.7. Ortogonalność w przestrzeni unitarnej
Niech X – dowolna przestrzeń unitarna
Definicja 1.23. Punkty x, y ∈ X nazywamy ortogonalnymi ⇐⇒ (x|y) = 0
Definicja 1.24. Punkt y ∈ X nazywamy ortogonalnymi do podprzestrzeni X
o
przestrzeni X jeśli jest ortogonalny
do każdego punktu x ∈ X
V
x∈X
(x|y) = 0
Definicja 1.25. Punkt x
o
w X nazywa się rzutem ortogonalnym punktu x ∈ X na podprzestrzeń X
o
prze-
strzeni X jeśli x
o
∈ X
o
oraz różnica x − x
o
jest ortogonalna do X
o
Twierdzenie 1.26. Każdy punkt x ∈ X ma co najwyżej jeden rzut ortogonalny na daną podprzestrzeń X
o
przestrzeni X
Dowód:
Przypuśćmy, że x
0
o
, x
00
o
są rzutami ortogonalnymi pewnego punktu x na podprzestrzeń X
o
wtedy z definicji 1.25:
x
0
o
, x
00
o
∈ X
o
oraz
V
y∈X
o
(
(x − x
0
o
|y) = 0
(x − x
00
o
|y) = 0
Odejmując stronami:
L = (x − x
0
o
|y) − (x − x
00
o
|y)
u2
=(x − x
0
o
− (x − x
00
o
)|y) = (x
00
o
− x
0
o
)
czyli
(x
00
o
− x
0
o
|y) = 0 − 0
=⇒
^
y∈X
o
(x
00
− x
0
o
|y) = 0
(∗)
W szczególności, wstawiając y = x
00
o
− x
0
o
do (∗) otrzymamy, że:
(x
00
o
− x
0
o
|x
00
o
− x
0
o
) = 0 ⇔ (||x
00
o
− x
0
o
||)
2
= 0 ⇔ ||x
00
o
− x
0
o
|| = 0
n1
⇐⇒ x
00
o
− x
0
o
= 0 ⇔
x
00
o
= x
0
o
Zatem nie istnieją dwa różne rzuty ortogonalne x na X
o
1.8. Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej
Niech X – przestrzeń unitarna o wymiarze k, skończenie wymiarowa, tzn. dim X = k ∈ N (czyli każda baza
składa się z k wektorów)
6
-
6
-
e
1
(1, 0, 0)
e
2
(0, 1, 0)
e
3
(0, 0, 1)
{e
1
, e
2
, e
3
} jest bazą gdyż:
1) jest układem wektorów liniowo niezależnych (bo żadnego z tych wek-
torów nie da się wyrazić jako kombinację liniową pozostałych)
2) jest maksymalnym takim układem liniowo niezależnych wektorów
(ponieważ dowolny wektor ~
u = (x, y, z) ∈ R
3
da się zapisać jako
kombinacja liniowa e
1
, e
2
, e
3
w następujący sposób:
(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe
1
+ ye
2
+ ze
3
Grzegorz Jastrzębski
Definicja 1.27. Bazą ortonormalną przestrzeni X nazywamy każdy układ k wektorów tej przestrzeni (a
1
. . . a
k
)
taki, że:
(a
i
|a
j
) =
(
1
i = j
0
i 6= j
(1.8.1)
Twierdzenie 1.28. Jeżeli (a1 . . . a
k
) jest bazą ortonormalną przestrzeni unitarnej X, to dla każdego x ∈ X
x =
k
X
i=1
(x|a
i
) · a
i
(1.8.2)
(każdy wektor przestrzeni X da się zapisać jako kombinacja liniowa wektorów bazy ortonormalnej)
Dowód:
Niech x =
k
P
i=1
λ
i
a
i
λ
i
∈ R
wtedy: (x|a
j
) =
k
P
i=1
λ
i
a
i
a
j
=
k
P
i=1
(λ
i
a
i
|a
j
) =
k
P
i=1
λ
i
(a
i
|a
j
) =
dla ustalonego j = 1 . . . k
= λ
1
(a
1
|a
j
) + . . . + λ
j−1
(a
j−1
|a
j
) + λ
j
(a
j
|a
j
) + λ
j+1
(a
j+1
|a
j
) + . . . + λ
k
(a
k
|a
j
) =
z definicji 1.27
= λ
j
· 1 = λ
j
czyli λ
j
= (x|a
j
) dla j = 1 . . . k
zatem x =
k
P
i=1
λ
i
a
i
=
k
P
i=1
(x|a
i
)a
i
Twierdzenie 1.29. Jeżeli baza jest ortonormalna to jest układem wektorów niezależnych
Dowód:
Weźmy x = 0 wtedy jeżeli 0 =
k
P
i=1
λ
i
a
i
to λ
i
= (0|a
i
) = 0(ξ|a
i
) = 0
Twierdzenie 1.30. Każda niepusta przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa ma bazę
ortonormalną
Każdą przestrzeń unitarną k-wymiarową można uważać za izomorficzną z przestrzenią R
k
.
