Przykład 10.2. Obliczenie obci ˛
ażenia granicznego
Obliczyć obciążenie graniczne Pgr dla poniższej belki. Przekrój poprzeczny i granica plastyczności są stałe. Graniczny moment plastyczny, przy którym następuje uplastycznienie całego przekroju poprzecznego wynosi Mpl.
2P
2P
5P
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
2l
Rozwi ˛
azanie
Obciążenie graniczne jest to obciążenie wywołujące powstanie w konstrukcji odkształce ń plastycznych, które powodują zamianę konstrukcji w mechanizm. Stan naprężenia w konstrukcji poddanej obciążeniu granicznemu spełnia warunki równowagi i warunki plastyczności, a stan przemieszczenia jest kinematycznie dopuszczalny, czyli zgodny z więzami. Do określenia ob-ciążenia granicznego używane są dwa podejścia: statyczne i kinematyczne. Rozważane zadanie rozwiążemy za pomocą podejścia kinematycznego. W tym podejściu wyznaczania obciążenia granicznego algorytm jest następujący: 1. ustala się liczbę uplastycznianych przekrojów (w przypadku zginanej belki – przegubów plastycznych) – rozpatrywana belka jest 2-krotnie statycznie niewyznaczalna, w związku z tym należy wprowadzić co najwyżej trzy przeguby plastyczne, aby powstał mechanizm o jednym stopniu swobody;
2. zakłada się kinematycznie dopuszczalny schemat zniszczenia, to znaczy zgodny z wię-
zami, o jednym stopniu swobody. Kierunek przemieszcze ń ustala się tak, aby praca ob-ciążeń zewnętrznych była dodatnia; 3. kierunki sił przekrojowych w uplastycznionych przekrojach (kierunki momentów plastycznych w przegubach plastycznych – w przypadku zginania belki) ustala się tak, aby były przeciwne do kierunku przemieszcze ń (obrotów w przypadku zginania); 4. z warunku równowagi lub równania pracy wirtualnej oblicza się obciążenie niszczące odpowiadające rozpatrywanemu schematowi zniszczenia; 5. najmniejsze obciążenie, ze zbioru wartości obciążeń obliczonych dla poszczególnych schematów zniszczenia, jest obciążeniem granicznym.
Przeguby plastyczne należy umieszczać w tych przekrojach, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne momentu zginającego, tj. w rozpatrywanym przypadku w przekrojach podporo-wych oraz w przekrojach obciążonych siłami skupionymi.
Uzewnętrzniając momenty plastyczne należy pamiętać, że praca tych momentów musi być ujemna, tzn. kierunek momentu plastycznego musi być taki, aby przeciwdziałać założonemu obrotowi pręta.
1
W rozpatrywanym przypadku należy rozpatrzyć mechanizmy zniszczenia przedstawione na ry-sunkach na następnej stronie.
2P
2P
2P
5P
2P
5P
Mpl
Mpl
δ
Mpl
δ
Mpl
Mpl
Mpl
2l
l
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
2P
2P
5P
2P
5P
2P
M
M
pl
Mpl
pl
δ
δ
Mpl
Mpl
Mpl
Mpl
Mpl
2l
l
l⁄ l
l
l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
l
l⁄2 ⁄2 ⁄2
2l
2l
5P
2P
2P
5P
2P
2P
Mpl
Mpl
Mpl
δ
δ
Mpl
Mpl
Mpl
l⁄
l
l
l
l
l
2
⁄2 ⁄2
⁄2 ⁄2 ⁄2
2l
2l
5P
2P
2P
5P
2P
2P
Mpl
Mpl
M
M
pl
pl
M
δ
δ
pl
M
M
pl
Mpl
pl
l⁄
l
l
l
l
2
⁄2
⁄2 ⁄2 ⁄2
2l
2l
5P
2P
2P
Mpl
δ
M
M
pl
pl
Mpl
2l
2l
Dla wszystkich schematów zniszczenia układamy równania pracy wirtualnej i wyliczamy wartości obciążenia P odpowiadające danemu schematowi.
Schemat I.
