Przykład 10.3. Obliczenie warto´sci obci ˛

a˙zenia granicznego układu belko-

wo-słupowego

Obliczy´c warto´s´c obci ˛

a˙zenia granicznego q

gr

działaj ˛

acego na poni˙zszy układ.

2ql

q

l

⁄

2

l

⁄

2

l

1

1

2

2

3

3

1-1

4

8

2-2

1

1

3-3

4

4

[cm]

σ

pl

= 300 MPa

l

= 2 m

Do oblicze´n przyj ˛

a´c, ˙ze materiał z jakiego wykonane s ˛

a pr˛ety jest jednakowy, za´s pr˛et nr

2 jest

zabezpieczony przed wyboczeniem.

Rozwi ˛

azanie

W celu znalezienia obci ˛

a˙zenia granicznego rozpatrzymy kinematycznie mo˙zliwe schematy zni-

szczenia, dla ka˙zdego z nich obliczaj ˛

ac odpowiadaj ˛

ace mu obci ˛

a˙zenie zapewniaj ˛

ace równowag˛e

układu. Obci ˛

a˙zeniem granicznym q

gr

b˛edzie najmniejsze z tak obliczonych obci ˛

a˙ze ´n.

Uplastycznienie pr˛etów

1 i 3 nast˛epuje w wyniku zginania, w przypadku pr˛eta 2 uplastycznie-

nie spowodowane jest sił ˛

a osiow ˛

a.

Odpowiednie wielko´sci charakterystyczne przekrojów pr˛etów maj ˛

a warto´sci:

W

p

1

pl

=

4 · 8

2

4

= 64 cm

3

W

p

3

pl

=

4 · 4

2

4

= 16 cm

3

A

p

2

= 1 cm

2

Tak wi˛ec momenty zginaj ˛

ace, które powoduj ˛

a uplastycznienie pr˛etów

1 i 3 s ˛

a odpowiednio

1

równe:




M

p

1

pl




= σ

pl

· W

p

1

pl

= 300 · 10

3

· 64 · 10

−6

= 19,2 kNm




M

p

3

pl




= σ

pl

· W

p

3

pl

= 300 · 10

3

· 16 · 10

−6

= 4,8 kNm

Do uplastycznienia pr˛eta

2 dochodzi, gdy siła normalna w tym pr˛ecie ma warto´s´c




S

p

2

pl




= σ

pl

· A

p

2

= 300 · 10

3

· 1 · 10

−4

= 30 kN

Rozpatruje si˛e uplastycznienie tych przekrojów pr˛etów

1 i 3, w których wyst˛epuj ˛

a ekstrema

momentów zginaj ˛

acych, b ˛

ad´z te˙z w pr˛ecie nr

2, na który działa obci ˛

a˙zenie osiowe.

Poni˙zszy rysunek przedstawia układ rozło˙zony na pojedyncze pr˛ety. Zaznaczono na nim rów-
nie˙z schematycznie punkty, w których mo˙zna spodziewa ´c si˛e powstania przegubów (punkt B
oznacza punkt nale˙z ˛

acy do pr˛eta

3, odpowiadaj ˛

acy miejscu wyst˛epowania lokalnego ekstremum

momentu zginaj ˛

acego).

2ql

S

S

S

S

q

l

⁄

2

l

⁄

2

l

D

C

B

A

Przy konstruowaniu kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia nale˙zy pami˛eta ´c, ˙ze
nale˙zy przyjmowa´c kierunek przemieszczenia układu w taki sposób, aby praca sił zewn˛etrznych
na tych przemieszczenia była dodatnia. Jednocze´snie praca sił wewn˛etrznych musi by´c ujemna,
a co za tym idzie, przyj˛ete momenty plastyczne musz ˛

a mie´c takie zwroty, aby przeciwdziała´c

zało˙zonym obrotom.

