3. Przestrzenie sprze

ι

˙zone.

Definicja 3.1

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

(liniowa

ι

) unormowana

ι

. Operator liniowy

ξ : E → R

nazywamy funkcjonaÃlem liniowym ( lub forma

ι

liniowa

ι

).

Przestrze´n Banacha

E

∗

:= L(E, R)

nazywamy przestrzenia

ι

sprze

ι

˙zona

ι

z przestrzenia

ι

E.

¤

Uwaga 1. Zgodnie z przyje

ι

tymi wcze´sniej oznaczeniami, L(E, R) oznacza przestrze´n Banacha kt´orej

elementami sa

ι

cia

ι

gÃle (= ograniczone) funkcjonaÃly liniowe.

Z definicji normy w przestrzeni unitarnej ( kxk

2

=< x, x >) wynika naste

ι

puja

ι

ca uwaga.

Uwaga 2. Je˙zeli H jest przestrzenia

ι

unitarna

ι

to dla dowolnych x, y ∈ H mamy

kkyk

2

x− < x, y > yk

2

= kyk

2

[kxk

2

kyk

2

− < x, y >

2

]

(3.1)

kx + yk

2

+ kx − yk

2

= 2[kxk

2

+ kyk

2

]

(3.2)

Z (3.1) wynika nier´

owno´s´

c Schwartza:

| < x, y > | ≤ kxkkyk

(3.3)

Twierdzenie 3.2

Niech V be

ι

dzie domknie

ι

ta

ι

podprzestrzenia

ι

liniowa

ι

przestrzeni Hilberta H.

a)

Dla ka˙zdego x ∈ H istnieje dok Ãladnie jeden element P (x) ∈ V taki, ˙ze

kx − P (x)k = inf{|x − yk; y ∈ V }

b)

Przyporza

ι

dkowanie x 7→ P (x) definiuje operator liniowy ograniczony

P : H → H

c)

kP k = 1

d)

P (x) = 0 ⇐⇒ x ⊥ V

e)

P (x) = x ⇐⇒ x ∈ V

1

Dow´

od. a) Przyjmijmy d := inf{kx − yk; y ∈ V }. Z tej definicji wynika oda razu, ˙ze istnieje cia

ι

g

{y

n

}, y

n

∈ V taki, ˙ze

kx − y

n

k < d +

1

n

(3.4)

Podstawiaja

ι

c w (3.2) x 7→

1
2

(y

n

− x), y 7→

1
2

(y

m

− x) otrzymujemy

ky

n

− y

m

k

2

= 2[k

1
2

(y

n

− x)k

2

+ k

1
2

(y

m

− x)k

2

] − 4k

1
2

(y

n

+ y

m

) − xk

2

(3.5)

Poniewa˙z

1
2

(y

n

+ y

m

) ∈ V to k

1
2

(y

n

+ y

m

) − xk ≥ d, sta

ι

d

−4k

1
2

(y

n

+ y

m

) − xk

2

≤ −4d

2

(3.6)

Je˙zeli n, m < N to z (3.4),(3.5) oraz (3.6) wynika

ky

n

− y

m

k

2

≤ 2[(d +

1

N

)

2

+ (d +

1

N

)

2

] − 4d

2

= 4(

1

N

+

1

N

2

)

(3.7)

Dla ka˙zdego ² > 0 istnieje N takie, ˙ze

4(

1

N

+

1

N

2

) < ²

2

(3.8)

co oznacza, ˙ze cia

ι

g {y

n

} speÃlnia warunek Cauchy’ego. Poniewa˙z jest domknie

ι

tym podzbiorem

przestrzeni zupeÃlnej H, to jest zbie˙zny oraz

P (x) := lim

n→∞

y

n

∈ V

(3.9)

Aby pokaza´c ˙ze element P (x) ∈ V jest wyznaczony jednoznacznie (t.j.nie zale˙zy od wyboru cia

ι

gu

{y

n

}) zaÃl´o˙zmy, ˙ze {z

n

}, z

n

∈ V te˙z speÃlnia warunek (3.4) i niech

z

0

:= lim

n→∞

z

n

(3.10)

Poniewa˙z cia

ι

g {y

1

, z

2

, . . . , y

2n−1

, z

2n

, . . . } te˙z speÃlnia warunek (3.4) a wie

ι

c jest zbie˙zny, ska

ι

d

lim

n→∞

z

n

= lim

n→∞

y

n

(3.11)

Twierdzenie 3.3

( Riesz-Frechet) Niech H

be

ι

dzie przestrzenia

ι

Hilberta. Dla ka˙zdego ξ ∈ H

∗

istnieje dok Ãladnie jeden element a ∈ H taki, ˙ze

ξ(x) =< a, x > dla

x ∈ H

2