Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Załóżmy, że X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym
N(0,1) . Zmienna losowa T jest równa
| X |
T = .
2 2
X + Y
Jeśli x "(0,1), to funkcja gęstości f zmiennej losowej T jest równa
(A) f (x) = 1
2
(B) f (x) =
Ą 1- x2
x
(C) f (x) =
Ą 1- x2
x
(D) f (x) =
1- x2
4x2
(E) f (x) =
Ą 1- x2
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X1, X2,K, Xn,K będą niezależnymi dodatnimi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej a. Niech N i M będą
zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona niezależnymi od siebie nawzajem i od
zmiennych losowych X1, X2,K, Xn,K, przy czym EN =  i EM = ź . Niech
max(X1, X2,K, Xn) gdy n > 0
ż#
Yn = .
�#
0 gdy n = 0
�#
Obliczyć P(YM + N > YM ).

(A) (1- e-a)
 + ź
ź
(B) (1- e- -ź)
 + ź

(C)
 + ź

(D) (1- e-a)(1- e- -ź)
 + ź

(E) (1- e- -ź)
 + ź
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zakładamy, że X1, X2,K, X10, X11, X12,K, X20 są niezależnymi zmiennymi losowymi o
2
rozkładach normalnych, przy czym EXi = ź1 i VarXi = � dla i = 1,2,K,10, oraz
2
EXi = ź2 i VarXi = 2� dla i = 11,12,K,20 . Parametry ź1, ź2 i � są nieznane.
10 20 20
1 1 1
Niech X1 = Xi , X2 = Xi , X = Xi .
" " "
10 10 20
i=1 i=11 i=1
Dobrać stałe a i b tak, aby statystyka
2
20
2
2
Ć
� = a - X ) + b(X1 - X2)
"(Xi
i=1
2
była estymatorem nieobciążonym parametru � .
1 1
(A) a = , b = -
27 54
1 10
(B) a = , b = -
18 18
1 10
(C) a = , b = -
27 27
1 5
(D) a = , b = -
27 27
1 5
(E) a = , b = -
18 18
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponując pięcioma niezależnymi próbkami losowymi o tej samej liczebności n, z
2
tego samego rozkładu normalnego N(ź,� ) z nieznaną wartością oczekiwaną ź i
2
znaną wariancją � , zbudowano pięć standardowych przedziałów ufności dla
Ą#X � � ń#
parametru ź otrzymując przedziały postaci -1,2816 , Xi +1,2816 , gdzie
i
ó# Ą#
n n
Ł# Ś#
Xi jest średnią z obserwacji w i-tej próbce, i = 1,2,3,4,5.
Następnie zbudowano przedział ufności dla parametru ź postaci
� �
Ą#m -1,2816 ,m +1,2816 ń#
,
ó# Ą#
n n
Ł# Ś#
Gdzie m = med{X1, X2, X3, X4, X5}. Wyznaczyć
� � ś#
c = P�#m -1,2816 < ź < m +1,2816 .
ś# ź#
n n
�# #
(A) c = 0,97500
(B) c = 0,95000
(C) c = 0,98288
(D) c = 0,89144
(E) c = 0,99982
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X1, X2,K, X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego,
2
�
2
przy czym EXi = 0 i VarXi = , gdzie � jest nieznanym parametrem.
i
2
Rozważamy jednostajnie najmocniejszy test hipotezy H0 : � d" 4 przy alternatywie
2
H1 : � > 4 na poziomie istotności 0,05.
2
Niech S oznacza zbiór tych wartości wariancji � , dla których moc tego testu jest nie
mniejsza niż 0,95. Wtedy S jest równy
(A) (20,353; + ")
(B) (18,584; + ")
(C) (17,307; + ")
(D) (15,761; + ")
(E) (15,051; + ")
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1, X2,K, X8 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale [-� ,�], gdzie � > 0 jest nieznanym
parametrem. Hipotezę H0 : � = 2 przy alternatywie H1 : � = 4 weryfikujemy testem
najmocniejszym na poziomie istotności 0,1. Prawdopodobieństwo błędu drugiego
rodzaju jest równe
(A) 0,0035
(B) 0,0933
(C) 0,1000
(D) 0,0060
(E) 0,1566
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład wykładniczy z wartością
oczekiwaną  > 0 . Obliczyć
Var(min{X ,Y}S = X + Y = 2).
6
(A)
12
2
(B)
12
3
(C)
12
4
(D)
12
1
(E)
12
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X2,K, Xn,K, I1,I2,K,In,K,N będą niezależnymi zmiennymi losowymi .
Zmienne X1, X2,K, Xn,K mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej ź > 0 .
Zmienne I1,I2,K,In,K mają rozkład dwupunktowy P(Ii = 1)= 1- P(Ii = 0) = p , gdzie
p "(0,1) jest ustaloną liczbą. Zmienna N ma rozkład ujemny dwumianowy
�(r + n)
r
P(N = n) = (1- q) qn dla n = 0,1,2,K, gdzie r > 0 i q "(0,1) są ustalone.
�(r)n!
Niech
N N
ż# ż#
�# Xi gdy N e" 1 �# Xi gdy N e" 1
" "Ii
TN = SN =
�# �#
i=1 i =1
�# �#
0 gdy N = 0 0 gdy N = 0
�# �#
Wyznaczyć współczynnik kowariancji Cov(TN ,SN ).
pź2rq(2 - q)
(A)
2
(1- q)
pź2r(1+ q)
(B)
2
(1- q)
pź2r(1+ q - q2)
(C)
2
(1- q)
pź2rq
(D)
1- q
pź2r(1- q2)
(E)
q2
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zakładając, że obserwacje x1, x2,K, x10 stanowią próbkę losową z rozkładu Pareto o
gęstości
ż#
3��
�# gdy x > 0
f� (x) =
�#
(3 + x)� +1
�#
0 gdy x d" 0
�#
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem, wyznaczono wartość estymatora największej
wiarogodności parametru � i otrzymano �Ć = 2 . W próbce były dwie obserwacje o
wartości 6, a pozostałe osiem obserwacji miało wartości mniejsze od 6. Okazało się,
że w rzeczywistości zaobserwowane wartości stanowiły próbkę z uciętego rozkładu
Pareto, czyli były realizacjami zmiennych losowych Xi = min{Yi,6}, gdzie Yi ,
i = 1,2,K,10 , są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości f� .
Wyznaczyć wartość estymatora największej wiarogodności parametru � po
uwzględnieniu modyfikacji założeń.
(A) 2,00
(B) 2,85
(C) 1,60
(D) 1,50
(E) 3,00
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Dysponujemy dwiema urnami: A i B. W urnie A są dwie kule białe i trzy czarne, w
urnie B są trzy kule białe i dwie czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
1 etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie wrzucamy je
do drugiej urny;
3 etap: z urny, do której wrzuciliśmy kule, losujemy jedną kulę.
Okazało się, że wylosowana w trzecim etapie kula jest biała.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowano dwie kule jednego
koloru.
(A) 0,5
(B) 0,4
(C) 0,3
(D) 0,2
(E) 0,1
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ..........................K L U C Z O D P O W I E D Z I ............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 B
2 E
3 D
4 C
5 B
6 A
7 E
8 A
9 C
10 B
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11