ι
Definicja 3.1 Niech E bedzie przestrzenia (liniowa) unormowana. Operator liniowy ι
ι
ι
ι
ξ : E → R
nazywamy funkcjonaÃlem liniowym ( lub forma liniowa ).
ι
ι
Przestrzeń Banacha
E∗ := L( E, R)
nazywamy przestrzenia sprzeżona z przestrzenia E.
ι
ι
ι
ι
¤
Uwaga 1. Zgodnie z przyjetymi wcześniej oznaczeniami, L( E, R) oznacza przestrzeń Banacha której ι
elementami sa ciagÃle (= ograniczone) funkcjonaÃly liniowe.
ι
ι
Z definicji normy w przestrzeni unitarnej ( kxk 2 = < x, x > ) wynika nastepujaca uwaga.
ι
ι
Uwaga 2. Jeżeli H jest przestrzenia unitarna to dla dowolnych x, y ∈ H mamy ι
ι
kkyk 2 x− < x, y > yk 2 = kyk 2[ kxk 2 kyk 2 − < x, y > 2]
(3.1)
kx + yk 2 + kx − yk 2 = 2[ kxk 2 + kyk 2]
(3.2)
Z (3.1) wynika nierówność Schwartza:
| < x, y > | ≤ kxkkyk
(3.3)
Twierdzenie 3.2 Niech V bedzie domknieta podprzestrzenia liniowa przestrzeni Hilberta H.
ι
ι
ι
ι
ι
a) Dla każdego x ∈ H istnieje dok Ãladnie jeden element P ( x) ∈ V taki, że kx − P ( x) k = inf {|x − yk; y ∈ V }
b) Przyporzadkowanie x 7→ P ( x) definiuje operator liniowy ograniczony ι
P : H → H
c)
kP k = 1
d)
P ( x) = 0 ⇐⇒ x ⊥ V
e)
P ( x) = x ⇐⇒ x ∈ V
1
Dowód. a) Przyjmijmy d := inf {kx − yk; y ∈ V }. Z tej definicji wynika oda razu, że istnieje ciag ι
{yn}, yn ∈ V taki, że
1
kx − ynk < d +
(3.4)
n
Podstawiajac w (3.2) x 7→ 1( y ( y
ι
2
n − x) , y 7→ 1
2
m − x) otrzymujemy
1
1
1
kyn − ymk 2 = 2[ k ( y ( y
( y
2 n − x) k 2 + k 2 m − x) k 2] − 4 k 2 n + ym) − xk 2
(3.5)
Ponieważ 1( y
( y
d
2
n + ym) ∈ V to k 1
2
n + ym) − xk ≥ d, sta ι
1
− 4 k ( y
2 n + ym) − xk 2 ≤ − 4 d 2
(3.6)
Jeżeli n, m < N to z (3.4),(3.5) oraz (3.6) wynika 1
1
1
1
kyn − ymk 2 ≤ 2[( d +
)2 + ( d +
)2] − 4 d 2 = 4(
+
)
(3.7)
N
N
N
N 2
Dla każdego ² > 0 istnieje N takie, że 1
1
4(
+
) < ² 2
(3.8)
N
N 2
co oznacza, że ciag {y
tym podzbiorem
ι
n} speÃlnia warunek Cauchy’ego.
Ponieważ jest domknie ι
przestrzeni zupeÃlnej H, to jest zbieżny oraz P ( x) := lim yn ∈ V
(3.9)
n→∞
Aby pokazać że element P ( x) ∈ V jest wyznaczony jednoznacznie (t.j.nie zależy od wyboru ciagu ι
{yn}) zaÃlóżmy, że {zn}, zn ∈ V też speÃlnia warunek (3.4) i niech z 0 := lim zn
(3.10)
n→∞
Ponieważ ciag {y
c jest zbieżny, skad
ι
1 , z 2 , . . . , y 2 n− 1 , z 2 n, . . . } te ż speÃlnia warunek (3.4) a wie ι
ι
lim zn = lim yn
(3.11)
n→∞
n→∞
Twierdzenie 3.3 ( Riesz-Frechet ) Niech H
bedzie przestrzenia Hilberta. Dla każdego ξ ∈ H∗ istnieje dok Ãladnie jeden element a ∈ H taki, że ι
ι
ξ( x) = < a, x > dla x ∈ H
2