Obliczanie wartości wielomianów - schemat Hornera

mgr Zofia Matusiewicz

1

Ćwiczenia

1. Wykorzystaj algorytm Hornera do obliczania wartości wielomianu w(x)

w punkcie x

0

(a) w(x) = x

4

− 3x

3

− 5x

2

− 10 w punkcie x

0

= 2.

Podany wielomian można rozpisać w(x) = x

4

− 3x

3

− 5x

2

− 10 =

x(x

3

− 3x

2

− 5x) − 10 = x(x(x

2

− 3x − 5)) − 10 = x(x(x(x −

3) − 5)) − 10. Stąd wartość wielomianu dla x

0

= 2 wynosi w(2) =

2(2(2(2 − 3) − 5)) − 10, czyli wykonując trzy mnożenia (i nie
potęgując) otrzymujemy w(2) = −38.

(b) w(x) = 2x

3

+ 2x

2

− 3x + 8 w punkcie x

0

= 3.

(c) w(x) = x

5

− 2x

3

− 3x

2

+ 7x + 6 w punkcie x

0

= −1.

(d) w(x) = −

3

71

x

11

+ x

7

− 30.7x

3

− 100x

2

− 3 w punkcie x

0

= 0.

2. Wykorzystaj algorytm Hornera do obliczenia wartości pochodnych w

punkcie. Podobnie jak dla poniższego przykładu oblicz wartości pierw-
szej, drugiej i trzeciej pochodnej wielomianów w podanych punktach
z zadania 1 (jeśli to możliwe).
Metodą Hornera wyznaczymy wartości wielomianu w(x) = −x

3

−3x

2

+

5x + 7 i trzech kolejnych pochodnych w punkcie x

0

= 2.

x = 2

−1

−3

5

7

w(2)

−1

−1 · 2 − 3 = −5

−5 · 2 + 5 = −5

−5 · 2 + 7 = −3

w

0

(2)

1!

−1

−1 · 2 − 5 = −7

−7 · 2 − 5 = −19

w

00

(2)

2!

−1

−1 · 2 − 7 = −9

w

000

(2)

3!

−1

Na podstawie tej tabelki mamy w(2) = −3, w

0

(2) = 1! · (−19) = −19,

w

00

(2) = 2! · (−9) = −18, w

000

(2) = 3! · (−1) = −6.

Metoda obliczania wartości w poszczególnych komórkach tabeli: war-
tość z komórki po lewej przemnażamy przez wartość x i dodajemy
wartość z komórki powyżej. Podczas obliczania pierwszej pochodnej
nie obliczmy ostatniej komórki, drugiej - ostatniej i przedostatniej,
etc.

1

Licząc n-tą pochodną należy ostatnią wyliczoną wartość przemnożyć
przez n!.

2

Pytania do ćwiczeń

1. Dla zadania 1 podaj ilość mnożeń (i sumowań) dla „tradycyjnej” me-

tody i metody Hornera.

2. Wykorzystując tabelą z zad. 2 możemy łatwo podzielić wielomian

w(x) = −x

3

− 3x

2

+ 5x + 7 przez (x − 2). W wyniku otrzymujemy

w(x) = (x − 2)(−x

2

− 5x − 5) − 3. (Kolejne współczynniki szukanego

wielomianu odczytujemy z kolejnych komórek wiersza w(2). Ostatnia
komórka tego jest resztą z dzielenia wielomianu przez dwumian).

Utwórz tabelę jak w zad. 2 i dokonaj dzielenia podanych wielomianów
w zad. 1 przez (x − x

0

).

2