Wprowadzenie do rachunku tensorowego 2011-01-24
Wprowadzenie do rachunku tensorowego
Tensorami nazywamy ogólnie takie obiekty jak skalary, wektory i wielkości wyższych
rzedów. Tak więc tensorem rzędu zerowego (np. A, czyli wielkość o walencji 0) są skalary,
pierwszego (np. ji , czyli wielkość o walencji 1) wektory, zaś reprezentacją tensora rzędu
drugiego (np. dij ) jest macierz 2x2. Tensory rzędów (czyli walencji) wyższych (np. 3-go, 4-
go) nie możemy już zapisać na ,,płaszczyz
nie  .
Operacje na tensorach rządzą się pewnymi zasadami (algebra tensorów):
1. Cij = Aij + Bij - dodawanie tensorów
2. aijbkln = cijkln - iloczyn tensorowy dwóch tensorów jest tensorem o walencji równej
sumie walencji składników
3. Istnieje tzw. tensor jednostkowy  zwany deltą Kroneckera
1 0 0
�ł łł
1 dla i = j
ńł
�ł0
�ij = 1 0śł , czyli �ij =
�ł0 dla i `" j
�ł śł
ół
�ł śł
�ł0 0 1�ł
4. Zamianę wskaz
ników dokonujemy poprzez przemnożenie danego tensora przez tensor
jednostkowy
aij�ik = a
jk
5. Niezmienniki tensora:
I = Aii
1
Aij �! II = (Aii Ajj - Aij A )
ji
2
III = det(Aij )
Równania tensorowe
Jednym z ,,zastosowań  tensorów jest umożliwienie zapisu relacji funkcyjnej między parą
wektorów, czyli np. dla wektorów ai i bj będzie
ai = Bijbj ,
natomiast dla pary tensorów będzie
Aij = BijklCkl
Konwencja sumacyjna Einsteina
W zapisie równań tensorowych powszechnie wykorzystuje się tzw. notację sumacyjną
Einsteina, pozwalającą zapisać skomplikowane wyrażenia w zwięzłej postaci. Konwencja ta
mówi, że sumowania dokonujemy po powtarzających się wskaz
nikach, np.
3
aij x a" x = ai1x1 + ai2 x2 + ai3x3
j "aij j
j=1
Te powtarzające się wskaz
niki nazywa się wskaz
nikami niemymi. Mają one tą właściwość,
że można je wymienić na dowolne inne, np.:
aij x a" aik xk
j
UWAGA! Przy przekształceniach należy zwrócić uwagę na to, żeby dany wskaz
nik nie
powtórzył się więcej niż 2 razy po jednej stronie równania (dotyczy iloczynów!).
A. Marynowicz Strona 1
 Wprowadzenie do rachunku tensorowego 2011-01-24
Przykłady zadań z równaniami tensorowymi
Poniżej podam kilka przykładów, bez wyjaśnienia podstaw fizycznych  po te odsyłam do
wykładów.
Przykład 1.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
ui = xi B x (1)
j j
Należy wyznaczyć tensor odkształceń w postaci:
2�ij = ui, j + u (2)
j,i
oraz naprężeń
� = 2G�ij + �kk� (3)
ij ij
a następnie sprawdzić równanie równowagi wewnętrznej
� + �Fi = 0 (4)
ij, j
Z równania tego należy, przyjmując znane �Fi , wyznaczyć składowe wektora Ai.
Rozwiązanie
Aby to zadanie rozwiązać należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne (cząstkowe)
z wektora przemieszczeń ui. Pochodną (cząstkową) w zapisie tensorowym oznacza się
przecinkiem i wskazuje po jakiej współrzędnej się ją liczy  to po przecinku, np.
"xi "2 xi
a" xi, j , a" xi, , itp&
"x "x "xk jk
j j
Należy jeszcze pamiętać o pochodnej mieszanej (z iloczynu funkcji). Mamy więc w naszym
przypadku (po zamianie indeksu j na k w iloczynie!  powód podano wyżej):
ui, j = [xi Bk xk ] = [xi] Bk xk + xi[Bk xk ] = xi, j Bk xk + xi Bk xk , j = �ij Bk xk + xi Bk� =
kj
, j , j , j
= �ij Bk xk + xi B
j
(5)
Wektor Bi jest wektorem stałych, stąd pochodna jego jest równa zero. Wykorzystano tu także
zależności (można to łatwo rozpisać)
xi, j = �ij
oraz
Bk� = B .
kj j
Pochodną uj,i otrzymujemy podobnie, zamieniając wskaz
niki i oraz j, stąd otrzymamy
u = �ij Bk xk + x Bi (6)
j,i j
wiedząc, że �ij = � .
