1
elementy obwodów
aktywne: z
ródło napięcia
symbol graficzny;
i
e
definicja: utrzymuje między zaciskami napięcie elektryczne podane przepisem; np. e = 2e-3t
V, (e = 2,718 )
e = E = const, E = 12 V, e = 230 2 sin 314t V
natężenie prądu elektrycznego z
ródła i , zależy od reszty obwodu
charakterystyka zewnętrzna (prądowo-napięciowa );
e
i
0
moc z
ródła napięcia p = e �� i [W]
elementy pasywne; element R , R - nazwa , R [W�] - własność, oporność
symbol graficzny:
R
i
u
definicja; prawo Ohma u = R i
charakterystyka zewnętrzna liniowego elementu R (R = const )
u
i
0
1
 2
Moc z jaką element R rozprasza energię
P = u i [W]
i
zwarcie
u = 0
i = 0
przerwa
u
Obwody elektryczne prądu stałego : przybliżony model zjawisk elektrycznych w układach
elektrycznych [ wytwarzanie energiielektrycznej , przemiana energii elektrycznej w w inną postać )
i
R
u
E
Napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK):
w konturze zamkniętym algebraiczna suma napięć równa jest zeru
dla podanego obwodu:
E - U = 0
Ponieważ
U = R I
to
U E
I = =�
R R
Moce elementów - bilans mocy
E2 E2
PE = E I = , PR = U I = ; PE = PR
R R
Klasyczny problem obwodowy - dane z
ródła i parametry elementów pasywnych,
poszukiwane prądy , napięcia, moce ,
Obwód jednoz
ródłowy
U1
I
NPK
R1
E - U1 - U2 = 0
R2 U1
E
U1 = R1 I , U2 = R2 I
( R1 + R2 ) I = E
E
I =
R1 +� R2
2
 3
Połączenie szeregowe elementów R - oporność zastępcza
R3
R1
R2
I
U3
U1 U2
U
U = U1 + U2 + U3
U = R1 I + R2 I + R3 I
U
Rz = - oporność zastępcza Rz = R1 + R2 + R3
I
PPK
algebraiczna suma natężeń prądów w gałęziach tworzących węzeł równa jest zeru
Połączenie równoległe elementów R
I = I1 + I2 + I3
I1 I2
I2
I
U U U
I = + +
U
R1 R2 R3
R1 R2 R3
1 1 1 1
= + +
Rz R1 R2 R3
dla dwóch elementów R połączonych równolegle
RaRb
Rz =
Ra +� Rb
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych
węzłów w = 2
I2
I1
I3
gałęzi g = 3
R1
R2
U3
E1
oczek 0 = 2
R3
E2
g = o + (w - 1 )
PPK
I1 + I2 - I3 = 0
NPK
E1 - U1 - U3 = 0
U3 + U2 - E2 = 0
Metoda prądów gałęziowych
I1 + I2 - I3 = 0
R1I1 + R3 I3 = E1
R3 I3 + R2 I2 = E2
3
 4
I1
I2
R1 I3 I1 - I2 - I3 = 0
R3
R2
R4
E1
R1 I1 + R2 I2 = E1
R2 I2 - R3 I3 - R4 I3 = 0
Obwody jednoz
ródłowe - metoda transfiguracji
R1
R3 R2R3
E R2
R23 =
R2 +� R3
I1
R1
R23
U23 R123 = R1 + R23
E
I1
R123
E
U E - U = 0; U = R123I1
I1
I1 = U =� E
R123 R123
U23
U23 = R23I1 ; I2 = ; np. I3 = I1 - I2
R2
Zasada superpozycji ;
W obwodzie liniowym dowolny prąd gałęziowy [ dowolne napięcie] jest sumą prądów w
gałęzi [sumą napięć] gdy każde ze z
ródeł działa oddzielnie [pozostałe z
ródła są
upasywnione tzn. E = 0  zwarcie].
W podanym obwodzie zadano elementy aktywne i pasywne. Wyznaczyć prąd I3 stosując
zasadę superpozycji.
I2
I1
I3
R1
R2
E1
R3
E2
4
 5
E1
E1
I1 ;
I3 I1 =
R2
R2R3
R1
R1 +�
R2 +� R3
E1
E2 = 0
R3
R2
E1 E1
I3 =� I1
R2 +� R3
I2
I3
R1
E2
R2
E1 = 0 IE2 =�
E2
2
R1R3
R3
R2 +�
R1 +� R3
R1
E2
I3 =� IE2
2
R1 +� R3
E1 E2
I3 = I3 +� I3
Twierdzenie o z
ródle zastępczym Thevenina:
Liniowy obwód elektryczny lub część obwodu, jeśli wyróżnimy w nim dwa zaciski, można
zastąpić dwójnikięm aktywnym złożonym z szeregowo połączonego z
ródła napięcia ET
i elementu Rw.
y
ródło napięcia ET jest to napięcie między wyróżnionymi zaciskami, Element Rw jest to
oporność wzierna liczona z wyróżnionych zacisków po upasywnieniu z
ródeł.
