Przykład 7.7. Rozkład naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym pręta
skręcanego
Obliczyć naprężenia styczne w przekroju poprzecznym pręta skręcanego. Przekrój pręta
´ 1
pokazany jest ba rysunku. Taki przekrój nazywamy cienkościennym, otwartym ( d" ).
a 5
Rysunek 1. Przekrój poprzeczny pręta skręcanego
Sztywności poszczególnych części pręta wynoszą:
1 2
3 3
GJS1 = G 2a´ = a´ G ,
3 3
1 4
3 3
GJS 2 = G 4a´ = a´ G ,
(1)
3 3
1 4
3 3
GJS 3 = G 4a´ = a´ G .
3 3
KÄ…t skrÄ™cenia tego przekroju Õ jest taki sam dla każdej części. Możemy zapisać:
MS1l 3M l
S1
Õ = = ,
3
GJS1 2a´ G
M l 3MS 2l
S 2
(2)
Õ = = ,
3
GJS 2 4a´ G
M l 3MS 3l
S 3
Õ = = ,
3
GJS 3 4a´ G
gdzie M , MS 2 , MS 3 sÄ… momentami przypadajÄ…cymi na elementy 1, 2 i 3, odpowiednio. Ich
S1
suma jest momentem Ms:
(3)
M = MS1 + MS 2 + M .
S S 3
Otrzymujemy:
1
M = MS 2 , MS 2 = M
S1 S 3
(4)
2
Zatem:
M = MS1 + 2MS1 + 2MS1 ;
S
(5)
1 2 2
MS1 = M , MS 2 = M , MS 3 = MS .
S S
5 5 5
Kąt skręcenia wynosi:
3M l
S
(6)
Õ =
3
10a´ G
Możemy wyznaczyć go przyjmując sztywności całego pręta:
3
1 1 10
3 3 3
GJS = ´ = ´ (2a + 4a + 4a) = ´ a .
"ai (7)
3 3 3
i=1
Zatem
MSl 3M l
S
(8)
Õ = =
3
GJS 10a´ G
Obliczymy naprężenia w każdej części. Wskaz
niki wytrzymałości na skręcanie wynoszą:
2
2
WS1 = ´ a ,
3
4
2
(9)
WS 2 = ´ a ,
3
4
2
WS 3 = ´ a .
3
Naprężenia ekstremalne w poszczególnych częściach wynoszą:
M
Si
(10)
Äi = , i = 1, 2, 3.
WSi
Zatem:
3 MS
Ä1 = ,
2
10 ´ a
3 MS
Ä2 = ,
(11)
2
10 ´ a
3 MS
Ä3 = .
2
10 ´ a
2
Rysunek 2. Naprężenia styczne na poszczególnych odcinkach przekroju pręta.
3