PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI
[e-mail]
dr inż. Marek KUCHTA
p. 79 / S tel. 6 837  585
Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest zaliczenie ćwiczeń
rachunkowych i ćwiczeń laboratoryjnych.
�� Warunkiem zaliczenia ćwiczeń rachunkowych jest zaliczenie pracy
kontrolnej na ostatnich zajęciach oraz uzyskanie oceny średniej z
odpowiedzi w czasie zajęć nie mniej niż 3,0. Nieobecności na więcej
niż 1 ćwiczeniach rachunkowych wymaga zaliczenia opuszczonych
zajęć w ramach konsultacji.
�� Warunkiem zaliczenia ćwiczeń laboratoryjnych jest uzyskanie
wymaganej liczby punktów. Student otrzymuje z każdego ćwiczenia
punkty za:
q� przygotowanie do ćwiczenia (w skali 0��4);
q� praktyczne wykonanie ćwiczenia (w skali 0��2);
q� sprawozdanie z ćwiczenia (w skali 0��4);
Ocena końcowa za ćwiczenia laboratoryjne wystawiana jest zgodnie z
poniższą tabelą.
Liczba punktów 0��10,5 11��12,5 13��14,5 15��16,5 17��18,5 19��20
3.5 4.5
Ocena końcowa 2 (ndst) 3 (dst) 4 (db) 5 (bdb)
(dst+) (db+)
�� Zaliczenie przeprowadzane jest w formie pisemnej i ustnej.
UWAGA: do laboratorium ZOiSE p. 81/S należy dostarczyć wykaz
studentów grupy z podziałem na zespoły.
- 1 -
1. SYGNAA
Y ELEKTRYCZNE
1.1. KLASYFIKACJA SYGNAA
ÓW
W elektronice
PRZEBIEGI CZASOWE
napięcia lub prądu elektrycznego nazywamy
SYGNAA
AMI ELEKTRYCZNYMI
Sygnały elektryczne mogą być dowolnymi funkcjami rzeczywistymi
czasu, a więc zmiennej rzeczywistej t.
Badając zmienności tych funkcji:
SYGNAA
Y ELEKTRYCZNE
SYGNAA
Y STOCHASTYCZNE
SYGNAA
Y ZDETERMINOWANE
Sygnałem losowym nazywamy
Sygnałem zdeterminowanym
sygnał, którego wystąpienia ani
nazywamy sygnał, którego
wartości nie możemy
wystąpienie można przewidzieć i
przewidzieć.
który daje się opisać analitycznie
- 2 -
SYGNAA
Y ZDETERMINOWANE
STAA
E ZMIENNE
f(t) = const. dla t ��(�-� Ą�,+�Ą�)�, f(t) `" const. dla t ��(�-� Ą�,+�Ą�)�,
oznaczane: U, I oznaczane: u(t), i(t),
Jeżeli warunek okresowości
�� Ł� f (�t)� =� f (�t +� kT)�
T >�0 t
T- okres właściwy, k  liczba całkowita
jest spełniony nie jest spełniony
OKRESOWE NIEOKRESOWE
sinusoidalne niesinusoidalne
HARMONICZNE
2p�
��
ODKSZTAA
CONE
f (�t)� =� Fm sinć� t +�Y�
�� ��
T
Ł� ł�
dla t ��(�-� Ą�,+�Ą�)�,
T
Jeżeli warunek: f (�t)�dt =� 0
��
0
jest spełniony nie jest spełniony
PRZEMIENNE T
TNI
CE
f(t) f(t)
t
+
+
t
-
-
T T
- 3 -
1.2. PARAMETRY SYGNAA
ÓW OKRESOWYCH
Dla sygnału okresowego x o wartościach x(t):
�� Moc średnia
T
1
2
Px =� (1.1)
��x (�t)� dt
T
0
�� Wartość maksymalna  największa wartość chwilowa jaką
sygnał osiąga  oznaczamy ją jako Xm
�� Wartość średnia całookresowa (jest to średnia arytmetyczna tego
sygnału obliczona za jeden okres)
T
1
Xśr C =� x(�t)�=� (1.2)
��x(�t)�dt
T
0
�� Wartość średnia półokresowa (jest to średnia arytmetyczna tego
sygnału obliczona za połowę okresu)
T / 2
2
Xśr =� (1.3)
��x(�t)�dt
T
0
�� WARTOŚĆ SKUTECZNA (jest to pierwiastek kwadratowy z
wartości średniej kwadratu sygnału
obliczonej za jeden okres, inaczej -
pierwiastek kwadratowy ze średniej mocy
sygnału)
T
1
2
X =� X =� (1.4)
sk
��x (�t)�dt =� x2(�t)� =� Px
T
0
- 4 -
1.3. SYGNAA
Y HARMONICZNE
W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały
harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak
sin(�w�t +�p� 2)�=� cos w�t ,
nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).
Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg
jest sinusoidalną funkcją czasu
Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u(�t)�=� Um sin(�w� t +�Y�u )� (1.5)
u(t) W czasie
T
odpowiadającym
jednemu okresowi
U
m
faza napięcia
t
T/2
zmienia się o 2p�,
tzn. w�T =� 2p� . Na
p� 2�p�
w�t
Y�u 0
rys. na osi
odciętych
oznaczono skalę
czasu i skalę
kątową.
gdzie: u(t) - wartość chwilowa napięcia;
Um - wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);
Y�u - początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w
chwili t = 0;
w� t +�Y�u - kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;
w� =2p� f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;
f =1/T - częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością
okresu.
- 5 -
Wartość średnia (półokresowa) napięcia sinusoidalnego wynosi wg
wzoru (1.3)
T / 2 T / 2
2 2 2
Uśr =�
m
��u(�t)�dt =� ��U sinw� t dt =� Um � 0,637 Um (1.6)
T T p�
0 0
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego zgodnie ze wzorem (1.4)
wynosi
T T
1 1 Um
2 2
U =�
m
��u (�t)� dt =� ��U sin2 w� t dt =� � 0,707Um (1.7)
T T 2
0 0
Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy
przedstawić jako
u(�t)� =� Um sin(�w� t +�Y�u )�=� U 2 sin(�w� t +�Y�u )� (1.8)
- 6 -
1.4. SYGNAA
WYKA
ADNICZY
Funkcja wykładnicza jest traktowana niemal jako funkcja magiczna.
Wynika to stąd, że
�� każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony
w postaci sumy funkcji wykładniczych;
�� w przypadku układów liniowych odpowiedz
układu na wymuszenie
wykładnicze jest także wykładnicza.
Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:
st
x(t) =� Ae dla t ��(�-� Ą�,+�Ą�)� (1.9)
Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony
s =� s� +� jw� (1.10)
(�s� +� jw� )�t s� t jw� t
a zatem x(t) =� Ae =� Ae e (1.12)
Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od tego jakie wartości
przyjmuje s.
1. Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn. w� = 0) wtedy
s� t
x(t) =� Ae
i ma charakter zależny od wartości s�
a) gdy s� < 0, sygnał x(t) ma charakter
x(t)
monotonicznie malejącej funkcji
s� > 0
czasu;
A s� = 0
b) gdy s� = 0, sygnał x(t) jest sygnałem
stałym o wartości A;
s� < 0
c) gdy s� > 0, sygnał x(t) ma charakter
t
monotonicznie rosnącej funkcji
0
czasu.
- 7 -
2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. s�=0) wtedy
jw� t
x(t) =� Ae
sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyz
nie zmiennej
zespolonej za pomocą tzw. wektora wirującego
obracającego się z prędkością kątową w�
Im
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara. Położenie tego
w�
wektora na płaszczyz
nie w danej chwili t
określone jest za pomocą kąta w�t.
Re
w�t
0
t = 0
A
jw� t
Czynnik e spełnia rolę operatora
obrotu,
natomiast A jest modułem wektora.
Uwzględniając wzór Eulera
jw�
e =� cosw�t +� j sinw�t (1.13)
można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych
jw�
x(�t)�=� Ae =� Acosw�t +� j Asinw�t (1.14)
Część rzeczywista wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze
cosinusoidalnym
jw� t
Re[�Ae ]� =� Acosw�t (1.15)
Część urojona wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze
sinusoidalnym
jw� t
Im[�Ae ]� =� Asinw�t (1.16)
Wynika stąd, że najczęściej spotykane przebiegi wielkości elektrycznych
stanowią szczególne przypadki sygnału o charakterze wykładniczym.