Definicja 1.31. Każdą przestrzeń unitarną skończenie wymiarową nazywa się przestrzenią
euklidesową
Rozdział 2
Ciągi i szeregi ortogonalne
2.1. Ortogonalność
Definicja 2.1. Ciąg funkcyjny (f
n
)
∞
n=0
= (f
0
, . . . , f
n
, . . .) gdzie f
0
, . . . , f
n
, . . . są funkcjami.
Definicja 2.2. Szereg funkcyjny
∞
P
n=0
f
n
gdzie (f
0
, . . . , f
n
, . . .) jest ciągiem funkcyjnym.
Niech X – przestrzeń linowa złożona z funkcji rzeczywistych określonych na ha, bi
X : {f |f : Df → R ∧ ha, bi ⊆ Df }
Definicja 2.3. Dla dowolnych dwóch funkcji f, g ∈ X liczbę
(f |g) =
b
Z
a
f (x)g(x) dx
(2.1.1)
nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g w przedziale ha, bi.
Definicja 2.4. Normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny funkcji f (x) i g(x) na ha, bi zdefiniujemy następująco:
||f ||
def
= (f |f ) =
v
u
u
u
t
b
Z
a
f
2
(x) dx
(2.1.2)
nazywamy normą kwadratową.
Definicja 2.5. Ciąg funkcyjny
ϕ
n
(x)
=
ϕ
0
(x), ϕ
1
(x), . . . , ϕ
n
(x), . . .
nazywamy ortogonalnym w prze-
dziale ha, bi jeżeli:
1)
V
m,n∈N
m6=n
(ϕ
m
|ϕ
n
) = 0
2)
V
n∈N
||ϕ
n
|| > 0
⇐⇒
ϕ
n
6≡ 0 ⇔
W
x∈ha,bi
ϕ
n
(x) 6= 0
Definicja 2.6. Jeżeli
ϕ
n
(x)
∞
n=0
jest ortogonalny w przedziale ha, bi oraz
γ
n
∞
n=0
jest dowolnym ciągiem
liczbowym, to szereg:
∞
X
n=0
γ
n
· ϕ
n
(x)
(2.1.3)
nazywamy szeregiem ortogonalnym w przedziale ha, bi
Niech f (x) będzie funkcją ciągłą na ha, bi
Definicja 2.7. Szereg ortogonalny
∞
P
n=0
c
n
ϕ
n
(x) gdzie
c
n
=
f (x)|ϕ
n
(x)
||ϕ
n
(x)||
2
(2.1.4)
nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (x) względem ciągu ortogonalnego ϕ
n
(x)
w przedziale ha, bi
Uwaga: Szereg
∞
P
n=0
c
n
ϕ
n
(x) jest zbieżny jednostajnie do f (x) na przedziale ha, bi
2. Ciągi i szeregi ortogonalne
11
2.2. Szereg trygonometryczny Fouriera
Definicja 2.8. Mówimy, że funkcja f (x) spełnia w przedziale ha, bi warunku Dirichleta jeżeli:
1
◦
f (x) jest przedziałami monotoniczna na ha, bi przy czym liczba przedziałów monotoniczności jest skończona
2
◦
f (x) jest ciągła na ha, bi z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju
przy czym w każdym punkcie nieciągłości wartość funkcji
f (x
0
) =
1
2
"
lim
x→x
+
0
+ lim
x→x
−
0
#
(2.2.1)
3
◦
-
6
b
a
t
d
t
d
d
{
}
d
f (a) = f (b) =
1
2
lim
x→a
+
f (x) + lim
x→b
−
f (x)
f (x) ma skończone granice lim
x→a
+
, lim
x→b
+
oraz
Twierdzenie 2.9 (Dirichleta). Jeżeli f (x) spełnia warunki Dirichleta w przedziale h−`, `i to jest rozwijalna
w szereg trygonometryczny Fouriera dla każdego x ∈ h−`, `i, tzn.:
