Imię i nazwisko, nr grupy dziekańskiej:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolokwium 1 (15 grudnia 2006r.)
Matematyka 3 semestr, Geodezja i Kartografia.
Zestaw A
1. Dana jest krzywa opisana parametryzacją
r(u) = [2 cos3 u, 2 sin3 u] .
gdzie u " [0, 2Ą).
Znalez
ć punkty krzywej, w których normalna do krzywej jest równoległa do
prostej x + y = 16. Wyznaczyć w tych punktach promień krzywizny.
2. a) Dla ustalonej prostej l oraz krzywej K nie mającej punktów spłaszcze-
nia pokazać, że jeżeli normalne główne krzywej K tworzą z prostą l kąt
stały oraz styczne są prostopadłe do prostej l, to binormalne są również
prostopadłe do l.
b) Wykazać, że dla r  parametryzacji naturalnej zachodzi równość:
1
t ć%  = - t k 
�
3. Dla krzywej opisanej równaniami:
F (x, y, z) = x2 + y2 - z = 0
G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 2 = 0
oraz punktu P (1, 0, 1)
a) wyznaczyć równanie płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie P ,
b) znalez
ć parametryzację normalnej głównej w punkcie P ,
c) obliczyć skręcenie krzywej w P i zbadać, czy krzywa jest płaska.
4. Wyznaczyć parametryzację naturalną r(s) krzywej danej równaniami parame-
trycznymi:
1 + t2
x(t) = a
1 - t2
2t
y(t) = b ,
1 - t2
gdzie t " (-1, 1). Znalez
ć długość łuku krzywej między punktami P1(a, 0)
4
i P2(5a, b).
3 3