2

Schemat I - uplastycznienie przekrojów A i B

S

q

l

x

δ

B

A

M

pl

p3

M

pl

p3

M

pl

p3

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

q

· x ·

δ
2

+ q · (l − x) ·

δ
2

− M

p

3

pl

·

δ

x

− 2 · M

p

3

pl

·

δ

l

− x

= 0

=⇒

=⇒

ql

2

=

 1

x

+

2

l

− x



M

p

3

pl

=⇒

q

= 2

l

+ x

x

(l − x)

M

p

3

pl

l

Nieznan ˛

a warto´s´c x mo˙zna łatwo obliczy´c korzystaj ˛

ac z faktu, ˙ze długo´s´c odcinka x musi

odpowiada´c minimalnej warto´sci obci ˛

a˙zenia q, tak wi˛ec

dq

(x)

dx

= 0. St ˛

ad

dq

(x)

dx

= 0

=⇒

2

x

(l − x) − (l + x) (l − 2x)

x

2

(l − x)

2

M

p

3

pl

l

= 0

=⇒

=⇒

2

lx

− x

2

− l

2

+ 2lx − lx + 2x

2

x

2

(l − x)

2

M

p

3

pl

l

= 0

=⇒

=⇒

2

x

2

+ 2lx − l

2

x

2

(l − x)

2

M

p

3

pl

l

= 0

=⇒

x

2

+ 2lx − l

2

= 0

pierwiastek z

∆ jest równy

√

∆ =

√

4l

2

+ 4l

2

= 2

√

2l

St ˛

ad

dq

(x)

dx

= 0 dla nast˛epuj ˛

acych warto´sci x:

x

1

=

−2l − 2

√

2l

2

= −



√

2 + 1



l

x

2

=

−2l + 2

√

2l

2

=



√

2 − 1



l

Uwzgl˛ednienie faktu, ˙ze x musi mie´c warto´s´c z przedziału

(0, l) prowadzi do odrzucenia roz-

wi ˛

azania x

1

, jako niespełniaj ˛

acego warunków zadania. Tak wi˛ec

x

= x

2

=



√

2 − 1



l

3

Obci ˛

a˙zenie q odpowiadaj ˛

ace rozpatrywanemu schematowi zniszczenia ma zatem warto´s´c

q

= 2

l

+ x

x

(l − x)

M

p

3

pl

l

= 2

l

+

√

2 − 1

l

√

2 − 1

l l −

√

2 − 1

l

M

p

3

pl

l

=

= 2

√

2

√

2 − 1

2 −

√

2

M

p

3

pl

l

2

= 2

√

2

2

√

2 − 2 − 2 +

√

2

M

p

3

pl

l

2

=

2

√

2

3

√

2 − 4

M

p

3

pl

l

2

=

=

2

√

2 3

√

2 + 4

3

√

2 − 4

3

√

2 + 4

M

p

3

pl

l

2

=

12 + 8

√

2

18 − 16

M

p

3

pl

l

2

= 2



3 + 2

√

2



M

p

3

pl

l

2

=

= 2



3 + 2

√

2



4,8

2

2

=

12 3 + 2

√

2

5

≈ 13,99

kN

m

Schemat II - uplastycznienie przekroju A i pr˛eta

2

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

q

l

A

M

pl

p3

Warto´s´c, odpowiadaj ˛

acego schematowi uplastycznienia, obci ˛

a˙zenia q obliczamy z warunku ze-

rowania si˛e sumy momentów obliczanej wzgl˛edem punktu A.