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
h
a
n
cos
nπx
`
+ b
n
sin
nπx
`
i
(2.2.2)
gdzie
a
n
=
1
`
`
Z
−`
f (x) cos
nπx
`
dx
(2.2.3a)
b
n
=
1
`
`
Z
−`
f (x) sin
nπx
`
dx
(2.2.3b)
a
0
=
1
`
`
Z
−`
f (x) dx
(2.2.3c)
2.2.1. Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera
1. Jeżeli f (x) jest parzysta na h`, `i, to
a
0
=
2
`
`
Z
0
f (x) dx
a
n
=
2
`
`
Z
0
f (x) cos
nπx
`
dx
b
n
= 0
(2.2.4)
Wtedy f (x) =
a
0
2
+
∞
P
n=1
a
n
cos
nπx
`
funkcja parzysta rozwija się w cosinusowy szereg Fouriera.
2. Jeżeli f (x) jest nieparzysta na h`, `i, to
a
n
= 0
b
n
=
2
`
`
Z
0
f (x) sin
nπx
`
dx
(2.2.5)
1
Istnieją granice funkcji w tych punktach ale nie są równe jej wartości
Grzegorz Jastrzębski
Wtedy f (x) =
∞
P
n=1
b
n
sin
nπx
`
funkcja nieparzysta rozwija się w sinusowy szereg Fouriera.
3. Funkcję f (x), o ile spełnia warunki Dirichleta (Def. 2.8), można przedstawić w przedziale h0, `i za pomocą
szeregu Fouriera sinusowego lub cosinusowego przedłużając ją na przedział h−`, `, i do funkcji parzystej albo
nieparzystej. Mamy wtedy
f (x) =
∞
X
n=1
b
n
sin
nπx
`
albo
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
cos
nπx
`
(2.2.6)
4. jeżeli f (x) ma okres 2` to rozwinięcie w szereg trygonometryczny Fouriera jest prawdziwe dla każdego x.
2.3. Przykład
f (x) =
2x
dla − π < x < 0
0
dla x = 0
6x
dla 0 < x < π
jest równoważne
f (x) =
(
2x
dla − π < x ¬ 0
6x
dla 0 < x < π
Funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta (Def. 2.8). Nie spełnia trzeciego ale to nic, bo przedział
jest otwarty i nie interesują nas wartości na granicach.
a
0
=
1
π
π
Z
−π
f (x) dx =
x
2
π
0
−π
+
3x
2
π
π
0
= −π + 3π = 2π
(2.3.1)
a
n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) cos(nx) dx =
1
π
0
Z
−π
2x cos(nx) dx +
1
π
π
Z
0
6x cos(nx) dx =
=
2
π
"
x
n
sin(nx) +
1
n
2
cos(nx)
#
0
−π
+
6
π
"
x
n
sin(nx) +
1
n
2
cos(nx)
#
π
0
= −
4
πn
2
+
4
πn
2
cos(nπ) =
=
4
πn
2
[(−1)
n
− 1]
(2.3.2)
b
n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin(nx) dx =
1
π
0
Z
−π
2x sin(nx) dx +
1
π
π
Z
0
6x sin(nx) dx =
=
2
π
"
−
x
n
cos(nx) +
1
n
2
sin(nx)
#
0
−π
+
6
π
"
−
x
n
cos(nx) +
1
n
2
sin(nx)
#
π
0
= −
8
n
cos(nπ) =
8
n
(−1)
n+1
(2.3.3)
f (x) = π +
1
πn
2
∞
X
n=1
"
4
1 + (−1)
n+1
cos(nx) + 8nπ(−1)
n+1
sin(nx)
#
(2.3.4)
Rozdział 3
Wyznaczanie ekstremali funkcjonału
3.1. Pojęcia wstępne
Definicja 3.1. Funkcjonałem nazywamy dowolne przekształcenie
I: X → R, X 3 f 7→ I(f) gdzie X jest
dowolnym zbiorem funkcji.
