Przykład 10.2. Obliczenie obci ˛

ażenia granicznego

Obliczyć obciążenie graniczne Pgr dla poniższej belki. Przekrój poprzeczny i granica plastyczności są stałe. Graniczny moment plastyczny, przy którym następuje uplastycznienie całego przekroju poprzecznego wynosi Mpl.

2P

2P

5P

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

2l

Rozwi ˛

azanie

Obciążenie graniczne jest to obciążenie wywołujące powstanie w konstrukcji odkształce ń plastycznych, które powodują zamianę konstrukcji w mechanizm. Stan naprężenia w konstrukcji poddanej obciążeniu granicznemu spełnia warunki równowagi i warunki plastyczności, a stan przemieszczenia jest kinematycznie dopuszczalny, czyli zgodny z więzami. Do określenia ob-ciążenia granicznego używane są dwa podejścia: statyczne i kinematyczne. Rozważane zadanie rozwiążemy za pomocą podejścia kinematycznego. W tym podejściu wyznaczania obciążenia granicznego algorytm jest następujący: 1. ustala się liczbę uplastycznianych przekrojów (w przypadku zginanej belki – przegubów plastycznych) – rozpatrywana belka jest 2-krotnie statycznie niewyznaczalna, w związku z tym należy wprowadzić co najwyżej trzy przeguby plastyczne, aby powstał mechanizm o jednym stopniu swobody;

2. zakłada się kinematycznie dopuszczalny schemat zniszczenia, to znaczy zgodny z wię-

zami, o jednym stopniu swobody. Kierunek przemieszcze ń ustala się tak, aby praca ob-ciążeń zewnętrznych była dodatnia; 3. kierunki sił przekrojowych w uplastycznionych przekrojach (kierunki momentów plastycznych w przegubach plastycznych – w przypadku zginania belki) ustala się tak, aby były przeciwne do kierunku przemieszcze ń (obrotów w przypadku zginania); 4. z warunku równowagi lub równania pracy wirtualnej oblicza się obciążenie niszczące odpowiadające rozpatrywanemu schematowi zniszczenia; 5. najmniejsze obciążenie, ze zbioru wartości obciążeń obliczonych dla poszczególnych schematów zniszczenia, jest obciążeniem granicznym.

Przeguby plastyczne należy umieszczać w tych przekrojach, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne momentu zginającego, tj. w rozpatrywanym przypadku w przekrojach podporo-wych oraz w przekrojach obciążonych siłami skupionymi.

Uzewnętrzniając momenty plastyczne należy pamiętać, że praca tych momentów musi być ujemna, tzn. kierunek momentu plastycznego musi być taki, aby przeciwdziałać założonemu obrotowi pręta.

1

W rozpatrywanym przypadku należy rozpatrzyć mechanizmy zniszczenia przedstawione na ry-sunkach na następnej stronie.

2P

2P

2P

5P

2P

5P

Mpl

Mpl

δ

Mpl

δ

Mpl

Mpl

Mpl

2l

l

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

2P

2P

5P

2P

5P

2P

M

M

pl

Mpl

pl

δ

δ

Mpl

Mpl

Mpl

Mpl

Mpl

2l

l

l⁄ l

l

l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

l

l⁄2 ⁄2 ⁄2

2l

2l

5P

2P

2P

5P

2P

2P

Mpl

Mpl

Mpl

δ

δ

Mpl

Mpl

Mpl

l⁄

l

l

l

l

l

2

⁄2 ⁄2

⁄2 ⁄2 ⁄2

2l

2l

5P

2P

2P

5P

2P

2P

Mpl

Mpl

M

M

pl

pl

M

δ

δ

pl

M

M

pl

Mpl

pl

l⁄

l

l

l

l

2

⁄2

⁄2 ⁄2 ⁄2

2l

2l

5P

2P

2P

Mpl

δ

M

M

pl

pl

Mpl

2l

2l

Dla wszystkich schematów zniszczenia układamy równania pracy wirtualnej i wyliczamy wartości obciążenia P odpowiadające danemu schematowi.

Schemat I.

