Pochodna funkcji2009 2010

background image

POCHODNA FUNKCJI


Definicja (iloraz różnicowy)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -

a < b

oraz niech x

0

(a, b),

x

0

+

x

(a, b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x

0

odpowiadającym przyrostowi

x

0

zmiennej niezależnej nazywamy liczbę

x

x

f

x

x

f

x

f

def

+

=

)

(

)

(

0

0






Rys. 1
Ilustracja definicji ilorazu różnicowego


Definicja (pochodna właściwa funkcji)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), -

a < b

oraz niech x

0

(a, b),

x

0

+

x

(a, b).

Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x

0

nazywamy granicę skończoną

0

/

0

0

0

0

( )

(

)

( )

lim

lim

def

x

x

x

f x

f x

f

f

x

x

x

x

∆ →

=

=

.

Uwaga.
Jeżeli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie x

0

, to mówimy, że funkcja f jest

żniczkowalna

w tym punkcie. Do oznaczenia pochodnej funkcji f w punkcie x

0

stosowane są także symbole

( )

)

(

,

0

0

x

Df

x

dx

df

.


Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech

α

oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) i dodatnią częścią osi Ox

(rys. 2).
Wtedy

α

tg

)

(

0

/

=

x

f

.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) ma postać:

)

)(

(

)

(

0

0

/

0

x

x

x

f

x

f

y

+

=

.








Rys. 2 Interpretacja geometryczna pochodnej

Twierdzenie (warunek konieczny różniczkowalności funkcji)

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga.
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Np. funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x

0

= 0, ale pochodna

( )

0

f

nie istnieje.

background image

2

Definicja (żniczkowalność funkcji na przedziale)

Funkcja jest różniczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w każdym
punkcie tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe

( )

f

x

nazywamy

pochodną funkcji f na przedziale i oznaczamy przez

f

.


Uwaga.
Różniczkowalność funkcji na przedziale domkniętym [a, b] oznacza jej różniczkowalność w każdym
punkcie przedziału otwartego (a, b) oraz istnienie pochodnej lewostronnej właściwej w punkcie b i
prawostronnej właściwej w punkcie a.

Definicja (pochodna niewłaściwa funkcji)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -

a < b

oraz niech będzie ciągła w punkcie

x

0

(a,b). Funkcja f ma w punkcie x

0

pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy

=

0

0

)

(

)

(

lim

0

x

x

x

f

x

f

x

x

albo

−∞

=

0

0

)

(

)

(

lim

0

x

x

x

f

x

f

x

x

.

Uwaga.
W tym przypadku styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, f(x

0

)) ma postać x=x

0

.

TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI


Twierdzenie (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x

0

, to

a) funkcja f

±

g jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

)

(

)

(

)

(

)

(

0

/

0

/

0

/

x

g

x

f

x

g

f

±

=

±

,

b) funkcja cf jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

/

/

0

0

(

) (

)

(

)

c f

x

c f

x

= ⋅

, gdzie c

ℝ ,

c) funkcja

f g

jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

/

0

0

0

/

0

/

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f

+

=

,

d) przy założeniu, że g(x

0

)

0 funkcja

g

f

jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

0

/

0

0

0

/

0

/

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

f

=





.


Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli
1.

funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

0

,

2.

funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f(x

0

),

to funkcja złożona

f

g



jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

0

/

0

/

0

/

x

f

x

f

g

x

f

g

=



.

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Niech
1.

funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),

2.

funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b),

3.

)

,

(

,

0

)

(

0

0

/

b

a

x

x

f

.

Wtedy funkcja odwrotna

1

f

jest różniczkowalna w punkcie y

0

= f(x

0

) oraz

)

(

1

)

(

)

(

0

/

0

/

1

x

f

y

f

=

.

background image

3

POCHODNE WAśNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Funkcja

Pochodna

Zakres zmienności

c

(funkcja stała)

0

R

c

x

1

R

x

α

x

1

α

α

x

α

R, x > 0

1

x

2

1

x

x

0

x

sin

x

cos

R

x

x

cos

x

sin

R

x

x

tg

2

1

cos x

Z

k

gdzie

k

x

+

,

2

π

π

x

ctg

2

1

sin x

Z

k

gdzie

k

x

,

π

x

a

a

a

x

ln

0 < a

1, x

R

x

e

x

e

R

x

x

sin

arc

2

1

1

x

1

<

x

x

arccos

2

1

1

x

1

<

x

x

arctg

2

1

1

x

+

R

x

x

arcctg

2

1

1 x

+

R

x

x

a

log

a

x ln

1

0 < a

1, x > 0

x

ln

x

1

x > 0

Uwaga.

Aby obliczyć pochodne funkcji postaci

g

f

oraz

g

f

log

zapisujemy te funkcje w następujących postaciach:

f

g

g

e

f

ln

=

oraz

f

g

g

f

ln

ln

log

=

POCHODNE WYśSZYCH RZĘDÓW

Definicja (pochodna n-tego rzędu funkcji)

Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x

0

definiujemy indukcyjnie:

[

]

2

)

(

)

(

0

/

)

1

(

0

)

(

=

n

dla

x

f

x

f

n

def

n

,

gdzie

)

(

)

(

0

/

0

1

x

f

x

f

def

=

. Ponadto przyjmujemy

)

(

)

(

0

0

)

0

(

x

f

x

f

def

=

.

Jeżeli istnieje pochodna właściwa

)

(

0

)

(

x

f

n

, to mówimy, że funkcja f jest

n-krotnie różniczkowalna

w punkcie x

0

.

Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe

)

(

)

(

x

f

n

, nazywamy

pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez

)

(n

f

. Piszemy także

//

///

,

,

IV

f

f

f

zamiast

odpowiednio

)

4

(

)

3

(

)

2

(

,

,

f

f

f

. W fizyce gdy zmienną jest czas t stosuje się oznaczenia

,

f

f

ɺ ɺɺ

zamiast odpowiednio

//

/

,

f

f

.


Uwaga.
Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji w punkcie x

0

konieczne jest istnienie pochodnej

)

1

(

n

f

(i co za tym idzie także

wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu punktu x

0

. Do oznaczania pochodnej n-tego rzędu

funkcji f w punkcie x

0

stosuje się także symbole

)

(

0

x

dx

f

d

n

n

,

0

(

)

n

D f x

, a na przedziale symbole

n

n

dx

f

d

,

f

D

n

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
LISTA 3 Pochodna funkcji 2010
2010 12 17 pochodna funkcji
2010 12 17 pochodna funkcji
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji, IB i IŚ, 2011 12
Przed maturą Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
3 Pochodna funkcji (2)
5 pochodna funkcji
14 Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej
4 Pochodna funkcji
pochodne funkcji wzory
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
POCHODNA FUNKCJI, Mechanika i Budowa Maszyn PWR MiBM, Semestr I, Fizyka, fiza
Dokument pochodne funkcji
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI
matematyka, Pochodna FUNKCJI+, ILORAZ RÓŻNICOWY FUNKCJI

więcej podobnych podstron