S

p

2

pl

· l − q · l ·

l

2

+ M

p

3

pl

= 0

=⇒

q

= 2

S

p

2

pl

l

+ 2

M

p

3

pl

l

2

= 2

30

2

+ 2

4,8

2

2

= 32,4

kN

m

4

Schemat III - uplastycznienie przekrojów A i C

2ql

q

l

⁄

2

l

⁄

2

l

C

A

M

pl

p3

M

pl

p1

M

pl

p1

δ

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

2ql ·

δ
2

+ q · l ·

δ
2

− 2 · M

p

1

pl

·

δ

l

− M

p

3

pl

·

δ

l

= 0

=⇒

=⇒

3
2

ql

=

2M

p

1

pl

+ M

p

3

pl

l

=⇒

=⇒

q

=

2 2M

p

1

pl

+ M

p

3

pl

3l

2

=

2 (2 · 19,2 + 4,8)

3 · 2

2

= 7,2

kN

m

Schemat IV - uplastycznienie przekrojów A i D

2ql

q

l

⁄

2

l

⁄

2

l

D

A

M

pl

p3

M

pl

p1

M

pl

p1

δ

5

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

2ql · δ + q · l ·

1
2

·

l

3
2

l

δ

− M

p

1

pl

·

δ

l

2

− M

p

1

pl

·

δ

3
2

l

− M

p

3

pl

·

l

3

2

l

δ

l

= 0

=⇒

=⇒

7
3

ql

=

8
3

M

p

1

pl

l

+

2
3

M

p

3

pl

l

=⇒

=⇒

q

=

2 4M

p

1

pl

+ M

p

3

pl

7l

2

=

2 (4 · 19,2 + 4,8)

7 · 2

2

=

204

35

≈ 5,83

kN

m

Schemat V - uplastycznienie przekroju C i pr˛eta

2

2ql

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

l

⁄

2

l

⁄

2

l

C

M

pl

p1

M

pl

p1

δ

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

2ql ·

δ
2

− S

p

2

pl

· δ − 2 · M

p

1

pl

·

δ

l

= 0

=⇒

q

=

2M

p

1

pl

+ S

p

2

pl

l

l

2

=

2 · 19,2 + 30 · 2

2

2

=

= 24,6

kN

m

6

Schemat VI - uplastycznienie przekroju D i pr˛eta

2

2ql

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

S = S

pl

p2

l

⁄

2

l

⁄

2

l

D

M

pl

p1

M

pl

p1

δ

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

2ql · δ − S

p

2

pl

·

l

3
2

l

δ

− M

p

1

pl

·

δ

l

2

− M

p

1

pl

·

δ

3
2

l

= 0

=⇒

=⇒

2ql =

8
3

M

p

1

pl

l

+

2
3

S

p

2

pl

=⇒

=⇒

q

=

4M

p

1

pl

+ S

p

2

pl

l

3l

2

=

4 · 19,2 + 30 · 2

3 · 2

2

= 11,4

kN

m

7

Schemat VII - uplastycznienie przekrojów C i D

2ql

q

l

⁄

2

l

⁄

2

l

D

C

M

pl

p1

M

pl

p1

M

pl

p1

δ

Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy

2ql · δ − 3 · M

p

1

pl

δ

l

2

= 0

=⇒

q

= 3

M

p

1

pl

l

2

= 3 ·

19,2

2

2

= 14,4

kN

m

Poszukiwana warto´s´c obci ˛

a˙zenia granicznego q

gr

jest równa najmniejszej spo´sród obliczonych

warto´sci q, czyli

q

gr

= min

12 3 + 2

√

2

5

≈ 13,99; 32,4; 7,2;

204

35

≈ 5,83; 24,6; 11,4; 14,4

!

=

=

204

35

kN

m

≈ 5,83

kN

m

za´s konstrukcja przekształca si˛e w mechanizm wg schematu IV.

Sprawd´zmy, czy uzyskane rozwi ˛

azanie jest rozwi ˛

azaniem zupełnym.