2P

2P

5P

Mpl

δ

Mpl

Mpl

2l

l

δ

δ

5 Mpl

2P · δ − Mpl ·

− 2Mpl ·

= 0

=⇒

P =

2l

l

4

l

2

Schemat II.

2P

2P

5P

Mpl

δ

Mpl

Mpl

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

l

δ

δ

δ · 2

5 Mpl

2P · δ − M

l

pl ·

− Mpl ·

− Mpl ·

= 0

=⇒

2P =

=⇒

2l

l

l

2

l

2

5 Mpl

=⇒

P = 4 l

Schemat III.

2P

2P

5P

Mpl

δ

Mpl

Mpl

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

l

1

δ

δ

δ

5

Mpl

2P · δ + 2P · δ · 2 ·

− M

− M

− M

2 = 0

=⇒

P = 2

=⇒

l

pl ·

pl ·

pl ·

2

2l

l

l

2

l

4 Mpl

=⇒ P = 5 l

Schemat IV.

2P

5P

2P

M

M

pl

pl

δ

Mpl

Mpl

Mpl

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

2l

3

l

1

2P · δ + 2P · δ · 2 ·

+ 5P · δ +

l

2

δ

δ

δ

δ

15

M

− M

pl

pl ·

− Mpl ·

− Mpl ·

− 2Mpl ·

= 0

=⇒

P = 3

=⇒

2l

l

2l

2l

2

l

2 Mpl

=⇒

P = 5 l

Schemat V.

2P

2P

5P

δ

Mpl

Mpl

l⁄

l

l

2

⁄2 ⁄2

l

δ

δ

Mpl

2P · δ · 2 − M

− M

= 0

=⇒

P = 3

l

pl · l

pl · l

l

2

Schemat VI.

5P

2P

2P

Mpl

Mpl

M

δ

pl

Mpl

l⁄

l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

2l

l

2l

δ

2δ

2δ

2P · δ · 2 + 5P · δ ·

− M

− M

− 2 · M

= 0

=⇒

l

l

pl · l

pl ·

pl ·

2l

2l

2

Mpl

5 Mpl

=⇒

11P = 5

=⇒

P =

l

11

l

4

Schemat VII.

2P

2P

5P

Mpl

δ

Mpl Mpl

l⁄

l

2

⁄2

δ

δ

Mpl

2P · δ − Mpl ·

− 2M

= 0

=⇒

P = 3

l

pl · l

l

2

2

Schemat VIII.

5P

2P

2P

Mpl

M

M

pl

δ

pl

Mpl

Mpl

l⁄

l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

2l

2l

δ

δ

δ · 2l

δ · 2l

l

l

2P · δ + 5P · δ ·

− M

− M

− M

2

− 2 · M

2

= 0

=⇒

l

pl · l

pl · l

pl ·

pl ·

2l

2l

2

2

2

Mpl

5 Mpl

=⇒

22P = 10

=⇒

P =

l

11

l

Schemat IX.

5P

2P

2P

Mpl

δ

M

M

pl

pl

Mpl

2l

2l

5

δ

δ

2 Mpl

5P · δ − 2Mpl ·

− 2Mpl ·

= 0

=⇒

P =

2l

2l

5

l

Najmniejsza wartość obciążenia powodującego powstanie schematu zniszczenia jest obciążeniem granicznym wyznaczonym metodą kinematyczną.

5 5 4 2

5

5

2

M

2 M

P k

pl

pl

= min

, , , , 3,

, 3,

,

·

=

gr

4 4 5 5

11

11 5

l

5

l

Oznacza to, że przekształcenie konstrukcji w mechanizm następuje według schematu IV. lub IX.

bądź wg schematu będącego kombinacją tych dwóch schematów.

Można udowodnić, że rzeczywiste obciążenie graniczne zawarte jest w przedziale P s 6 P

gr

gr 6 P k

gr

gdzie P s oznacza obciążenie graniczne wyznaczone metodą statyczną. W przypadku, gdy gr

P s = P

gr

gr = P k

gr

mamy do czynienia z rozwiązaniem zupełnym, zwanym również kompletnym lub ścisłym.

Oznacza to, że mechanizm zniszczenia wyznaczony metodą rozwiązania kinematycznego jest stowarzyszony z rozwiązaniem statycznym.

