analiza funkcjonalana 1.przestrzenie Banacha i Hilberta

Przestrzenie Banacha i Hilberta.

Definicja 1.1 Niepusty zbiór E wyposażony w dwa dziaÃlania:

( x, y) 7→ x + y, x, y ∈ E

( α, x) 7→ αx, x ∈ E, α ∈ R

spelniajace nastepujace warunki:

(a) dla x, y, z ∈ R i α, β ∈ R ,

x + y = y + x,

( x + y) + z = x + ( y + z) , α( x + y) = αx + αy,

( α + β) x = αx + βx,

α( βx) = ( αβ) x,

1 x = x,

(b) istnieje dok Ãladnie jeden element 0 ∈ E taki, że

x + 0 = 0 + x = x dla x ∈ E;

(c) dla każdego x ∈ E istnieje dok Ãladnie jeden element ( −x) ∈ E taki, że x + ( −x) = ( −x) + x = 0;

nazywa sie przestrzenia liniowa rzeczywista ( lub przestrzenia liniowa nad R ).

Uwaga. W notatkach tych nie bedziemy zajmować sie przestrzeniami liniowymi nad ciaÃlami różnymi od ι

R , i dlatego zamiast ”przestrzeń liniowa nad R” bedziemy pisać ”przestrzeń liniowa”.

Definicja 1.2 Niech E bedzie przestrzenia liniowa. Funkcje ι

k.k : E −

→ [0 , ∞)

speÃlniajaca nastepujace warunki

kxk = 0

⇐⇒

x = 0 , dla x ∈ E;

kx + yk

≤

kxk + kyk, dla x, y ∈ E;

kαxk

|α|kxk,

dla α ∈ R , x ∈ E;

bedziemy nazywać norma.

Definicja 1.3 Jeżeli E jest przestrzenia liniowa i k.k : E −

→ [0 , ∞) jest norma, to pare ( E, k.k) nazy-

wamy przestrzenia unormowana.

Twierdzenie 1.4 Jeżeli ( E, k.k) jest przestrzenia unormowana to funkcja ρ : E × E −

→ [0 , ∞) , zdefi-

niowana wzorem

ρ( x, y) := kx − yk, x, y ∈ E

jest metryka. (Przestrzeń unormowana jest przestrzenia metryczna.)

Definicja 1.5 Niech E bedzie przestrzenia liniowa. Funkcje

< ., . > : E × E −

→ R

speÃlniajaca nastepujace warunki

< x, x > ≥ 0 , dla x ∈ E;

< x, x > = 0 ⇒ x = 0 , dla x ∈ E;

< x, y > = < y, x >

dla x, y ∈ E;

< αx + βy, z > = α < x, z > + β < y, z > dla α, β ∈ R , x, y, z ∈ E;

bedziemy nazywać iloczynem skalarnym.

Definicja 1.6 Jeżeli E jest przestrzenia liniowa i < ., . > : E −

→ R jest iloczynem skalarnym, to pare

( E, < ., . > ) nazywamy przestrzenia unitarna.

Twierdzenie 1.7 Jeżeli ( E, < ., . > ) jest przestrzenia unitarna to funkcja k.k : E −

→ [0 , ∞) , zdefiniowana

wzorem

√

kxk :=

< x, x > = < x, x > 12 , x ∈ E

jest norma. (Przestrzeń unitarna jest przestrzenia unormowana.)

Definicja 1.8 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x ι

0 , xn ∈ E, n ∈ N . Jeżeli

lim kxn − x 0 k = 0

n−

→∞

to mówimy, że ciag {x

n} jest zbie żny do x 0 i piszemy

x 0 = lim xn

n−

→∞

Twierdzenie 1.9 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x

0 , y 0 , xn ∈ E, n ∈ N . Jeżeli ciaι

{xn} jest jednocześnie zbieżny do x 0 oraz y 0 to x 0 = y. (Ciag zbieżny ma dokÃladnie jedna granice.) ι

Twierdzenie 1.10 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x

0 , y 0 , xn, yn ∈ E, n ∈ N . Jeżeli

x 0 = lim xn oraz y 0 = lim yn

n−

→∞

n−

→∞

x 0 + y 0 = lim ( xn + yn)

n−

→∞

Twierdzenie 1.11 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x

0 , xn ∈ E, α 0 , αn ∈ R , n ∈ N .