Poszukujemy funkcji (krzywej) y = y(x), dla której funkcjonał postaci
I(y) =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx osiąga ekstre-
mum przy danych warunkach początkowych y(x
1
) = y
1
; y(x
2
) = y
2
.
Twierdzenie 3.2 (Eulera – warunek konieczny na istnienie ekstremali funkcjonału). Jeśli funkcjonał
I(y) =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx osiąga ekstremum dla pewnej funkcji y = y(x), to spełnia równanie Eulera:
F
y
(x, y, y
0
) −
d
dx
F
y
0
(x, y, y
0
)
= 0
(3.1.1)
lub jemu równoważne
F
y
(x, y, y
0
) − F
xy
0
(x, y, y
0
) − F
yy
0
(x, y, y
0
)y
0
− F
y
0
y
0
(x, y, y
0
)y
00
= 0
(3.1.2)
Definicja 3.3. Każde rozwiązanie równania (3.1.1) nazywa się funkcją ekstremalną lub ekstremalą.
3.2. Zadania
Zadanie a)
I(y) =
π
Z
0
(y
0
)
2
− y
2
+ 4y cos x
dx
F = y
02
− y
2
+ 4y cos x;
y(0) = 0; y(π) = 0
(3.2.1)
F
y
=
−2y + 4 cos x
(3.2.2a)
F
y
0
=
2y
0
(3.2.2b)
d
dx
F
y
0
=
2y
00
(3.2.2c)
Równanie Eulera przyjmuje postać
y
00
+ y = 2 cos x
(3.2.3)
całka ogólna tego równania
y
o
=
C
1
cos x +
C
2
sin x
(3.2.4)
Przewidujemy całkę szczególną postaci
y
s
=
A cos x + B sin xx
(3.2.5a)
y
0
s
=
−
A sin x + B cos x
x +
A cos x + B sin x
(3.2.5b)
y
00
s
=
−
A cos x − B sin x
x +
−
A sin x + B cos x
+
−
A sin x + B cos x
(3.2.5c)
3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału
14
Wstawiamy obliczone pochodne do równania (3.2.3) i otrzymujemy
−
A x cos x − Bx sin x − 2A sin x + 2B cos x + A x cos x + Bx sin x = 2 cos x
skąd
A = 0
B = 1
W rozwiązaniu otrzymujemy rodzinę funkcji
y =
C
1
cos x +
C
2
sin x + x sin x
po wstawieniu warunków początkowych
y(0)
=
C
1
= 0
(3.2.6a)
y(π)
=
−
C
1
= 0
(3.2.6b)
Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci rodziny funkcji
y = (x +
C
2
) sin x
C
2
∈ R
(3.2.7)
Zadanie d)
I(y) =
π
4
Z
0
y
2
− 2y tg x − (y
0
)
2
dx; y(0) = 0; y(
π
4
) = 1
F = y
2
− 2y tg x − y
02
(3.2.8)
F
y
=
2y − 2 tg x
(3.2.9a)
F
y
0
=
−2y
0
(3.2.9b)
d
dx
F
y
0
=
−2y
00
(3.2.9c)
Równanie Eulera przyjmuje postać
y
00
+ y = tg x
(3.2.10)
całka ogólna tego równania
y
o
=
C
1
cos x +
C
2
sin x
(3.2.11)
Rozwiązujemy metodą uzmienniania stałej
całki szczególne: y
1
= cos x; y
2
= − sin x
(C
0
1
cos x +
C
0
2
sin x
= 0
−
C
0
1
sin x +
C
0
2
cos x
= tg x
(3.2.12)
