analiza funkcjonalana 2.operatory liniowe

2. Operatory liniowe.

Definicja 2.1 Niech E, F beda przestrzeniami liniowymi. Odwzorowanie

A : E → F jest operatorem liniowym jeżeli dla x, y ∈ E, α ∈ R

A( x + y) = A( x) + A( y) , A( αx) = αA( x)

Twierdzenie 2.2 Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi. Operator

liniowy A : E → F jest ciagÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest ciagÃly w punkcie 0 .

Definicja 2.3 Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy

A : E → F jest ograniczony jeżeli istnieje liczba C > 0 taka, że kA( x) k ≤ Ckxk dla x ∈ E.

Twierdzenie 2.4 (Banach) Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi.

Operator liniowy A : E → F jest ciagÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony .

Definicja 2.5 Niech E bedzie przestrzenia unormowana. Domknieta kula

jednostkowa w E nazywamy zbiór

D( E) := {x ∈ E; kxk ≤ 1 }

Definicja 2.6 Niech E, F beda przestrzeniami

unormowanymi i niech A : E → F bedzie operatorem liniowym ograniczonym.

Norma operatora A nazywamy liczbe

kAk := sup {kA( x) k; x ∈ D( E) }

Twierdzenie 2.7 Niech E, F beda przestrzeniami

unormowanymi i niech A : E → F bedzie operatorem liniowym takim, że A( E) = F.

Jeżeli istnieje liczba m > 0 taka, że

kA( x) k ≥ mkxk dla każdego x ∈ E

to operator A jest różnowartościowy i operator odwrotny A− 1 : F → E jest liniowy i ograniczony.

Twierdzenie 2.8 Jeżeli E, F sa przestrzeniami

unormowanymi i A : E → F jest operatorem

liniowym ograniczonym, to

kAk = sup {kA( x) k; kxk = 1 }

oraz

kA( x) k ≤ kAkkxk dla x ∈ E

Niech E, F beda przestrzeniami unormowanymi.

L( E, F ) – zbiór wszystkich operatorów liniowych ograniczonych z E do F

L( E, F ) jest przestrzenia liniowa z dziaÃlaniami

( A + B)( x) := A( x) + B( x) , ( αA)( x) := αA( x) A, B ∈ L( E, F ) oraz α ∈ R

Twierdzenie 2.9 L( E, F ) jest przestrzenia unormowana. Jeżeli F jest przestrzenia ι

Banacha, to L( E, F ) jest też przestrzenia Banacha.