- 8 -
t
w�
j
e
A
1.5. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAA
U HARMONICZNEGO
Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u(�t)�=� Um sin(�w� t +�Y�u )� (1.17)
Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyz
nie zmiennej
zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym przedstawia rys.
Im u(t)
w�
u(0)
U
m
u(0)
t
Re
Y�u
0
w�t
Y�u 0
U
m
T
Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi
u(�0)� =�Um sinY�u (1.18)
W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie Um jest nachylony względem
osi liczb rzeczywistych pod kątem Y�u . Rzut tego wektora na oś liczb
urojonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego
jest równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.
Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (1.16), następująco:
dla każdej chwili t
j (�w� t+�Y�u )�
u(�t)�=� Um sin(�w� t +�Y�u )�=� Im[�Um e ]� =� Im[�u(�t)�]� (1.19)
- 9 -
Sygnał sinusoidalny:
u(�t)� =� Um sin(�w�t +�Y�u )� =� 2 U sin(�w�t +�Y�u )�
amplituda
(rzeczywista) wartość skuteczna
(wartość max.)
wartość chwilowa
posiada następującą
POSTAĆ SYMBOLICZN
(symboliczną wartość chwilową):
j(�w�t+�Y�u )� jY�u jw�t jY�u jw�t
u(t) =� Um e =� Um e e =� 2 U (1.20)
1� 3� 1�e e
4�2�4� 2�3�
Um
U
symboliczna wartość skuteczna
symboliczna amplituda
/wskaz wartości skutecznej/
/postać zespolona amplitudy/
/wskaz amplitudy/
Czyli:
j(�w�t+�Y�u )� jw�t jw�t
u(t) =� Um e =� U e =� 2U e (1.21)
m
UWAGI:
�� nie zachodzi równość u(�t)� ą� u(�t)� tylko odpowiedniość u(�t)�=� u(�t)�
Ć
u(�t)�-� u*(�t)�
�� natomiast: u(�t)�=� =� Im[�u(�t)�]� (1.22)
2 j
�� Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktować je jako przebiegi wykładnicze.
- 10 -
1.6. OPIS WIDMOWY SYGNAA
ÓW ODKSZTAA
CONYCH
A) TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA
Dowolną funkcję okresową x(t) o okresie T, spełniającą warunki
Dirichleta, można przedstawić w postaci szeregu harmonicznego
nieskończonego zwanego szeregiem trygonometrycznym Fouriera:
Ą�
x(�t)� =� F0 +� (1.23)
��F sin(�kw�1t +�Y�k )�
m k
k =�1
składowa stała k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
gdzie:
w�1 =2p�/T  pulsacja podstawowa
k  rząd harmonicznej
Fmk  amplituda k-tej harmonicznej
Y�k  faza początkowa k-tej harmonicznej
Interpretacja:
x(t)
T
t
0
x(t) = F0 + Fm1 sin(w�1t+Y�1) + Fm2 sin(2w�1t+Y�2) + .........
T =T
1
T =T/2
2
F
m1
F
m2
t
F
0
w�t
Y�2 0
Y�1
- 11 -
Wiadomo jednak, że
Fm k sin(�kw�1t +�Y�k )� =� Fm k (�sin kw�1t cosY�k +� coskw�1t sinY�k )� (1.24)
Fm k sinY�k =� Ak
��
��
Jeśli oznaczymy (1.25)
��
Fm k cosY�k =� Bk
��
��
to Fm k sin(�kw�1t +�Y�k )�=� Ak cos kw�1t +� Bk sin kw�1t (1.26)
Gdy amplitudę k-tej harmonicznej przedstawimy jako wektor
wirujący, to z zależności trygonometrycznych wynikają wzory
Im
2 2
Fm k =� Ak +� Bk
(1.27)
Ak Fmk
Ak Bk
sinY�k =� , cosY�k =�
(1.28)
Re
Y�k Bk
Fmk Fmk
Uwzględniając powyższe zależności możemy szereg (1.23) przedstawić
Ą�
x(�t)�=� A0 +� (1.29)
k
��(�A cos kw�1t +� Bk sin kw�1t)�
k =�1
składowa stała k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
Współczynniki A0 , Ak , Bk wyznacza się ze wzorów:
t0 +�T
1
wartość średnia A0 =� x(�t)� dt (1.30)
��
T
t0
t0 +�T
2
skład. kosinusoidalna Ak =� x(�t)�cos kw�1t dt dla k =� 1,2,K� (1.31)
��
T
t0
t0 +�T
2
skład. sinusoidalna Bk =� x(�t)�sin kw�1t dt dla k =� 1,2,K� (1.32)
��
T
t0
- 12 -
B) WYKA
ADNICZY (ZESPOLONY) SZEREG FOURIERA
Jeśli w rozwinięciu w szereg Fouriera danym wyrażeniem (1.29)
zastosujemy podstawienie wynikające z wzorów Eulera
jkw�1t jkw�1t
e +� e-� jkw�1t e -� e-� jkw�1t
cos kw�1t =� , sin kw�1t =� (1.33)
2 2 j
to otrzymamy
Ą�
jkw�1t jkw�1t jkw�1t
��
e -� e-� jkw�1t ł�
x(�t)�=� A0 +� +� Bk (1.34)
ę� ś�
k
��ę�A e +� e-�
2 2 j
ś�
�� ��
k =�1
Wprowadzając oznaczenia
Ak -� jBk Ak +� jBk
C0 =� A0 , Ck =� , C =� (1.35)
-�k
2 2
stąd
Ą�
jkw�1t
x(�t)�=� C0 +� [�Ck e +� C e-� jkw�1t]� (1.36)
-�k
��
k =�1
i ostatecznie
Ą�
jkw�1t
x(�t)�=� (1.37)
k
��C e
k =�-�Ą�
k-ty współczynnik wykładniczego
którą to postać nazywamy postacią
szeregu Fouriera
zespoloną szeregu Fouriera.
t0 +�T
1
j h�k
Ck =� x(�t)�e-� j kw�1tdt
=� Ck e dla k =� 0,ą�1,ą�2,K� (1.38)
��
T
t0
moduł k-tego współczynnika argument k-tego współczynnika
wykładniczego szeregu Fouriera wykładniczego szeregu Fouriera
Uwaga: Ck =� C*
-�k
Ck =� C i h�k =� -�h�-�k
-�k
- 13 -
C) WIDMO AMPLITUDOWE I FAZOWE
Wprowadzenie:
F
m1
F
m2
F
t
m3
F
0
0
Y�2
w�t
Y�1
Y�3
x(t) =
Y�k
F0
F
mk
p�
+ Fm1 sin(w�1t+Y�1)
F
Y�2
m1
F
m2
Y�3
+ Fm2 sin(2w�1t+Y�2)
F
m3
Y�1
F
0 + Fm3 sin(3w�1t+Y�3)
1 2 3 kw�1� 1 2 3 kw�1�
+ ....
-�p�/2
-�p�
- 14 -
Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący
�� zbiór modułów Ck współczynników zespolonego szeregu Fouriera
lub
�� zbiór amplitud Fmk poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji w�=kw�1 (bądz
częstotliwości f=kf1)
nazywamy dyskretnym WIDMEM AMPLITUDOWYM sygnału x(t).
ozbiór argumentów h�k współczynników zespolonego szeregu
Fouriera
lub
ozbiór faz początkowych y�k poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji w�=kw�1 (bądz
częstotliwości f=kf1)
nazywamy dyskretnym WIDMEM FAZOWYM sygnału x(t).
Pomiędzy współczynnikami rozwinięcia w trygonometryczny i w
zespolony szereg Fouriera zachodzą następujące związki:
2 2
Fm k
Ak +� Bk
Ck =� C =� =� dla k =� 1,2,K�
(1.39)
-�k
2 2
p�
h�k =�Y�k -� dla k =� 1,2,K�
(1.40)
2
Znajomość obydwu widm, amplitudowego i fazowego
jednoznacznie określa sumę częściową szeregu Fouriera czyli
z założoną dokładnością opisuje analizowany sygnał x(t).
Widma (częstotliwościowe) są równoważnym opisem do
analitycznego zapisu w dziedzinie czasu tego sygnału - jest to
jego reprezentacja widmowa.
- 15 -
Wyjaśnienie:
WIDMO AMPLITUDOWE
SPORZ
DZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
TRYGONOMETRYCZN
ZESPOLON

F C
mk k
kw� kw�
1 1
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
WIDMO FAZOWE
SPORZ
DZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
TRYGONOMETRYCZN
ZESPOLON

Y�
h�
k
k
p� p�
p�/2 p�/2
kw� kw�
1 -1 1
4 3 4
1 2 3 -4 -3 -2 1 2
-�p�/2 -�p�/2
-�p� -�p�
Widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą a widmo
fazowe funkcją nieparzystą. Prawostronne widma amplitudowe i fazowe
stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.