Wyznacznik główny układu
W =
cos x
sin x
− sin x
cos x
= cos
2
x + sin
2
x = 1
C
1
=
Z
y
2
q(x)
W
dx = −
Z
sin x tg x dx
(3.2.13)
C
2
=
Z
y
1
q(x)
W
dx =
Z
cos x tg x dx =
Z
sin x dx = − cos x +
D
1
(3.2.14)
Mógłbym napisać: dokonując elementarnych przekształceń otrzymuję
C
1
= . . . ale tego nie zrobię. Zatem do
dzieła
−
Z
sin x tg x dx =
tg x
1
cos
2
x
sin x
− cos x
= cos x tg x +
Z
cos x
1
cos
2
x
dx = sin x −
Z
1
cos x
dx
teraz oddzielnie obliczamy
Z
1
cos x
dx =
t = tg
x
2
dx =
2 dt
1+t
2
cos x =
1−t
2
1+t
2
= 2
Z
1
1 − t
2
dt =
1
1 − t
2
=
1
2
1 − t
+
1
2
1 + t
=
Z
1
1 + t
dt −
Z
−1
1 − t
dt =
Grzegorz Jastrzębski
3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału
15
= ln |1 + t| − ln |1 − t| = ln
1 + t
1 − t
= ln
1 + tg
x
2
1 − tg
x
2
= ln
tg
π
4
+ tg
x
2
tg
π
4
− tg
x
2
= ln
sin
π
4
+
x
2
cos
π
4
cos
x
2
cos
π
4
−
x
2
cos
π
4
cos
x
2
= ln
sin
π
4
+
x
2
cos
π
4
−
x
2
=
= ln
sin
π
4
+
x
2
cos
π
4
−
x
2
−
π
2
= ln
sin
π
4
+
x
2
cos
π
4
+
x
2
= ln
tg
π
4
+
x
2
więc
C
1
= sin x − ln
tg
π
4
+
x
2
+
D
1
Rozwiązanie ogólne:
y =
sin x − ln
tg
π
4
+
x
2
+
D
1
cos x + (
D
2
− cos x) sin x
(3.2.15)
Uwzględniając warunki brzegowe
y(0)
=
−
0
z
}|
{
ln
tg
π
4
| {z }
1
+
D
1
= 0
⇒
D
1
= 0
(3.2.16a)
y
π
2
=
1 − ln
tg
π
2
!
· 0 + (
D
2
− 0) = 1
⇒
D
2
= 1
(3.2.16b)
(w zadaniu jest
π
4
ale wtedy nie bardzo daje się rozwiązać)
Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci
y =
sin x − ln
tg
π
4
+
x
2
!
cos x + (1 − cos x) sin x
(3.2.17)
Zadania c) i h)
I(y) =
1
Z
0
y
p
1 + y
02
dx
c) y(0) = cosh(1), y(1) = 1
h) y(0) = 1, y(1) = cosh(1)
F = y
p
1 + y
02
ci co chodzili na wykłady wiedzą że prowadzi to do równania:
yy
00
− y
02
= 1
ktorego rozwiązaniem jest
y =
1
C
cosh[
C(x − D)]
c) warunki brzegowe
y(0) =
1
C
cosh[
C(0 − D)] =
1
C
cosh(
CD) = cosh(1)
y(1) =
1
C
cosh[
C(1 − D)] = 1 = cosh(0)
z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:
1
C
= 1
i
C(1 − D) = 0 i CD = 1
⇐⇒
C = 1
D = 1
y = cosh(x − 1)
h) warunki brzegowe
y(0) =
1
C
cosh[
C(0 − D)] =
1
C
cosh(
CD) = cosh(0)
y(1) =
1
C
cosh[
C(1 − D)] = cosh(1)
z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:
1
C
= 1
i
C(1 − D) = 1 i CD = 0
⇐⇒
C = 1
D = 0
y = cosh(x)
Grzegorz Jastrzębski
Zadanie g) - Bonus noworoczny
I(y) =
2
Z
1
1