W podanym obwodzie obliczyć natężenie prądu elektrycznego I3 stosując twierdzenie o
z
ródle zastępczym
I1 I3
R1 R2
E2
E1
R3
Część obwodu z wyjątkiem gałęzi R3 zastąpiona zostanie dwójnikiem Thevenina:
E1 -� E2
I1 =
R1 +� R2
Uab = E2 + R2 I1 = ET
I1
R1 R2
a
R1E2 +� R2E1
E2
E1 Uab
ET =
b
R1 +� R2
5
 6
R1 a R2
R1 a R2
U
U
R1R2
b
b
Rw =
R1 +� R2
a
I3
Rw
ET
R3
ET
I3 =
Rw +� R3
b
Przykład: W obwodzie o danych elementach: E1 = 36 V, R1 = 1W�, R2 = 2 W�, R3 = 3 W�, R4 = 4 W�
obliczyć natężenie prądu w elemencie R4 .
a
I1 I4
I3
R2
R1
E1 R4
R3
b
Do obliczeń prądu I4 zastosujemy twierdzenie o z
ródle zastępczym ; część obwodu na lewo od zacisków a  b
zstąpimy dwójnikiem akywnym ( Thevenina )
Obwód zastępowany;
a
I1
I3
R2
R1
Uab = ET
E1
R3
b
W gałęzi R2 prąd nie płynie a prąd I1 = I3 . Dla obwodu zapisujemy równanie NPK ;
E1 - R1 I1 - R3 I1 = 0
E1
36
I1 = = = 9 A ; Uab = ET = R3 I1 = 3 �� 9 = 27 V
R1 +� R3 1+� 3
b
R1
R2
E1=0 R3
Rw
b
6
 7
Oporność wzierna upaswnionego obwodu zastępowanego:
R1R3 3 11
Rw = R2 + = 2 + = W�
R1 +� R3 4 4
a
I4
Rw
R4
ET
b
ET 27 108
I4 = = = = 4 A
R +� R4 11 +� 4 27
w
4
+ RDopasowanie odbiornika do z
ródła energii
a
I0
Rw
R0
E
b
y
ródło energii o napięciu z
ródłowym E i oporności wewnętrznej Rw obciążone jest odbiornikiem R0. Dobrać
taką warość oporności R0 , aby moc z jaką wydziela się energia na elemencie R0 była największa P0max.
Natężenie prdu
E
I0 =
R +� R0
w
Moc elementu R0
E2
2
P0 = R0 I0 = R0
(R +� R0 )2
w
Szukamy ekstremum tej funkcji z uwagi na zmienną R0
2 2
ś�P0 R2 +� 2R R0 +� R0 -� 2R0R -� 2R0 ś�P0
w
=� E2 w w ; aby =� 0 (warunek istnienia ekstremum)
ś�R0 ś�R0
(R +� R0)4
w
E2
R0 = Rw ; wówczas moc maksymalna wynosi P0 = P0max =
4R
w
E2
Moc wydawana przez z
ródło napięcia Pz
r = E I0 = , a sprawność układu 50 %�
2R
w
P0
7
R0
 8
Przebiegi okresowe, wartości średnie, skuteczne
Dwójnik pasywny; napięcie, natężenie prądu, funkcja mocy, moc czynna, bierna, pozorna
elementy obwodu w sinusoidalnym stanie ustalonym
aktywne - z
ródła
z
ródło napięcia np. e = Em sin (w�t + a�)
e
e
t
z
ródło prądu np. j = Jm sin(w�t - b� )
j
j
pasywne - element R
u = R i; i = Im sin(w�t + b�)
i R
u = R Im sin (w�t + b�) ; Um = R Im ; a� = b� U = R I
u
moc elementu R
p = UmIm sin(w�t + a�) sin(w�t + b� ) = U I cos (a� - b�) - U I cos (2w�t +a� + b�)
8
 9
p = U I - U I cos2(w�t +a�) = U I sin2w�t
P = U I [W]; Q = 0; S = U I [VA]
a� = b�
u
p
p
S
i
P = U I
u
i
element L
L
i
di 1
u = L ; i = dt
��u
dt L
u
p�
i = Im sin w�t ; u = Lw� Im cos w�t = XL Im sin(w�t + )
2
p� p�
gdy np. b� = 0 to a� = ; j� = a� - b� =
2 2
Um = XL Im , XL - reaktancja indukcyjna ; U = XL I
funkcja mocy p = Um Im sin w�t cos w�t = U I sin 2w�t
moc czynna P = 0
moc bierna Q = U I cos j� = U I
moc pozorna S = UI
9
 10
p
u
i
element C
C
i
du 1
i = C ; u = dt
��i
dt C
u
gdy np.