Jeżeli

α 0 = lim αn oraz x 0 = lim xn

n−

→∞

n−

→∞

α 0 x 0 = lim ( αnxn)

n−

→∞

Definicja 1.12 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x

n ∈ E, n ∈ N . Jeżeli

∀²> 0 ∃N∈ N ∀n,m>N kxn − xmk < ²

(C)

to mówimy, że ciag {x

n} speÃlnia warunek Cauchy’ego.

Twierdzenie 1.13 Niech E bedzie przestrzenia unormowana i niech x

g {x

n ∈ E, n ∈ N . Jeżeli ciaι

jest zbieżny, to speÃlnia warunek Cauchy’ego.

Definicja 1.14 Niech E bedzie przestrzenia unormowana. Jeżeli każdy ciag elementów przestrzeni E

speÃlniajacy warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzenia Banacha. (Przestrzeń unormowana ι

jest przestrzenia Banacha jeżeli jest przestrzenia metryczna zupeÃlna wzgledem metryki wyznaczonej przez ι

norme.)

Definicja 1.15 Niech E bedzie przestrzenia unitarna. Jeżeli każdy ciag elementów przestrzeni E speÃlniajacy ι

warunek Cauchy’ego jest zbieżny, to E jest przestrzenia Hilberta. (Przestrzeń unitarna jest przestrzenia ι

Hilberta jeżeli jest przestrzenia metryczna zupeÃlna wzgledem metryki wyznaczonej przez norme wyznaczona ι

przez iloczyn skalarny.)

Zadania.

Zadanie 1.1 Niech R ∞ oznacza zbiór ciagów liczbowych (ciagów liczb rzeczywistych) o prawie wszystkich ι

wyrazach równych 0 , t.j.

R ∞ 3 x = {x 1 , x 2 , . . . , xn, . . . } ⇐⇒ ∃N∀n>N xn = 0

Jeżeli x = {x 1 , x 2 , . . . , xn, . . . }, y = {y 1 , y 2 , . . . , yn, . . . } ∈ R ∞ i α ∈ R to przyjmujemy x + y := {x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , xn + yn, . . . }, αx := {αx 1 , αx 2 , . . . , αxn, . . . },

∞

< x, y > :=

xnyn.

n=1

Prosze udowodnić, że

1. przy tak określonych dziaÃlaniach R ∞ jest przestrzenia liniowa; ι

2. przy tak określonym iloczynie skalarnym R ∞ jest przestrzenia unitarna; ι

3. R ∞ nie jest przestrzenia Hilberta.

Zadanie 1.2 Niech l2 oznacza zbiór ciagów liczbowych x = {x ι

1 , x 2 , . . . , xn, . . . } takich, że

∞

X( xn)2 < ∞

n=1

( ”szeregi zbieżne z kwadratem”). Prosze udowodnić, że wzory podane w poprzednim zadaniu definiuja w ι

przestrzeni l2 dziaÃlania liniowe i iloczyn skalarny takie,że przestrzeń ta jest przestrzenia Hilberta.

Zadanie 1.3 Niech C[0 , 1] oznacza zbiór którego elementami sa ciagÃle funkcje x : [0 , 1] −

→ R . Ponieważ

suma i iloczyn dwóch funkcji ciagÃlych sa funkcjami ciagÃlymi, to C[0 , 1] ma naturalna strukture przestrzeni ι

liniowej. Prosze pokazać, że wzór

kxk 0 := sup {|x( t) |; t ∈ [0 , 1] }

definiuje norme oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C[0 , 1] jest przestrzenia Banacha.

Zadanie 1.4 Niech C 1[0 , 1] oznacza zbiór którego elementami sa funkcje klasy C 1

x : [0 , 1] −

→ R .

Ponieważ suma i iloczyn dwóch funkcji klasy C 1 sa funkcjami klasy C 1 , to C 1[0 , 1] ma naturalna strukture ι

przestrzeni liniowej. Prosze pokazać, że wzór

kxk 1 := sup {|x( t) |; t ∈ [0 , 1] } + sup {|x0( t) |; t ∈ [0 , 1] }

definiuje norme oraz, że przy tak zdefiniowanej normie C 1[0 , 1] jest przestrzenia Banacha.

Zadanie 1.5 Udowodnić Twierdzenia 1.4, 1.7, 1.9, 1.10, 1.11, 1.13.