y
p
1 + (y
0
)
2
dx;
y(1) = 1; y(2) = 2
F =
1
y
p
1 + y
02
(3.2.18)
F
y
=
−
1
y
2
p
1 + y
02
(3.2.19a)
F
y
0
=
y
0
y
√
1 + y
0
2
(3.2.19b)
d
dx
F
y
0
=
y
00
y(1 + y
02
) − y
02
(1 + y
02
) − yy
02
y
00
y
2
(1 + y
02
)
3
2
(3.2.19c)
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów podobnych równanie Eulera przyjmuje postać:
yy
00
+ y
02
+ 1 = 0
(3.2.20)
Wykonujemy podstawienie u = u(y) = y
0
i y
00
=
du
dy
u i otrzymujemy
yu
du
dy
= −(u
2
+ 1)
rozdzielamy zmienne
u
u
2
+ 1
du = −
1
y
dy
i po scałkowaniu otrzymujemy
p
u
2
+ 1 =
1
Cy
wracamy do y
0
nieco porządkujemy
y
02
=
1 −
C
2
y
2
C
2
y
2
Rozdzielamy zmienne
s
y
2
C
2
1 − y
2
C
2
dy = dx
podstawiamy y
C = sin t wtedy dy =
1
C
cos t dt i mamy
s
sin
2
t
1 − sin
2
t
·
1
C
cos t dt = dx
Upraszczamy i otrzymujemy
1
C
sin t dt = dx
Po scałkowaniu mamy −
1
C
cos t = x +
D wracamy do y podstawiając cos t = p1 − y
2
C
2
, podnosimy obie strony
do kwadratu i podstawiamy
1
C
2
=
C
2
otrzymujemy rozwiązanie ogólne
C
2
− y
2
= (x +
D)
2
(3.2.21)
Po wstawieniu warunków brzegowych y(1) = 1 i y(2) = 2 otrzymamy ekstremalę będącą okręgiem o środku
w punkcie (3, 0) i promieniu r =
√
5
(x − 3) + y
2
= 5
(3.2.22)
Dodatek A
Zaliczenie
A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
a) f (x) = x
3
w przedziale h−π, πi
b) f (x) =
2x
dla − π < x < 0
0
dla x = 0
6x
dla 0 < x < π
c) f (x) =
(
− cos x
dla − π ¬ x < 0
cos x
dla 0 ¬ x ¬ π
d) f (x) =
(
0
dla − π ¬ x ¬ 0
sin x
dla 0 < x ¬ π
e) f (x) = x cos x w przedziale h−π, πi
f) f (x) =
1
2
π −
1
2
x w przedziale (0, π) w szereg sinusów
g) cos x w przedziale (0, π) w szereg cosinusów
h) f (x) =
(
−1
dla − π ¬ x < 0
1
dla 0 ¬ x ¬ π
i) f (x) = sin x w przedziale h−π, πi
j) f (x) = |sin x| dla dowolnego x
odpowiedzi:
a) f (x) =
∞
X
n=1
2π
2
n
(−1)
n+1
+
12
n
3
(−1)
n
sin(nx)
b) f (x) = π +
1
πn
2
∞
X
n=1
"
4
1 + (−1)
n+1
cos(nx) + 8nπ(−1)
n+1
sin(nx)
#
c) f (x) =
∞
X
n=2
2n
π(n
2
− 1)
(−1)
n
+ 1
sin(nx)
n 6= 1
d) f (x) =
1
π
+
sin(x)
2
−
1
π
∞
X
n=2
1 + (−1)
n
n
2
− 1
cos(nx)
e) f (x) =
sin(x)
2
+ 2
∞
X
n=2
n
n
2
− 1
(−1)
n
sin(nx)
f) f (x) =
∞
X
n=1
sin(nx)
n
g) f (x) =
∞
X
n=1
0 · cos(nx) + cos(x) =⇒ f (x) = cos(x)
h) f (x) =
2
π
∞
X
n=1
sin(nx)
n
1 + (−1)
n+1
i) a
n
= 0;
b
1
= 1;
b
n
= 0 (n = 2, . . .)