1 p�
i = Im sin w�t; ( b� = 0 ) ; u = - Im cos w�t = XC Im sin(w�t - )
w�C 2
u = Um sin (w�t - a� ) ;
1
XC = [ W� ] - reaktancja pojemnościowa
w�C
p� p�
Um = XC Im ; a� = - ; j� = a� - b� = -
2 2
funkcja mocy
p = - UI sin 2w�t
p
u
i
moc czynna P = 0; moc bierna Q = - U I ; moc pozorna S = U I
elementy L sprzężone
10
 11
i1 M i2
di2
u1 = L1 di1 ą� M
dt
dt
L2
u1 L1
u2
di1
u2 = L2 di2 ą� M
dt
dt
i1 = Im1sin( w�t +� b�1) ; i2 = Im2sin( w�t +� b�2)
u1 = w�L1Im1 cos( w�t +� b�1) + w�M Im2 cos( w�t +� b�2)
u1 = w�L2Im2 cos( w�t +� b�2) + w�M Im1 cos( w�t +� b�1)
Liczby zespolone
Jednostka urojona - j = -�1 j2 = -1
Liczba zespolna Z = a + jb np. Z = 4 + j 3 - postać algebraiczna
+j
b
im Z Z
Z
j�
S
a
0
+1
re Z
re Z = 4 ; im Z = 3
.....postać wykładnicza
Z = Z ejj� ; Z - moduł j� - argument
b
Z = a2 +� b2 ; tg j� = ; a = Z cos j� ; b = Z sin j�
a
0
Z = 4 + j 3 = 5 ej36,86
Działania na liczbach zespolonych
Do dodawania i odejmowania liczb zespolonych stosuje się postać algebraiczną;
Z1 = a + jb; Z2 = c + jd Z3 = Z1 + Z2 = a + c + j ( b + d )
Przy mnożeniu i dzieleniu najdogodniejszą postacią jest postać wykładnicza;
Z1 Z1
Z1 = Z1 ejj�1 ; Z2 = Z2 ejj�2 ; Z3 = =� ej(j�1 -�j�2 ) =� Z3ejj�3
Z2 Z2
Z4 = Z1 Z2 = Z1 ejj�1 Z2 ejj�2 = Z1 Z2 ej(j�1 +�j�2 )
11
 12
Liczba sprzężona z daną liczbą zespoloną Z = Z ejj�
Z*� = Z e-jj� ; Z Z*� = Z2
Wzory Eulera ejx = cos x + j sin x, e-jx = cos x - j sin x,
operatory obrotu;
Z = Z ejj� ; Z �� ejx = Z ejj� ��ejx = Z ej(j� +x)
p� p�
j -� j
j0 jp�
2 2
e =�1; e = j ; e = -1 ; e = -j
Metoda symboliczna
u = Um sin (w�t + a�) �� U = U eja� = a + j b
i = Im sin (w�t + b�) �� I = I ejb�
+j
Um
b
u
U
-a�
w�t a�
��
a
+1
0
element R
i R
u
u = R i
Um sin (w�t + a�) = R Im sin (w�t + b�) �� U = R I
+j
I R
U
I
U
a�
+1
0
12
 13
Impedancja i admitancja dwójnika pasywnwgo
U
Z = = R [W�] ma tylko część rzeczywistą - rezystancja
I
I 1 1
Admitancja Y = = = G [S] ; konduktancja Y =�
U R Z
element L
L
i
di
u = L ; i = Im sin (w�t + b�) �� I = I ejb�
dt
u
p�
j(b�+� )
p�
2
Um sin (w�t + a�) = w�L Im cos (w�t + b�) = w�L Im sin (w�t + b� + ) �� U eja� = w�L I e
2
p�
a� = b� +
2
jXL
p�
I
j
jb�
2
U = w�L I e e = j XL I
U
U = j XL I
U
Impedancja elementu L ; Z = = jXL [W�] ; reaktancja indukcyjna
I
I
admitancja elementu L ; Y = =� -�jBL [S] ; susceptancja indukcyjna
U
+j
U
a�
p�
I
2
b�
0
+1
element C
C
i
u
1
u = dt ; i = Im sin (w�t + b�)
��i
C
13
 14
p�
j(b�-� )
1 1 p� 1
2
u = -� Im cos(w�t +� b�) = Im sin(w�t -� ) ; U = U eja� = Ime
w�C w�C 2 w�C
1
1
U = - j I
-j
w�C
w�C
I
U
U 1
Impedancja Z = = - j = - j XC [W�] ; reaktancja pojemnościowa
I w�C
1
Admitancja Y = = j w� C = j BC
Z
+j
I