2P
2P
5P
Mpl
δ
Mpl
Mpl
2l
l
δ
δ
5 Mpl
2P · δ − Mpl ·
− 2Mpl ·
= 0
=⇒
P =
2l
l
4
l
2
Schemat II.
2P
2P
5P
Mpl
δ
Mpl
Mpl
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
l
δ
δ
δ · 2
5 Mpl
2P · δ − M
l
pl ·
− Mpl ·
− Mpl ·
= 0
=⇒
2P =
=⇒
2l
l
l
2
l
2
5 Mpl
=⇒
P = 4 l
Schemat III.
2P
2P
5P
Mpl
δ
Mpl
Mpl
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
l
1
δ
δ
δ
5
Mpl
2P · δ + 2P · δ · 2 ·
− M
− M
− M
2 = 0
=⇒
P = 2
=⇒
l
pl ·
pl ·
pl ·
2
2l
l
l
2
l
4 Mpl
=⇒ P = 5 l
Schemat IV.
2P
5P
2P
M
M
pl
pl
δ
Mpl
Mpl
Mpl
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
2l
3
l
1
2P · δ + 2P · δ · 2 ·
+ 5P · δ +
l
2
δ
δ
δ
δ
15
M
− M
pl
pl ·
− Mpl ·
− Mpl ·
− 2Mpl ·
= 0
=⇒
P = 3
=⇒
2l
l
2l
2l
2
l
2 Mpl
=⇒
P = 5 l
Schemat V.
2P
2P
5P
δ
Mpl
Mpl
l⁄
l
l
2
⁄2 ⁄2
l
δ
δ
Mpl
2P · δ · 2 − M
− M
= 0
=⇒
P = 3
l
pl · l
pl · l
l
2
Schemat VI.
5P
2P
2P
Mpl
Mpl
M
δ
pl
Mpl
l⁄
l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
2l
l
2l
δ
2δ
2δ
2P · δ · 2 + 5P · δ ·
− M
− M
− 2 · M
= 0
=⇒
l
l
pl · l
pl ·
pl ·
2l
2l
2
Mpl
5 Mpl
=⇒
11P = 5
=⇒
P =
l
11
l
4
Schemat VII.
2P
2P
5P
Mpl
δ
Mpl Mpl
l⁄
l
2
⁄2
δ
δ
Mpl
2P · δ − Mpl ·
− 2M
= 0
=⇒
P = 3
l
pl · l
l
2
2
Schemat VIII.
5P
2P
2P
Mpl
M
M
pl
δ
pl
Mpl
Mpl
l⁄
l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
2l
2l
δ
δ
δ · 2l
δ · 2l
l
l
2P · δ + 5P · δ ·
− M
− M
− M
2
− 2 · M
2
= 0
=⇒
l
pl · l
pl · l
pl ·
pl ·
2l
2l
2
2
2
Mpl
5 Mpl
=⇒
22P = 10
=⇒
P =
l
11
l
Schemat IX.
5P
2P
2P
Mpl
δ
M
M
pl
pl
Mpl
2l
2l
5
δ
δ
2 Mpl
5P · δ − 2Mpl ·
− 2Mpl ·
= 0
=⇒
P =
2l
2l
5
l
Najmniejsza wartość obciążenia powodującego powstanie schematu zniszczenia jest obciążeniem granicznym wyznaczonym metodą kinematyczną.
5 5 4 2
5
5
2
M
2 M
P k
pl
pl
= min
, , , , 3,
, 3,
,
·
=
gr
4 4 5 5
11
11 5
l
5
l
Oznacza to, że przekształcenie konstrukcji w mechanizm następuje według schematu IV. lub IX.
bądź wg schematu będącego kombinacją tych dwóch schematów.
Można udowodnić, że rzeczywiste obciążenie graniczne zawarte jest w przedziale P s 6 P
gr
gr 6 P k
gr
gdzie P s oznacza obciążenie graniczne wyznaczone metodą statyczną. W przypadku, gdy gr
P s = P
gr
gr = P k
gr
mamy do czynienia z rozwiązaniem zupełnym, zwanym również kompletnym lub ścisłym.
Oznacza to, że mechanizm zniszczenia wyznaczony metodą rozwiązania kinematycznego jest stowarzyszony z rozwiązaniem statycznym.
