EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I Zestaw pr bny
(-1)n
1. Ciag o wyrazie og lnym an = jest
n2
A. monotoniczny; N /1-05
B. rozbieżny; N /1-05
C. zbieżny do 0. T /1-05
2. Jeśli lim an = 0, to
n"
A. -µ < an < µ; T /1-05
µ>0 n0" ne"n0
B. an < µ; T /1-05
µ>0 n0" ne"n0
C. ciag (an) jest nieograniczony. N /1-05
3. Jeśli spelniony jest jeden z warunk w:
A. ciag Sn = a1 + a2 + · · · + an jest zbieżny; T /1-05
B. lim an = 0; N /1-05
n"
C. |an| jest zbieżny, T /1-05
to szereg an jest zbieżny.
n
4. Jeśli lim |an| = e, to
n"
A. szereg liczbowy an jest rozbieżny; T /1-05
1
B. szereg potegowy anxn jest zbieżny dla x " [-1, ]; N /1-05
e e
C. szereg potegowy anxn ma promień zbieżności R = e. N /1-05
5. Wiadomo, że lim (f(x) + 2x) = 0. W wczas
x-"
A. prosta o r wnaniu y = -2x jest asymptota ukośna funkcji f w -"; T /1-05
B. prosta o r wnaniu y = 2x jest asymptota ukośna funkcji f w -"; N /1-05
C. funkcja g(x) = f(x) + 2x posiada asymptote ukośna w -". T /1-05
6. Niech f : [a, b] bedzie funkcja ciagla oraz f(a) = 1, f(b) = 3. W wczas
A. inf f(x) = 1; N /1-05
x"[a,b]
B. funkcja f może nie osiagać najmniejszej wartości w przedziale [a, b]; N /1-05
C. funkcja f nie posiada miejsca zerowych. N /1-05
7. Niech f : [a, b] bedzie funkcja r żniczkowalna. Funkcja f posiada w punkcie x0 " (a, b) minimum lokalne,
gdy
A. f(x) e" f(x0); T /1-05
x"[a,b]
B. f (x0) = 0, f (x) < 0 dla x < x0 oraz f (x) > 0 dla x > x0; T /1-05
C. f (x) < 0 dla x < x0 oraz f (x) > 0 dla x > x0. T /1-05
8. Niech f : [a, b] (0, +") bedzie funkcja r żniczkowalna. Jeśli f (x) < 0 dla każdego x " [a, b], to
A. funkcja f jest wklesla na przedziale [a, b]; N /1-05
1
B. funkcja g(x) = , x " [a, b], jest rosnaca na [a, b]; T /1-05
f(x)
C. sup f(x) = f(b). N /1-05
x"[a,b]
9. Jeśli funkcje f, g : [a, b] sa ciagle, to
A. ( f(x)dx) = f(x); T /1-05
B. f(x)g (x)dx = f(x)g(x)dx + f (x)g(x)dx, gdy f, g " C1[a, b];
b b b
C. f(x)g(x)dx = ( f(x)dx) · ( g(x)dx). N /1-05
a a a
10. Niech f(x) = e-x. W wczas
A. f(x)dx = e-x + C, C " ; N /1-05
1
B. (f(x) - 1)dx = |D| , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = f(x), y = 1, x = 0, x = 1; T
0
/1-05
"
C. calka f(x)dx jest rozbieżna. T /1-05
0
"
11. Zal żmy, że funkcje fn : [a, b] , n " , sa ciagle. Jeśli szereg funkcyjny fn jest zbieżny jednostajnie na
n=1
przedziale [a, b] do funkcji f, to
"
A. szereg fn(x) jest zbieżny dla każdego x " [a, b]; T /1-05
n=1
B. f jest funkcja ciagla na [a, b]; T /1-05
"
C. f jest funkcja r żniczkowalna na [a, b] i f (x) = fn(x). N /1-05
n=1
Pytania otwarte:
I. Sformulować i udowodnić kryterium Cauchy ego (lub d Alamberta) zbieżności szereg w liczbowych.
II. Podać definicje pochodnej funkcji w punkcie i zbadać r żniczkowalność funkcji f w punkcie x0 = 0, jeśli
x2 dla x e" 0,
f(x) =
sin x dla x < 0
x
III. Wyznaczyć dwie funkcje pierwotne funkcji f(x) = . Sformulować warunek wystarczajacy istnienia calki
4-x2
nieoznaczonej funkcji określonej na przedziale (a, b).
06