2q

gr

l

q

gr

l

⁄

2

l

⁄

2

l

D

C

A

E

F

G

V

E

R

F

V

A

H

A

H

E

M

pl

p3

M

pl

p1

M

pl

p1

8

W celu wyznaczenia reakcji dokonano nast˛epuj ˛

acych oblicze ´n:

X

M

p

G

= 0

=⇒

V

A

· l − M

p

3

pl

− q

gr

· l ·

l

2

= 0

=⇒

=⇒

V

A

· 2 = 4,8 +

204

35

· 2

2

2

=⇒

=⇒

2V

A

=

48
10

+

408

35

=⇒

V

A

=

12 · 7 + 204

35

=⇒

=⇒

V

A

=

288

35

kN ≈ 8,23kN

X

M

g

C

= 0

=⇒

V

A

· l − M

p

3

pl

− q

gr

· l ·

l

2

+ H

A

· |CG| = 0

=⇒

=⇒

X

M

p

G

+ H

A

· |CG| = 0

=⇒

=⇒

0 + H

A

· |CG| = 0

=⇒

H

A

= 0

X

P

x

= 0

=⇒

H

E

= H

A

=⇒

H

E

= 0

X

M

l

D

= 0

=⇒

V

E

·

l

2

− M

p

1

pl

= 0

=⇒

V

E

=

2 · 19,2

2

=⇒

=⇒

V

E

= 19,2kN

X

P

y

= 0

=⇒

V

E

− 2q

gr

l

− q

gr

l

+ V

F

+ V

A

= 0

=⇒

=⇒

V

E

= −19,2 + 3 ·

204

35

· 2 −

288

35

=⇒

=⇒

V

E

= −

192

10

+

6 · 204 − 288

35

=⇒

=⇒

V

E

= −

96

5

+

936

35

=⇒

=⇒

V

E

=

−96 · 7 + 936

35

=⇒

V

E

=

264

35

kN ≈ 7,54kN

Siła normalna w pr˛ecie nr

2 jest wi˛ec równa

S

= q

gr

· l − V

A

=

204

35

· 2 −

288

35

=

120

35

=

24

7

kN ≈ 3,43kN

<

S

p

2

pl

= 30kN

St ˛

ad wykresy siły normalnej i tn ˛

acej maj ˛

a posta´c:

3,43

N

.

kN

(-)

9

3,43

8,23

7,54

4,11

19,2

T

.

kN

(+)

(-)

(+)

(-)

(-)

x

Zerowanie si˛e wykresu siły tn ˛

acej w odległo´sci x od podpory A ´swiadczy o wyst˛epowaniu

w tym miejscu lokalnego ekstremum momentu zginaj ˛

acego.

V

A

− q

gr

· x = 0

=⇒

x

=

V

A

q

gr

=⇒

x

=

288

35

204

35

=⇒

x

=

72
51

m ≈ 1,41m

M

max

= V

A

· x − M

p

3

pl

− q

gr

· x ·

x

2

=⇒

=⇒

M

max

=

288

35

·

72
51

− 4,8 −

204

35

·

72
51

·

36
51

=⇒

=⇒

M

max

=

6912

595

−

24

5

−

3456

595

=⇒

=⇒

M

max

=

120
119

kNm ≈ 1,01kNm

1,01

4,8

15,09

19,2

M

.

kNm

1,41 m

Warunki plastyczno´sci s ˛

a spełnione (

|M| 6 19,2kNm w przypadku pr˛eta nr 1 i |M| 6 4,8kNm

w przypadku pr˛eta nr

3 oraz |S| 6 S

pl

w przypadku pr˛eta nr

2). Oznacza to, ˙ze otrzymane

rozwi ˛

azanie jest rozwi ˛

azaniem zupełnym, poniewa˙z spełnia wszystkie równania: warunki kine-

matyczne, równania równowagi i warunki plastyczno´sci. Przewiduj ˛

ac, ˙ze dany schemat zni-

szczenia odpowiada obci ˛

a˙zeniu granicznemu wystarczy wyznaczy ´c siły przekrojowe i spraw-

dzi´c, czy spełniaj ˛

a one warunki plastyczno´sci. Wyznaczenie sił przekrojowych nie zawsze jest

proste, poniewa˙z nieruchoma cze´s´c układu mo˙ze pozosta´c układem statycznie niewyznaczal-
nym.

10