- 16 -
D) RODZAJE SYMETRII SYGNAA
ÓW
1) SYMETRIA WZGL
DEM POCZ
TKU UKA
ADU WSPÓA
RZ
DNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem początku układu
współrzędnych lub funkcją nieparzystą jeśli spełnia ona zależność
x(t)
t
x(�t)�=� -�x(�-� t)� (1.41)
A0 =� 0, Ak =� 0 Y�k =� p� lub Y�k =� 0
Ą�
x(�t)�=� (1.42)
k
��B sin kw�1t
k =�1
2) SYMETRIA WZGL
DEM OSI RZ
DNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem osi rzędnych, lub funkcją
parzystą jeśli spełnia ona zależność
x(t)
x(�t)� =� x(�-� t)� (1.43)
t
p� p�
Bk =� 0
Y�k =� lub Y�k =� -�
2 2
Ą�
x(�t)� =� A0 +� (1.44)
k
��A cos kw�1t
k =�1
3) SYMETRIA WZGL
DEM OSI ODCI
TYCH
Funkcję nazywamy antysymetryczną (symetryczną względem osi
odciętych), jeśli rzędne funkcji okresowej powtarzają się co pół okresu ze
zmienionym znakiem, tzn.
x(t)
T
��
t
x(�t)�=� -�xć�t +� (1.45)
�� ��
2
Ł� ł�
A0 =� 0 i A2n =� B2n =� 0 dla n =� 1,2,K�
- 17 -
1.7. OPIS WIDMOWY SYGNAA
ÓW NIEOKRESOWYCH
A) PRZEKSZTAA
CENIE FOURIERA
Dla sygnałów nieokresowych f(t) można wyznaczyć transformatę
Fouriera (F- transformatę) określoną wzorem
+�Ą�
F(� jw�)� =� f (�t)�e-� jw�tdt =�F [�f (�t)�]�
, (1.46)
��
-�Ą�
będącą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej w� określoną w przedziale
w���(-Ą�,+Ą�).
Zależność (1.46) - nazywana PROSTYM PRZEKSZTAA
CENIEM
FOURIERA - pozwala przyporządkować opisowi sygnału w dziedzinie
czasu, opis w dziedzinie częstotliwości.
B) WIDMA SYGNAA
U
Funkcja F(jw�) nazywana jest funkcją gęstości widmowej sygnału
f(t). W ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona, czyli:
jY� (�w�)�
F(� jw�)� =� F(�w�)� e =� FR(�w�)�+� j FX (�w�)� (7.35)
widmo gęstości fazy
gęstość widmowa
widmo gęstości amplitud
gdzie:
2 2
F(�w�)�=� F(� jw�)�
=� FR (�w�)�+� FX (�w�)�
FX (�w�)� FX (�w�)� FR(�w�)�
Y� (�w�)� =� arg F(� jw�)�
=� arctg =� arcsin =� arc cos
FR(�w�)� F(�w�)� F(�w�)�
+�Ą� +�Ą�
FR(�w�)�=� f (�t)�cosw�t dt FX (�w�)�=� -� f (�t)�sinw�t dt
�� ��
-�Ą� -�Ą�
UWAGA: Ww. widma są funkcjami CI
GA
YMI zmiennej w�.
F(�w�)� =� F(� jw�)� =� F(�-� jw�)� - funkcja parzysta
Y� (�w�)� =� -�Y� (�-� w�)� - funkcja nieparzysta
- 18 -
PRZYKA
AD 1: Dany jest sygnał u(t) będący ciągiem impulsów
prostokątnych o okresie T=1ms, czasie trwania
ti=0,25ms oraz amplitudzie Um=10V. Wyznaczyć
widmo amplitudowe i fazowe sygnału.
