POCHODNA FUNKCJI
Definicja (iloraz róŜnicowy)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -
∞
≤
a < b
≤
∞
oraz niech x
0
∈
(a, b),
x
0
+
∆
x
∈
(a, b). Ilorazem róŜnicowym funkcji f w punkcie x
0
odpowiadającym przyrostowi
∆
x
≠
0
zmiennej niezaleŜnej nazywamy liczbę
x
x
f
x
x
f
x
f
def
∆
−
∆
+
=
∆
∆
)
(
)
(
0
0
Rys. 1 Ilustracja definicji ilorazu róŜnicowego
Definicja (pochodna właściwa funkcji)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), -
∞
≤
a < b
≤
∞
oraz niech x
0
∈
(a, b),
x
0
+
∆
x
∈
(a, b).
Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granicę skończoną
0
/
0
0
0
0
( )
(
)
( )
lim
lim
def
x
x
x
f x
f x
f
f
x
x
x
x
→
∆ →
−
∆
=
=
−
∆
.
Uwaga.
JeŜeli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie x
0
, to mówimy, Ŝe funkcja f jest
róŜniczkowalna
w tym punkcie. Do oznaczenia pochodnej funkcji f w punkcie x
0
stosowane są takŜe symbole
( )
)
(
,
0
0
x
Df
x
dx
df
.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech
α
oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f(x
0
)) i dodatnią częścią osi Ox
(rys. 2).
Wtedy
α
tg
)
(
0
/
=
x
f
.
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f(x
0
)) ma postać:
)
)(
(
)
(
0
0
/
0
x
x
x
f
x
f
y
−
+
=
.
Rys. 2 Interpretacja geometryczna pochodnej
Twierdzenie (warunek konieczny róŜniczkowalności funkcji)
JeŜeli funkcja jest róŜniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga.
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Np. funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x
0
= 0, ale pochodna
( )
0
f
′
nie istnieje.
2
Definicja (róŜniczkowalność funkcji na przedziale)
Funkcja jest róŜniczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest róŜniczkowalna w kaŜdym
punkcie tego przedziału.
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe
( )
f
x
′
nazywamy
pochodną funkcji f na przedziale i oznaczamy przez
f
′
.
Uwaga.
RóŜniczkowalność funkcji na przedziale domkniętym [a, b] oznacza jej róŜniczkowalność w kaŜdym
punkcie przedziału otwartego (a, b) oraz istnienie pochodnej lewostronnej właściwej w punkcie b i
prawostronnej właściwej w punkcie a.
Definicja (pochodna niewłaściwa funkcji)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -
∞
≤
a < b
≤
∞
oraz niech będzie ciągła w punkcie
x
0
∈
(a,b). Funkcja f ma w punkcie x
0
pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy
∞
=
−
−
→
0
0
)
(
)
(
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
x
albo
−∞
=
−
−
→
0
0
)
(
)
(
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
x
.
Uwaga.
W tym przypadku styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f(x
0
)) ma postać x=x
0
.
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
Twierdzenie (o pochodnej sumy, róŜnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)
JeŜeli funkcje f i g są róŜniczkowalne w punkcie x
0
, to
a) funkcja f
±
g jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
oraz
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
/
0
/
x
g
x
f
x
g
f
±
=
±
,
b) funkcja cf jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
oraz
/
/
0
0
(
) (
)
(
)
c f
x
c f
x
⋅
= ⋅
, gdzie c
∈
ℝ ,
c) funkcja
f g
⋅
jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
oraz
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
/
0
0
0
/
0
/
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
⋅
+
⋅
=
⋅
,
d) przy załoŜeniu, Ŝe g(x
0
)
≠
0 funkcja
g
f
jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
oraz
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
/
0
0
0
/
0
/
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
⋅
−
⋅
=
.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złoŜonej)
JeŜeli
1.
funkcja f jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
,
2.
funkcja g jest róŜniczkowalna w punkcie f(x
0
),
to funkcja złoŜona
f
g
jest róŜniczkowalna w punkcie x
0
oraz
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
0
/
0
/
0
/
x
f
x
f
g
x
f
g
=
.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech
1.
funkcja f będzie ciągła na przedziale (a,b),
2.
funkcja f będzie malejąca albo rosnąca na przedziale (a,b),
3.
)
,
(
,
0
)
(
0
0
/
b
a
x
x
f
∈
≠
.
Wtedy funkcja odwrotna
1
−
f
jest róŜniczkowalna w punkcie y
0
= f(x
0
) oraz
)
(
1
)
(
)
(
0
/
0
/
1
x
f
y
f
=
−
.
3
POCHODNE WAśNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Funkcja
Pochodna
Zakres zmienności
c
(funkcja stała)
0
R
c
∈
x
1
R
x
∈
α
x
1
−
α
α
x
α
∈
R, x > 0
1
x
2
1
x
−
x
≠
0
x
sin
x
cos
R
x
∈
x
cos
x
sin
−
R
x
∈
x
tg
2
1
cos x
Z
k
gdzie
k
x
∈
+
≠
,
2
π
π
x
ctg
2
1
sin x
−
Z
k
gdzie
k
x
∈
≠
,
π
x
a
a
a
x
ln
0 < a
≠
1, x
∈
R
x
e
x
e
R
x
∈
x
sin
arc
2
1
1
x
−
1
<
x
x
arccos
2
1
1
x
−
−
1
<
x
x
arctg
2
1
1
x
+
R
x
∈
x
arcctg
2
1
1 x
−
+
R
x
∈
x
a
log
a
x ln
1
0 < a
≠
1, x > 0
x
ln
x
1
x > 0
Uwaga.
Aby obliczyć pochodne funkcji postaci
g
f
oraz
g
f
log
zapisujemy te funkcje w następujących postaciach:
f
g
g
e
f
ln
=
oraz
f
g
g
f
ln
ln
log
=
POCHODNE WYśSZYCH RZĘDÓW
Definicja (pochodna n-tego rzędu funkcji)
Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x
0
definiujemy indukcyjnie:
[
]
2
)
(
)
(
0
/
)
1
(
0
)
(
≥
=
−
n
dla
x
f
x
f
n
def
n
,
gdzie
)
(
)
(
0
/
0
1
x
f
x
f
def
=
. Ponadto przyjmujemy
)
(
)
(
0
0
)
0
(
x
f
x
f
def
=
.
JeŜeli istnieje pochodna właściwa
)
(
0
)
(
x
f
n
, to mówimy, Ŝe funkcja f jest
n-krotnie róŜniczkowalna
w punkcie x
0
.
Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe
)
(
)
(
x
f
n
, nazywamy
pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez
)
(n
f
. Piszemy takŜe
//
///
,
,
IV
f
f
f
zamiast
odpowiednio
)
4
(
)
3
(
)
2
(
,
,
f
f
f
. W fizyce gdy zmienną jest czas t stosuje się oznaczenia
,
f
f
ɺ ɺɺ
zamiast odpowiednio
//
/
,
f
f
.
Uwaga.
Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji w punkcie x
0
konieczne jest istnienie pochodnej
)
1
(
−
n
f
(i co za tym idzie takŜe
wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu punktu x
0
. Do oznaczania pochodnej n-tego rzędu
funkcji f w punkcie x
0
stosuje się takŜe symbole
)
(
0
x
dx
f
d
n
n
,
0
(
)
n
D f x
, a na przedziale symbole
n
n
dx
f
d
,
f
D
n
.