=⇒ f (x) = sin(x)
j) f (x) =
2
π
+
∞
X
n=2
(−1)
n+1
− 1
n
2
− 1
cos(nx)
A. Zaliczenie
18
A.2. Znaleźć ekstremalę funkcjonału
a) I(y) =
π
Z
0
(y
0
)
2
− y
2
+ 4y cos x
dx; y(0) = 0; y(π) = 0
b) I(y) =
π
2
Z
0
− y
2
+ (y
0
)
2
+ 2y sin x
dx; y(0) = 0; y(
π
2
) = 1
c) I(y) =
1
Z
0
y
p
1 + (y
0
)
2
dx; y(0) = cosh(1); y(1) = 0
d) I(y) =
π
4
Z
0
y
2
− 2y tg x − (y
0
)
2
dx; y(0) = 0; y(
π
4
) = 1
e) I(y) =
1
Z
0
y
2
+ xy − 2y
2
y
0
dx; y(0) = 0; y(1) = 1
f) I(y) =
1
Z
−1
yy
0
+ x
2
+ y
2
dx; y(−1) = 0; y(1) = 0
g) I(y) =
2
Z
1
1
y
p
1 + (y
0
)
2
dx; y(1) = 1; y(2) = 2
h) I(y) =
1
Z
0
y
p
1 + (y
0
)
2
dx; y(0) = 1; y(1) = cosh(1)
i) I(y) =
1
Z
0
− (y
0
)
2
− y
2
+ x
2
+ ye
x
dx; y(0) = 0; y(1) = 0
j) I(y) =
2
Z
0
y
0
cos(πy) + (x − y)
2
dx; y(0) = 0; y(2) = 0
Odpowiedzi:
a) y = (x +
C
2
) sin x
b) y = sin x −
1
2
x cos x
c) y = cosh(x − 1)
d) y = sin x − ln
tg(
π
4
+
x
2
)
cos x + (1 − cos x) sin x
e) y = −
1
2
x
f) y = 0
g) (x − 3)
2
+ y
2
= 5
h) y = cosh x
i) y =
e
2
4(e
2
− 1)
e
x
−
e
2
4(e
2
− 1)
e
−x
−
1
4
xe
x
j) y = x
A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta
a) Obliczyć promień krzywizny krzywej o równaniu
x = t − sin t; y = 1 − cos t dla t =
π
3
odpowiedź: R = 2
b) r = 2 cos t dla dowolnego t
odpowiedź: R = 1
wskazówka: x = r cos t; y = r sin t
c) y =
1
2
(e
x
+ e
−x
) dla x = 0
odpowiedź: R = 1
Grzegorz Jastrzębski
d) Obliczyć ekstremalne wartości promienia krzywizny krzywej o równaniu: r = cos
3
t
3
w przedziale 0 ¬ t ¬ 3π
Odpowiedź: t = 0 ∨ t = 3π ⇒ R
max
=
3
4
, t =
3
2
π ⇒ R
min
= 0
e) Znaleźć równanie okręgu krzywiznowego krzywej
y
2
= 12x w punkcie P (3, −6),
odpowiedź: (x − 15)
2
+ (y − 6)
2
= 288
f) y = cos x dla x = 0
odpowiedź: x
2
+ y
2
= 1
g) Znaleźć równanie ewoluty krzywej o równaniu:
y
2
= 2x
odpowiedź: 27y
2
= 8(x − 1)
3
h) xy = 1
odpowiedź: (x + y)
3
2
+ (x − y)
3
2
=
3
√
16
i) x = t − sin t, y = 1 − cos t
odpowiedź: x = t − sin t + π, y = 1 − cos t − 2
j) x = 3t
2
, y = 3t − t
3
odpowiedź: x =
3
2
(1 + 2t
2
− t
4
), y = −4t
3
Dodatek B
Wzory
Całkowanie przez części
Z
u(x)v
0
(x) dx =
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
u(x)
u
0
(x)
x
?
? &
x
?
?
v
0
(x)
v(x)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
= u(x)v(x) −
Z
u
0
(x)v(x) dx
Szereg Fouriera
f (x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
h
a
n
cos
nπx
`
+ b
n
sin
nπx
`
i
a
0
=
1
`
`
Z
−`
f (x) dx
a
n
=
1
`
`
Z
−`
f (x) cos
nπx
`
dx
b
n
=
1
`
`
Z
−`
f (x) sin
nπx
`
dx
funkcja parzysta
b
n
= 0
a
0
=
2
`
`
Z
0
f (x) dx
a
n
=
2
`
`
Z
0
f (x) cos
nπx
`
dx
funkcja nieparzysta
a
n
= 0
b
n
=
2
`
`
Z
0
f (x) sin
nπx
`
dx
Całki