Sprawdźmy, czy dla wyznaczonego obciążenia granicznego spełnione są wymagania podej-

ścia statycznego. W tym celu należy narysować wykres momentów zginających odpowiadający schematowi zniszczenia. Rozpatrzmy schemat IX. Interesowa ć nas będą wartości momentów zginających w punktach, w których wykres momentu może osiąga ć ekstrema lokalne, tj.

w punktach B, C, D i E.

4⁄ M

4

M

5

pl⁄l

⁄5 pl⁄l

2 M

pl⁄l

MplMpl

Mpl Mpl

Mpl

A

C

F

B

D E

G

H

R

R

R

R

A

C

F

H

2l

l

l⁄ l

l

2

⁄2 ⁄2

2l

2l

6

X

M

M p

pl

= 0

=⇒

R

G

H · 2l + Mpl + Mpl = 0

=⇒

RH = − l

X

M

M p

pl

= 0

=⇒

R

· 3l − M

D

H · 5l + Mpl + Mpl + 2

l

pl − Mpl + RF · l +

4 Mpl

l

+ Mpl −

·

= 0

=⇒

5

l

2

M

pl

Mpl

Mpl

2 Mpl

=⇒

RF = −5 −

− 6

−

+

=⇒

l

l

l

5

l

8 Mpl

=⇒

RF = − 5 l

X

17

M

13

9

M p

pl

= 0

=⇒

R

l + M

·

l − M

l +

A

H ·

pl + Mpl + 2

pl − Mpl + RF ·

2

l

2

2

4 Mpl

4 Mpl

+ Mpl −

· 4l + RC · 3l +

· 2l = 0

=⇒

5

l

5

l

M

pl

17

8 Mpl

9

=⇒

3RCl = − −

l − 13M

−

l − M

l

pl −

pl +

2

5

l

2

16 Mpl

8 Mpl

+

−

=⇒

5

l

5

l

17

36

8

=⇒

3RCl =

− 14 +

+

Mpl

=⇒

2

5

5

17 · 5 − 14 · 10 + 44 · 2 Mpl

=⇒

RC =

=⇒

3 · 10

l

85 − 140 + 88 Mpl

33 Mpl

=⇒

RC =

=⇒

RC =

=⇒

30

l

30

l

11 Mpl

=⇒

RC = 10 l

X

7

4 M

3

1

M l

pl

= 0

=⇒

R

l +

· l + R

l = 0

=⇒

D

A ·

C ·

2

5

l

2

2

7

6

11 Mpl 1

=⇒

RAl = − Mpl −

l

=⇒

2

5

10

l 2

7

35

1 Mpl

=⇒

RAl = −

Mpl

=⇒

RA = −

2

20

2

l

Dodatkowo sprawdźmy warunek

X

4 M

4 M

M

P

pl

pl

pl

y = RA +

+ RC −

+ RF + 2

+ RH =

5

l

5

l

l

Mpl

11 Mpl

8 Mpl

Mpl

Mpl

−5 + 11 − 16 Mpl

Mpl

= −

+

−

+ 2

−

=

+

= 0

2l

10

l

5

l

l

l

10

l

l

1.4

T

1.0

(+)

0.6

(+)

0.3

A

F

(-)

B

C D E

G

H

(-)

0.5

.M

1.0

pl ⁄l

7

Stowarzyszony wykres momentów zginających ma więc posta ć M

1.0

1.0

0.7

A

E

F

B

C D

G

H

0.7

.

1.0

Mpl

1.0

Ponieważ spełniony jest warunek plastyczności |M | 6 Mpl otrzymane rozwiązanie jest zu-pełne.

Warto zapamiętać, że w przypadku belek wieloprzęsłowych, na które działa obciążenie zewnę-

trzne o różnych znakach, obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia w których powstają przemieszczenia w większej liczbie przęseł są mniejsze niż obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia pojedynczych przęseł. Inaczej jest, gdy obciążenia zewnętrzne mają jednakowe znaki – w takich przypadkach mniejsze wartości obciążenia otrzymujemy dla schematów zniszczenia pojedynczych przęseł.

8