Sprawdźmy, czy dla wyznaczonego obciążenia granicznego spełnione są wymagania podej-
ścia statycznego. W tym celu należy narysować wykres momentów zginających odpowiadający schematowi zniszczenia. Rozpatrzmy schemat IX. Interesowa ć nas będą wartości momentów zginających w punktach, w których wykres momentu może osiąga ć ekstrema lokalne, tj.
w punktach B, C, D i E.
4⁄ M
4
M
5
pl⁄l
⁄5 pl⁄l
2 M
pl⁄l
MplMpl
Mpl Mpl
Mpl
A
C
F
B
D E
G
H
R
R
R
R
A
C
F
H
2l
l
l⁄ l
l
2
⁄2 ⁄2
2l
2l
6
X
M
M p
pl
= 0
=⇒
R
G
H · 2l + Mpl + Mpl = 0
=⇒
RH = − l
X
M
M p
pl
= 0
=⇒
R
· 3l − M
D
H · 5l + Mpl + Mpl + 2
l
pl − Mpl + RF · l +
4 Mpl
l
+ Mpl −
·
= 0
=⇒
5
l
2
M
pl
Mpl
Mpl
2 Mpl
=⇒
RF = −5 −
− 6
−
+
=⇒
l
l
l
5
l
8 Mpl
=⇒
RF = − 5 l
X
17
M
13
9
M p
pl
= 0
=⇒
R
l + M
·
l − M
l +
A
H ·
pl + Mpl + 2
pl − Mpl + RF ·
2
l
2
2
4 Mpl
4 Mpl
+ Mpl −
· 4l + RC · 3l +
· 2l = 0
=⇒
5
l
5
l
M
pl
17
8 Mpl
9
=⇒
3RCl = − −
l − 13M
−
l − M
l
pl −
pl +
2
5
l
2
16 Mpl
8 Mpl
+
−
=⇒
5
l
5
l
17
36
8
=⇒
3RCl =
− 14 +
+
Mpl
=⇒
2
5
5
17 · 5 − 14 · 10 + 44 · 2 Mpl
=⇒
RC =
=⇒
3 · 10
l
85 − 140 + 88 Mpl
33 Mpl
=⇒
RC =
=⇒
RC =
=⇒
30
l
30
l
11 Mpl
=⇒
RC = 10 l
X
7
4 M
3
1
M l
pl
= 0
=⇒
R
l +
· l + R
l = 0
=⇒
D
A ·
C ·
2
5
l
2
2
7
6
11 Mpl 1
=⇒
RAl = − Mpl −
l
=⇒
2
5
10
l 2
7
35
1 Mpl
=⇒
RAl = −
Mpl
=⇒
RA = −
2
20
2
l
Dodatkowo sprawdźmy warunek
X
4 M
4 M
M
P
pl
pl
pl
y = RA +
+ RC −
+ RF + 2
+ RH =
5
l
5
l
l
Mpl
11 Mpl
8 Mpl
Mpl
Mpl
−5 + 11 − 16 Mpl
Mpl
= −
+
−
+ 2
−
=
+
= 0
2l
10
l
5
l
l
l
10
l
l
1.4
T
1.0
(+)
0.6
(+)
0.3
A
F
(-)
B
C D E
G
H
(-)
0.5
.M
1.0
pl ⁄l
7
Stowarzyszony wykres momentów zginających ma więc posta ć M
1.0
1.0
0.7
A
E
F
B
C D
G
H
0.7
.
1.0
Mpl
1.0
Ponieważ spełniony jest warunek plastyczności |M | 6 Mpl otrzymane rozwiązanie jest zu-pełne.
Warto zapamiętać, że w przypadku belek wieloprzęsłowych, na które działa obciążenie zewnę-
trzne o różnych znakach, obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia w których powstają przemieszczenia w większej liczbie przęseł są mniejsze niż obciążenia odpowiadające schematom zniszczenia pojedynczych przęseł. Inaczej jest, gdy obciążenia zewnętrzne mają jednakowe znaki – w takich przypadkach mniejsze wartości obciążenia otrzymujemy dla schematów zniszczenia pojedynczych przęseł.
8