Z
x sin(nx) dx
=
−
1
n
x cos(xn) +
1
n
2
sin(nx) +
C
(B.1.1)
Z
x cos(nx) dx
=
1
n
x sin(xn) +
1
n
2
cos(nx) +
C
(B.1.2)
Z
x
2
sin(nx) dx
=
−
1
n
x
2
cos(xn) +
2
n
2
x sin(nx) +
2
n
3
cos(nx) +
C
(B.1.3)
Z
x
2
cos(nx) dx
=
1
n
x
2
sin(xn) +
2
n
2
x cos(nx) −
2
n
3
sin(nx) +
C
(B.1.4)
Z
x
3
sin(nx) dx
=
−
1
n
x
3
cos(nx) +
3
n
2
x
2
sin(nx) +
6
n
3
x cos(nx) −
6
n
4
sin(nx) +
C
(B.1.5)
Z
sin(x) cos(nx) dx
=
1
2
Z
sin(x − nx) + sin(x + nx)
dx
(B.1.6)
Z
sin(x) sin(nx) dx
=
1
2
Z
cos(x − nx) − cos(x + nx)
dx
(B.1.7)
Z
cos(x) sin(nx) dx
=
1
2
Z
sin(nx − x) + sin(nx + x)
dx
(B.1.8)
Z
sin
2
(x) dx
=
Z
1 − cos(2x)
2
dx
(B.1.9)
Z
sin(x) cos(x) dx
=
Z
1
2
sin(2x) dx
(B.1.10)
Z
1
cos(ax)
dx
=
1
a
ln
tg
ax
2
+
π
4
(B.1.11)
Z
sin(ax) dx
=
−
1
a
cos(ax)
(B.1.12)
Z
cos(ax) dx
=
1
a
sin(ax)
(B.1.13)
Podstawienie uniwersalne dla całek funkcji trygonometrycznych
t = tg
x
2
,
skąd
dx =
2 dt
1 + t
2
,
sin x =
2t
1 + t
2
,
cos x =
1 − t
2
1 + t
2
B. Wzory
21
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
sin
2
α + cos
2
α
=
1
(B.1.14)
sin 2α
=
2 sin α cos α
(B.1.15)
cos 2α
=
cos
2
α − sin
2
α = 2 cos
2
α − 1 = 1 − 2 sin
2
α
(B.1.16)
tg(α ± β)
=
tg α ± tg β
1 ∓ tg α tg β
(B.1.17)
sin(α ± β)
=
sin α cos β ± cos α sin β
(B.1.18)
cos(α ± β)
=
cos α cos β ∓ sin α sin β
(B.1.19)
cosh
2
x − sin
2
x
=
1
(B.1.20)
sinh x
=
e
x
− e
−x
2
(B.1.21)
cosh x
=
e
x
+ e
−x
2
(B.1.22)
Krzywizna, promień krzywizny, ewoluta i ewolwenta
krzywizna κ
krzywa postaci y = f (x)
κ =
|y
00
|
p
(1 + y
02
)
3
=
|y
00
|
(1 + y
02
)
3
2
krzywa postaci parametrycznej
κ =
|x
0
y
00
− x
00
y
0
|
(x
02
+ y
02
)
3
2
promień krzywizny R
krzywa postaci y = f (x)
R =
1
κ
=
(1 + y
02
)
3
2
|y
00
|
krzywa postaci parametrycznej
R =
1
κ
=
(x
02
+ y
02
)
3
2
|x
0
y
00
− x
00
y
0
|
Środek krzywizny S(x
s
, y
s
)
krzywa postaci y = f (x)
x
s
= x − y
0
1 + y
02
y
00
y
s
= y +
1 + y
02
y
00
krzywa postaci parametrycznej
x
s
= x − y
0
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
y
s
= y + x
0
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
okrąg krzywiznowy: (x − x
s
)
2
+ (y − y
s
)
2
= R
2
Środek krzywizny w punkcie (x
0
, y
0
)
krzywa postaci y = f (x)
x
s
= x
0
− y
0
(x
0
)
1 + (y
0
(x
0
))
2
y
00
(x
0
)
y
s
= y
0
+
1 + (y
0
(x
0
))
2
y
00
(x
0
)
krzywa postaci parametrycznej dla t = t
0
x
s
= x(t
0
) − y
0
(t
0
)
(x
0
(t
0
))
2
+ (y
0
(t
0
))
2
x
0
(t
0
)y
00
(t
0
) − x
00
(t
0
)y
0
(t
0
)
y
s
= y(t
0
) + x
0
(t
0
)
(x
0
(t
0
))
2
+ (y
0
(t
0
))
2
x
0
(t
0
)y
00
(t
0
) − x
00
(t
0
)y
0
(t
0
)
Ewoluta
Ewolutą nazywamy zbiór środków krzywizny danej krzywej y
s
= f (x
s
)
Grzegorz Jastrzębski