2. Operatory liniowe.

Definicja 2.1

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami liniowymi. Odwzorowanie

A : E → F jest operatorem liniowym je˙zeli dla x, y ∈ E, α ∈ R
A(x + y) = A(x) + A(y), A(αx) = αA(x)

¤

Twierdzenie 2.2

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami unormowanymi. Operator

liniowy A : E → F jest cia

ι

gÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest cia

ι

gÃly w punkcie 0.

Definicja 2.3

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy

A : E → F jest ograniczony je˙zeli istnieje liczba C > 0 taka, ˙ze

kA(x)k ≤ Ckxk dla x ∈ E.

¤

Twierdzenie 2.4

(Banach) Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami unormowanymi.

Operator liniowy A : E → F jest cia

ι

gÃly wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony .

Definicja 2.5

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

. Domknie

ι

ta

ι

kula

ι

jednostkowa

ι

w E nazywamy zbi´or

D(E) := {x ∈ E; kxk ≤ 1}

¤

Definicja 2.6

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami

unormowanymi i niech A : E → F be

ι

dzie operatorem liniowym ograniczonym.

Norma

ι

operatora A nazywamy liczbe

ι

kAk := sup{kA(x)k; x ∈ D(E)}

¤

1

Twierdzenie 2.7

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami

unormowanymi i niech A : E → F be

ι

dzie operatorem liniowym takim, ˙ze A(E) = F.

Je˙zeli istnieje liczba m > 0 taka, ˙ze

kA(x)k ≥ mkxk dla ka˙zdego x ∈ E

to operator A jest r´o˙znowarto´sciowy i operator odwrotny A

−1

: F → E jest liniowy

i ograniczony.

Twierdzenie 2.8

Je˙zeli E, F sa

ι

przestrzeniami

unormowanymi i A : E → F jest operatorem
liniowym ograniczonym, to

kAk = sup{kA(x)k; kxk = 1}

oraz

kA(x)k ≤ kAkkxk dla x ∈ E

Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami unormowanymi.

L(E, F ) – zbi´or wszystkich operator´ow liniowych ograniczonych z E do F
L(E, F ) jest przestrzenia

ι

liniowa

ι

z dziaÃlaniami

(A + B)(x) := A(x) + B(x), (αA)(x) := αA(x) A, B ∈ L(E, F ) oraz α ∈ R

Twierdzenie 2.9

L(E, F ) jest przestrzenia

ι

unormowana

ι

. Je˙zeli F jest przestrzenia

ι

Banacha, to L(E, F ) jest te˙z przestrzenia

ι

Banacha.

2