b�
p�
0 -�
+1
2
a�
U
NPK w zapisie zespolonym
W konturze zamkniętym suma wartości skutecznych zespolonych równa jest zeru ;
Impedancja zastępcza dwójnika pasywnego
NPK U1 + U2 + U3 = U
Z1
I
U = Z1 I + Z2 I + Z3 I
U1
U = (Z1 + Z2 + Z3 ) I
U U2 Z2
U3 Impedancja zastępcza dwójnika pasywnego:
U 1
Z = = Z1 + Z2 + Z3 ; Y =
I Z
Z3
14
 15
PPK w zapisie zespolonym
Suma wartości skutecznych zespolonych natężeń prądów w gałęziach tworzących węzeł równa jest zeru
Admitancja zastępcza dwójnika pasywnego
I = I1 + I2 + I3
I1
I
I3
I2
I = Y1 U + Y2 U + Y 3 U
I = (Y1 + Y2 + Y 3 ) U
Y1 Y3
Y2
U
1 1
Y = Y1 + Y2 + Y 3 ; Z = =
1 1 1
Y
+� +�
Z1 Z2 Z3
Dla dwójnika
ZA ZB
Z =
ZA
ZB ZA +�ZB
Moc zespolona
S = U eja� I e-jb� = U I ej(a� - b�) = ej j� = U I ( cos j� + j sinj� ) Z
I
S = P + j Q ; S = U I = P2 +� Q2 [VA]
U
S = U I*� = Z I I*� = Z I2 = ( r + j x ) I2 = r I2 + j x I2 = P + j Q
P = r I2 [W] ; Q = x I2 [var]
I = Y U ; I*� = Y*� U*�
S = U I*� = U Y*� U*� = Y*� U2 = (g m� j b ) U2 = g U2 m� j b U2 = P + j Q
P = g U2 [W] ; Q = b U2 [var]
15
 16
Przykłady:
I R
XL
U
XC
U = 20 V, R = 6W�, XL = 10 W�, Xc = 2 W�, Obliczyć: impedancję, rezystancję,
reaktancję, natężenie prądu, napięcia, moce, naszkicować wykres wskazowy.
Dla obwodu o danych U = 10V, R = 8 W�, XL = 8 W�, XC = 1 W� obliczyć: impedancję,
XC
XL
R
U
rezystancję, reaktancję, natęenia prądów gałęziowych, napięcia gałęziowe, moce,
naszkicować wykres wskazowy.
Dla dwójnika o danych: X1 = 1W�, X2 = 3W�, R2 = 3W�, X3 = 3W� obliczyć
impedancję, rezystancję, reaktancję, prądy gałęziowe, napięcia na elementach i gałęziach,
moce dwójnika , naszkicować wykres wskazowy. Wartość skuteczna napięcia wynosi
U = 10 V.
X1 X2
U X3
R2
16
 17
Obwody trójfazowe
ER IR UR
ZR
R
ERS
US
ES IS ZS
S
ETR
EST
ZT US
ET IT
T
UN
IN
0
ZN
ER, IR - wielkości fazowe
ERS , IR - wielkości przewodowe
ZR , ZS , ZT - impedancje odbiornika skojarzonego w gwiazdę
eR = EmR sin (w�t + a�R)
R
IR
IRS IST
eS = EmS sin (w�t + a�S)
URS ZRS
eT = EmT sin (w�t + a�T)
IS
UST ZTR
S
UST ZST
IT
IST
T
Dla z
ródła trójfazowego symetrycznego
ja�
eR = Em sin (w�t + a�) �� ER =� Ee dla a� = 0 ER =� E
j(a�-�120)
eS = Em sin(w�t + a� - 120o) �� ES =� Ee ES =� Ee-� j120
j(a�+�120) j120
eT = Em sin (w�t + a� + 120o) �� ET =� Ee ET =� Ee
+j
ERS = ER - ES
EST = ES - ET
150o
ETR
ETR = ET - ER
ET
ER = ES = ET = Ef
ER
ER
30o
+1
EST
ERS
ES
17
 18
ERS = EST = ETR = Ep = ; Ep = 3 Ef
o
ERS = Ef ej30
EST = Ef e-� j90o
o
ETR = Ef ej150
IR + IS + IT = IN
Dla obwodu symetrycznego IN = 0
IR + IS + IT = 0 �� UN = 0
ER IR UR
ZR
R
ERS
US
ES IS ZS
S
ETR
EST
ZT US
ET IT
T
UN
IN
0
ZN
UR = ZRIR = ER ; US = ZSIS = ES ; UT = ZTIT = ET
18