RAMY
Obliczanie reakcji w ramie statycznie wyznaczalnej z zasady prac wirtualnych
Zadanie 1.
KorzystajÄ…c z zasady prac wirtualnych wyznacz reakcje w ramie podanej na rysunku
Rys.1
Rama jest złożona z trzech tarcz połączonych przegubami D i C.
Wyznaczenie każdej reakcji oznacza rozwiązanie osobnego zadania.
1. Wyznaczanie reakcji VA
Podporę przegubową w punkcie A zastępujemy podporą przegubowo przesuwną z przesuwem
pionowym. Do układu sił czynnych dodajemy reakcję VA (rys. 2)
Rys.2 Rys.3
Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.3).
" Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III (najbardziej podpartej)
która jest nieruchoma.
" Nieruchomy przegub D jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.
´
îÅ‚ Å‚Å‚
" Przyjmujemy prÄ™dkość kÄ…towÄ… tego obrotu jako É2 = 2´ (jednostka - na rysunku
ïÅ‚mśł
ðÅ‚ ûÅ‚
zaznaczona bez jednostek).
" Przy pomocy É2 wyznaczamy przemieszczenia wirtualne punktów bryÅ‚y II (także
przegubu C).
" Znając kierunek prędkości przegubu C oraz podpory A wyznaczamy środek chwilowego
obrotu tarczy I.
vC 6´ 3´
" Wyznaczamy prÄ™dkość kÄ…towÄ… É1 = = = zwrot przyjmujemy tak aby przy
O1C 2m m
obrocie wokół O1 zgadzał się zwrot prędkości vC .
" PrÄ™dkość kÄ…towa É1 pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy I.
Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:
´
´L = o´i = -VA Å" 6´ + 4kN Å" 3´ + 6kNm Å" 3 + 6kN Å"3´ = (- 6VA +12kN +18kN +18kN)´ = 0 "´
"Fi
m
- 6VA +12kN +18kN +18kN = 0 VA = 8kN
2. Wyznaczanie reakcji HA
Podporę przegubową w punkcie A zastępujemy podporą przegubowo przesuwną z przesuwem
poziomym. Do układu sił czynnych dodajemy reakcję HA (rys. 4).
Rys. 4 Rys.5
Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.5).
" Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która jest nieruchoma.
" Nieruchomy przegub D jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.
2´
" Przyjmujemy prÄ™dkość kÄ…towÄ… tego obrotu jako É2 =
m
" Przy pomocy É2 wyznaczamy przemieszczenia wirtualne punktów bryÅ‚y II (także
przegubu C).
" Znając kierunek prędkości przegubu C oraz podpory A wyznaczamy środek chwilowego
obrotu tarczy I ( leży on w nieskończoności  bryła I porusza się poprzez poziomą
translacjÄ™).
" Wszystkie punkty bryły I mają takie same przemieszczenia wirtualne jak punkt C.
Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:
´
´L = o´i = -H Å" 6´ + 4kN Å" 6´ + 6kNm Å" 0 + 6kN Å" 3´ = (- 6H + 24kN +18kN)´ = 0 "´
"Fi A A
m
- 6H + 24kN +18kN = 0 H = 7kN
A A
3. Wyznaczanie reakcji HB
Utwierdzenie w punkcie B zastępujemy utwierdzeniem z przesuwem poziomym. Do układu sił
czynnych dodajemy reakcjÄ™ HB (rys. 6).
Rys. 6 Rys.7
Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.7).
" Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która porusza się przez
poziomą translację. Przyjmujemy przemieszczenia wirtualne wszystkich punktów tej tarczy
jako 6´ .
" Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej pionowej przechodzącej przez
punkt D. Jednocześnie, (ponieważ środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek
obrotu tarczy II musi leżeć na prostej AC. Te dwie proste przecinają się w punkcie C który
jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.
vD 6´ 2´
" Wyznaczamy prÄ™dkość kÄ…towÄ… É2 = = = , zwrot przyjmujemy tak aby przy
O2D 3m m
obrocie wokół O2 zgadzał się zwrot prędkości vD .
" PrÄ™dkość kÄ…towa É2 pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II.