ji
Podstawiając (5) i (6) do (2) otrzymamy:
2�ij = 2�ij Bk xk + xi B + x Bi . (7)
j j
Następnie podstawiamy to do równania fizycznego (3)
� = G(2�ij Bk xk + xiBj + x Bi)+ 4�ij Bk xk =K =
ij j
(8)
= G(xiBj + x Bi)+�ij Bk xk (2G + 4)
j
A. Marynowicz Strona 2
 Wprowadzenie do rachunku tensorowego 2011-01-24
Występujące w (3) wyrażenie � otrzymano z przekształcenia (7):
kk
2�kk = 2� Bl xl + xk Bk + xk Bk = 2 �" 3�" Bl xl + 2xk Bk = 6Bk xk + 2xk Bk = 8Bk xk ,
kk
czyli
� = 4Bk xk .
kk
Chcąc otrzymać ostatni element, czy wyliczyć siłę masową z równania równowagi, musimy
obliczyć pochodną z równania (8), czyli
� = [G(xiBj + xjBi)] +[�ijBk xk(2G + 4)] =
ij, j
, j , j
� �
ij kj
�ł �ł
�ł 3 �ł
} } }
�ł
= G�ł xi, B + xj, j Bi �ł + (2G + 4)�ł�ij Bk x =
�ł �ł
�ł �ł
1j 3j 1 3j
2 2k ,
�ł �ł
�ł �ł
Bi B
�ł łł j
�ł łł
= 4GBi + (2G + 4)Bi = Bi(6G + 4)
Wykorzystano tu fakt, że pochodna z �ij jest równa zero. Mając tak policzoną pochodną
otrzymamy równanie równowagi
�Fi = -Bi (6G + 4) , (9)
z którego, przy znanym �Fi , wyznaczymy składowe wektora Bi :
�
B1 = - F1
6G + 4
�
B2 = - F2 (10)
6G + 4
�
B3 = - F3
6G + 4
Równania (7), (8), (9) i (10) stanowią rozwiązanie zadania.
Przykład 2.
Pole przemieszczeń w nieograniczonym ciele sprężystym ma postać:
ui = (xi - Bi )x Bj (11)
j
Wyznaczyć wielkości z przykładu 1 (tylko zamiast Ai wyznaczyć składowe Bi).
Rozwiązanie
Możemy na początku przekształcić (zamieniając indeksy ,,nieme  (czyli nie występujące po
lewej stronie równania) j na k) (11)
ui = (xi - Bi )x Bj = xi x Bj - xi BiBj = xi xk Bk - xk BiBk
j j
Mamy więc:
�k , j �ij �kj
�ł �ł
} } }�ł
�ł
ui, j = [xi xk ] Bk - xk j Bk Bi = xi, j xk + xi xk , j �łBk - BjBi = �ij xk Bk + xi� Bk - Bj Bi =
kj
, j
�ł
1, 3 13
2 2
�ł �ł
Bj �ł łł Bj
= �ij xk Bk + Bj(xi - Bi )
oraz
u = �ij xk Bk + Bi(x - Bj).
j,i j
Tak więc tensor odkształcenia ma postać
2�ij = 2�ij xk Bk - 2BiBj + Bj xi + Bi x (12)
j
A. Marynowicz Strona 3
 Wprowadzenie do rachunku tensorowego 2011-01-24
Tensor �kk :
� = 4Bkxk - Bk Bk
kk
Stąd tensor naprężeń (równanie fizyczne):
� = G(2�ij xk Bk + xi B + x Bi - 2Bi B ) + (4xk Bk - Bk Bk )�ij (13)
ij j j j
Pochodna z wyrażenia (13) ma postać (uwaga na xj,j=3)
� = G([2�ij xk Bk ] +[xi Bj] +[x Bi] -[2Bi B ] ) + (4[xk Bk ] -[Bk B ] )�ij = (6G + 4)Bi
ij, j j j
,
, j , j , j ,
424, j 4 4j
14243 123 123 1 3
424j 1 3 12k3
B 0
2Bi Bi 3Bi 0 j
1444424444
3
 4Bi
(14)
Wstawiając (14) do równania równowagi (4) otrzymamy wyrażenie na składowe wektora siły
masowej
�Fi = -(6G + 4)Bi (15)
Ostatecznie składowe wektora Bi wyliczymy przekształcając (15), czyli otrzymamy
-1
Bi = -[6G + 4] �Fi (16)
czyli po rozpisaniu:
-1
B1 = -(6G + 4) �F1
-1
B2 = -(6G + 4) �F2 (17)
-1
B3 = -(6G + 4) �F3
co kończy zadanie.
A. Marynowicz Strona 4