Metody numeryczne - laboratorium
Ćwiczenie 3: Całkowanie numeryczne
Wprowadzenie
Zagadnienie: wyznaczyć numerycznie przybliżoną wartość następującej całki oznaczonej:
b
f (x)dx ,
+"
a
gdzie f (x) - funkcja podcałkowa, [a,b] - przedział całkowania.
W praktyce wartość szukanej całki przybliża się przy użyciu następującego wyrażenia:
b
n
f (x)dx H" Ai fi + Rn ( f ) .
"
+"
i=0
a
W zależności tej branych jest pod uwagę n+1 punktów z przedziału całkowania, dla których oblicza się
wartość całkowanej funkcji ze współczynnikami Ai . Różnica pomiędzy wartością rzeczywistą, a
przybliżoną jest określona przez Rn - błąd oszacowania, który może zależeć od wartości pochodnych
funkcji f , liczby punktów i szerokości przedziału.
Najczęściej korzysta się ze wzorów Newtona-Cotesa (zwanych kwadraturami Newtona), w których
zakłada się równomierne rozmieszczenie w odstępach h wszystkich uwzględnianych węzłów. Postać
ogólna całki określona jest jako:
b
n
f (x)dx = - a)Hi f (xi ) + R( f ),
"(b
+"
i=0
a
(1)n-i n qn+1
gdzie Hi = dq .
+"
ni!(n - i)! q-1
0
Wzór trapezów stopnia pierwszego:
x1
h
f (x)dx H" ( f (x0) + f (x1))
+"
2
x0
Wzór parabol (Simpsona) dla trzech węzłów:
x1
h
f (x)dx H" ( f (x0) + 4 f (x1) + f (x2))
+"
3
x0
Ogólna postać wzoru prostokątów dla n+1 węzłów:
xn
n
f (x)dx H" h f (xi )
"
+"
i=1
x0
Ogólna postać wzoru trapezów dla n+1 węzłów:
xn
n-1
h h
f (x)dx H" ( f (xi) + f (xi+1))= ( f0 + f1 + f1 + f2 + f2 + ... + fn-1 + fn-1 + fn)
"
+"
2 2
i=0
x0
n-1
h ëÅ‚ öÅ‚
= ìÅ‚ f0 + 2 fi + fn ÷Å‚
"
2
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
Ćwiczenie 3: Całkowanie numeryczne
1
Ogólna postać wzoru Simpsona:
xn
n / 2 n / 2
h ëÅ‚ öÅ‚
f (x)dx H" ìÅ‚ f0 + 4 f2i-1 +2 f2i + fn ÷Å‚
" "
+"
3
íÅ‚ i =1 i=1 Å‚Å‚
x0
Zadanie 1  obowiÄ…zkowe
Przygotuj program, który będzie wyznaczał całki oznaczone funkcji przy użyciu następujących metod:
" metoda prostokątów
" metoda trapezów
" metoda parabol
Zbadaj działanie algorytmów całkowania do wyznaczenia całki oznaczonej na przedziale [-1, 1] dla
przynajmniej dwóch z następujących funkcji:
a) f (x) = 4x3 + 3x2
b) f (x) = 3sin(x2 )
c) f (x) = 2exp(-x)
Uwzględniając różne parametry algorytmów, porównaj otrzymane wyniki ze sobą. Tam, gdzie jest to
możliwe porównaj wyniki z wartością wyznaczoną analitycznie.
Zadanie 2  dodatkowe
Wyznacz wartość wybranej przez siebie funkcji testowej przy użyciu metody Monte-Carlo. Oblicz
wartości całki oznaczonej uwzględniając różną liczbę losowanych punktów.
Ćwiczenie 3: Całkowanie numeryczne
2