" Tarcza I jest nieruchoma ponieważ ma dwa nieruchome punkty A i C.
Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:
´L = o´i = -H Å" 6´ + 4kN Å" 6´ + 6kN Å" 3´ = (- 6H + 24kN +18kN)´ = 0 "´
"Fi B B
- 6H + 24kN +18kN = 0 H = 7kN
B B
4. Wyznaczanie reakcji VB
Utwierdzenie w punkcie B zastępujemy utwierdzeniem z przesuwem pionowym. Do układu sił
czynnych dodajemy reakcjÄ™ VB (rys. 8).
Rys. 8 Rys.9
Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.9).
" Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która porusza się przez
pionową translację. Przyjmujemy przemieszczenia wirtualne wszystkich punktów tej tarczy
jako 6´ .
" Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej poziomej przechodzącej przez
punkt D. Jednocześnie, (ponieważ środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek
obrotu tarczy II musi leżeć na prostej AC. Te dwie proste przecinają się w punkcie O2 który
jest środkiem chwilowego obrotu tarczy II.
vD 6´ 2´
" Wyznaczamy prÄ™dkość kÄ…towÄ… É2 = = = , zwrot przyjmujemy tak aby przy
O2D 3m m
obrocie wokół O2 zgadzał się zwrot prędkości vD .
" PrÄ™dkość kÄ…towa É2 pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II ( w
tym przegubu C).
" Tarcza I obraca się wokół punktu A. Wyznaczamy jej prędkość kątową
vC vCY 6´ 3´
É1 = = = = , zwrot przyjmujemy tak aby przy obrocie wokół O1
O1C (O1C) 2m m
X
zgadzał się zwrot prędkości vC .
Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:
´
´L = o´i = VB Å" 6´ - 4kN Å" 6´ - 6kN Å" 3´ - 4kN Å" 3´ - 6kNm Å" 3 =
"Fi
m
= (6VB - 24kN -18kN -12kN -18kN)´ = 0 "´
6VB - 24kN -18kN -12kN -18kN = 0 VB = 12kN
5. Wyznaczanie momentu MB
Utwierdzenie w punkcie B zastępujemy podporą przegubową. Do układu sił czynnych dodajemy
moment utwierdzenia MB (rys. 10).
Rys. 10 Rys.11
Wyznaczanie przemieszczeń wirtualnych (prędkości możliwych) układu (rys.11).
" Analizę możliwych prędkości układu zaczynamy od tarczy III która obraca się wokół
6´
przegubu B. Przyjmujemy prÄ™dkość kÄ…towÄ… tej tarczy jako É3 = .
m
" Środek chwilowego obrotu tarczy II musi leżeć na prostej BD. Jednocześnie, (ponieważ
środek obrotu tarczy I leży w podporze A) środek obrotu tarczy II musi leżeć na prostej
AC. Te dwie proste przecinają się w punkcie O2 który jest środkiem chwilowego obrotu
tarczy II.
vD vDX 12´ 2´
" Wyznaczamy prÄ™dkość kÄ…towÄ… É2 = = = = , zwrot przyjmujemy tak
O2D (O2D)Y 6m m
aby przy obrocie wokół O2 zgadzał się zwrot prędkości vD .
" PrÄ™dkość kÄ…towa É2 pozwala wyznaczyć przemieszczenia wirtualne punktów tarczy II ( w
tym przegubu C).
" Tarcza I obraca się wokół punktu A. Wyznaczamy jej prędkość kątową
vC vCX 6´ 3´
É1 = = = = , zwrot przyjmujemy tak aby przy obrocie wokół O1
O1C (O1C)Y 2m m
zgadzał się zwrot prędkości vC .
Zapisujemy zasadę prac wirtualnych dla układu:
6´ ´
´L = o´i = M Å" + 4kN Å" 6´ + 4kN Å"18´ + 6kN Å" 9´ + 4kN Å" 3´ + 6kNm Å" 3 =
"Fi B
m m
6M
ëÅ‚ öÅ‚
B
= + 24kN + 72kN + 54kN +12kN +18kN ´ = 0 "´
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
6M
B
+ 24kN + 72kN + 54kN +12kN +18kN = 0 M = -30kNm
B
m