Zad. 1. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego wytwarzanego w pewnej fabryce jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m,σ). W celu oszacowania wartości średniej dokonano pomiaru wytrzymałości na ośmiu wylosowanych niezależnie sztukach tego materiału i otrzymano następujące wyniki: 20, 21, 20, 19, 20, 18, 22, 20.
a) Znaleźć wartości liczbowe krańców przedziału ufności dla średniej przyjmując σ2=1,44 i poziom ufności 0,93
b) Znaleźć wartości liczbowe krańców przedziału ufności dla parametru m, ale nie zakładając znajomości parametru σ2. Przyjąć poziom ufności 0,98
Rozwiązanie:
= 20
S=1,195
a) Przedział ufności dla wartości średniej przy znanym odchyleniu standardowym znajdziemy wykorzystując statystykę:
−
= √
, która przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego N(0,1).
Stąd poszukiwany przedział przyjmuje postać:
−
√ ≤ = 1 −
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy
−
< < + = 1 −
√
√
, gdzie:
m <- szacowana wartość średnia
= 20 <- średnia z próbki
n=8 <-rozmiar próbki
= √1,44 = 1,2 <-odchylenie standardowe
1-α=0,93 <- poziom ufności
= ,!"# = 1,81 <-kwantyl rzędu 0,965 rozkładu N(0,1) Zatem:
1,81 ∗ 1,2
−
= 20 −
= 19,23
√
√8
1,81 ∗ 1,2
+
= 20 +
= 20,77
√
√8
Czyli poszukiwany przedział ufności dla wartości średniej wynosi: [19,23; 20,77].
b) Przedział ufności dla wartości średniej przy nieznanym odchyleniu standardowym znajdziemy wykorzystując statystykę:
= ) √
, która ma rozkład t-Studenta z n-1 stopniami swobody.
Stąd poszukiwany przedział przyjmuje postać:
−
) √ ≤ ,* = 1 −
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy
−
,*) < < + ,*) = 1 −
√
√
, gdzie:
m <- szacowana wartość przeciętna różnicy
= 20 <- średnia z próbki
n=8 <-rozmiar próbki
S=1,195 <-odchylenie standardowe z próbki
1-α=0,98 <- poziom ufności
,* = ,!!;, = 2,998 <-kwantyl rzędu 0,99 rozkładu t-Studenta z 7 stopniami swobody Zatem:
2,998 ∗ 1,195
−
,*) = 20 −
= 18,73
√
√8
2,998 ∗ 1,195
+
,*) = 20 +
= 21,27
√
√8
Czyli poszukiwany przedział ufności dla średniej wynosi: [18,73; 21,27].
Zad. 2. Ocenia się, że w województwie X korzystało bezprawnie z pewnej ulgi podatkowej 10%
podatników. Istnieje nadzieja, że zmiana przepisów mogła zmniejszyć podany odsetek osób nieprawidłowo obliczających płacony przez nie podatek. Wylosowano 150 podatników i wykazano, że 9 z nich niesłusznie skorzystało ze wspomnianej ulgi. Skonstruować odpowiedni test na poziomie istotności 4%.
Rozwiązanie:
Hipoteza zerowa H0: . ≤ .
Hipoteza alternatywna HA: . > .
Do weryfikacji hipotezy H0 stosujemy test dla wskaźnika struktury oparty na statystyce:
. − .
=
0. (1 − . )
Statystyka ta przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego N(0,1).
Zbiór krytyczny wynosi 3 = [, ∞), gdzie t1-α jest kwantylem rzędu 1-α standardowego rozkładu normalnego.
, gdzie:
α = 4%=0,04 <- poziom istotności
m=9 <- liczba elementów wyróżnionych
n=150 <- rozmiar próby
p=m/n=9/150=0,06 <- frakcja otrzymana z próby
p0=10%=0,1 <- hipotetyczna frakcja
t1-α=t0,96=1,75 <- kwantyl rzędu 0,96 rozkładu standardowego rozkładu normalnego Zbiór krytyczny wynosi zatem: 3 = [1,75; ∞)
Natomiast wartość statystyki jest równa:
. − .
0,06 − 0,1
=
=
= −1,63
0. (1 − . )
00,1(1 − 0,1)
150
Wniosek: Wartość statystyki t=-1,63 nie należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności 0,04 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy zatem, że nastąpił spadek liczby nieuczciwych obywateli.
Zad. 3. Komputer dodaje 12*81=972 liczb rzeczywistych, z których każdą zaokrągla do najbliższej całkowitej. Zakłada się, że błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład jednostajny na odcinku (-0,5; 0,5). ( wsk. Jeśli X ma rozkład jednostajny na odcinku [a,b] to EX=(a+b)/2 i VarX=(a-b)2/12). Znaleźć oszacowanie prawdopodobieństwa tego, że błąd w obliczeniu sumy odchyli się od 0 o mniej niż 18.
Obliczenia wykonać korzystając z centralnego twierdzenia granicznego.
Rozwiązanie:
Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) mówi, że zmienna losowa będąca sumą n zmiennych losowych Z=X1+…+Xn o jednakowym rozkładzie ze średnią m i odchyleniem standardowym σ dąży do rozkładu normalnego Z~N(nm, √).
Niech Xi zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku 9-0,5; 0,5), opisującą błąd zaokrąglenia i-tej liczby.
9 + : −0,5 + 0,5
= 78 = 2 =
2
= 0
= ;<9=8 = >(9 − :)
12
= >(−0,5 − 0,5)
12
= >(−1)
12 = 0,289
Niech Z=X1+…+X972 opisuje błąd po dodaniu 972 liczb. Z CTG ?~AB972 ∗ 0; 0,289 ∗ √972C =
A(0; 9,01)
? − 0 18 − 0
? − 0 −18 − 0
(|?| < 18) = (? < 18) − (? < −18) = E 9,01 < 9,01 F − E 9,01 < 9,01 F
18 − 0
−18 − 0
= Φ E 9,01 F −ΦE 9,01 F = Φ(1,998)− Φ(−1,998)
= Φ(1,998) − B1 − Φ(1,998)C = 2 ∗ Φ(1,998) − 1 = 2 ∗ 0,9772 − 1 = 0,9544
Wykorzystałem następującą własność rodziny rozkładów normalnych: niech X~N(m,σ), wówczas
? = HI ~ N(0,1)
J
Φ - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.