Egzamin poprawkowy, semestr 1, 2010/2011
Zad 1 - 4 pkt Zapisać wzór Taylora dla funkcji y = f(x). Resztę zapisać odpowiednim wzorem. Następnie
napisać wzór Maclaurina rzędu n=1 dla funkcji f(x) = arctg x.
Zad 2 - 4 pkt Podać twierdzenie Rolle a. Czy funkcja f(x) = (|x| - 1)2 spełnia założenia twierdzenia Rolle a
na przedziale [-1, 1]?
"
3
Zad 3 - 4 pkt Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie. Wykazać, że funkcja f(x) = x nie jest różniczkowalna
w punkcie x0 = 0.
Å„Å‚
òÅ‚
0 x = 0
Zad 4 - 4 pkt Podać definicję minimum lokalnego funkcji. Czy funkcja f(x) = ma minimum
ół
1 x = 0

lokalne?
Zad 5 - 4 pkt Podać definicję różniczki funkcji. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
0.990.99.
Egzamin, semestr 1, 2010/2011
1
Zad 1 - 4 pkt Podać definicję granicy ciągu i w oparciu o nią wykazać, że lim = 0.
n
n"
Zad 2 - 4 pkt Podać i zastosować twierdzenie Lagrange a do funkcji f(x) = ln x na przedziale [1, e]. Zas-
tosować, to znaczy wyznaczyć punkty o istnieniu których mówi to twierdzenie.
Zad 3 - 4 pkt Podać definicję różniczki funkcji. Obliczyć w przybliżeniu 1 + (2.1)3.
Zad 4 - 4 pkt Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f(x) = arctg x i podać twierdzenie o pochodnej funkcji
odwrotnej, z którego trzeba skorzystać.
"
Zad 5 - 4 pkt Podać definicję funkcji pierwotnej. Wykazać, że F (x) = arcsin x+ 1 - x2 jest funkcją pierwotną
"1-x
dla f(x) = w pewnym przedziale. Wyznaczyć ten przedział.
1-x2
Egzamin, semestr 1, 2009/2010
Zad 1 - 5 pkt Podaj definicjÄ™ funkcji odwrotnej. Czy funkcja f(x) = e2x - 1 posiada funkcjÄ™ odwrotnÄ…?
Odpowiedz
uzasadnij. Wyznacz tÄ™ funkcje (podaj jej dziedzinÄ™ i przecwidziedzinÄ™).
2n
Zad 2 - 4 pkt Podaj definicję ciągu malejącego. Uzasadnij, że ciąg an = jest malejący.
(n+1)!
"
3
Zad 3 - 4 pkt Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie. Zbadaj różniczkowalność funkcji f(x) = x.
"
Zad 4 - 3 pkt Podaj definicję funkcji pierwotnej. Wykazać, że F (x) = arcsin x+ 1 - x2 jest funkcją pierwotną
"1-x
dla f(x) = w pewnym przedziale. Wyznacz ten przedział.
1-x2
"
Zad 5 - 4 pkt Napisz definicję różniczki funkcji. Oblicz w przybliżeniu 0.98.