1) Opisujemy sygnał u(t) analitycznie w przedziale czasu
odpowiadającym okresowi:
ti ti
��
Um dla -� <� t <�
��
2 2
u(�t)�=�
��
ti ti
��
0 dla <� t <� T -�
�� 2 2
2) Wybieramy postać szeregu Fouriera, dla której będziemy rozwijali
sygnał
Ą�
u(�t)�=� A0 +�
k
��(�A cos kw�1t +� Bk sin kw�1t)�
k =�1
3) Sprawdzamy rodzaj symetrii sygnał u(t)
Występuje symetria względem osi rzędnych ( f (�t)� =� f (�-� t)�). Ponieważ
jest to funkcja parzysta znikają wyrazy z sinusami (Bk =� 0).
Ą�
Zatem: u(�t)�=� A0 +�
k
��A cos kw�1t
k =�1
t0 +�T
1
4) Obliczamy składową stałą U0 =� A0 =�
��u(�t)� dt
T
t0
ti
ti
2
1 1 1 ti ti ti 1
2
U0 =� =�
�� ��
m
ti
��U dt =� Um t =� Um T ć� +� �� Um T =� 10 �� =� 2,5[�V ]�
T T 2 2 4
-� Ł� ł�
ti
2
-�
2
- 19 -
t0 +�T
2
5) Obliczamy współczynniki Ak =�
��u(�t)�cos kw�1t dt k =� 1,2,K�
T
t0
ti
ti
2
2 U
2 1
m
2
Ak =� (�sin kw�1t)�
m
ti
��U cos kw�1t dt =�
T T kw�1
-�
ti
2
-�
2
2 Um ti ti ł� 2p�
1 ��
ć�kw� �� ć�
Ak =� -� sin -� kw�1 �� w�1 =�
�� �� �� ��ś�
T kw�1 ę�sin Ł� 1 2 2 T
ł� Ł� ł�
�� ��
Um �� p� p� ł� p� p�
ć� �� ć� �� ć� �� ć�k ��
=� sin -� k =� -�sin
�� �� �� ��
ę�sin �� k �� -� sin �� -� k ��ś�
kp� 4 4 4 4
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
Um �� p� p� ł� 2Um p� 6,37 p�
ć� �� ć� �� ć�k �� ć�k ��
=� sin =� sin
�� �� �� ��
ę�sin �� k �� +� sin �� k ��ś� =�
kp� 4 4 kp� 4 k 4
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
6) Obliczamy wartości amplitud i faz początkowych N-harmonicznych
Ak
2
Y�k =� arcsin
Ak
k Fm k =� Ak
Fm k
1. 4,502 4,502 90o
2. 3,183 3,183 90o
3. 1,501 1,501 90o
4. 0 0 -
5. -0,9 0,9 -90o
6. -1,061 1,061 -90o
7. -0,643 0,643 -90o
8. 0 0 -
9. 0,5 0,5 90o
- 20 -
7) Przedstawiamy widmo amplitudowe i fazowe sygnału
F
mk
5
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f [kHz]
Y�
k
o
90
5 6 7
1 2 3 4 8 9
f [kHz]
o
-90
- 21 -
PRZYKA
AD 2: Dany jest sygnał f(t) będący impulsem prostokątnym
(tzw. funkcja bramkowa) przedstawiony na rysunku.
Wyznaczyć widmo gęstości amplitud i fazy sygnału.
f(t)
A
t
t� t�
2 2
t�
1) Opisujemy sygnał f(t) analitycznie
t�
��
0 dla t <� -�
��
2
��
t� t�
��
f (�t)� =� A dla -� <� t <�
��
2 2
��
t�
��
0 dla t >�
��
2
��
2) Wyznaczamy funkcję gęstości widmowej ( F- transformatę)
+�Ą�
F(� jw�)� =� f (�t)�e-� jw�tdt
��
-�Ą�
t� t�
t�
+� +�
ć� ��
+�
2 2
�� ��
2
1
F(� jw�)� =� Ae-� jw�tdt =� A e-� jw�tdt =� A��-� e-� jw�t �� =�
�� ��
t�
jw�
t� t� �� -� ��
-� -�
2
Ł� ł�
2 2
t�
t� t� t� t�
+�
ć� �� ć� ��
2
A A A
��e-� jw� jw� �� ��e jw� -� jw� ��
2 2 2 2
=� -� e-� jw�t =� -� -� e =� -� e =�
�� �� �� ��
t�
jw� jw� jw�
-�
Ł� ł� Ł� ł�
2
ja�
e -� e-� ja�
wiemy, że sina� =�
2 j
- 22 -
t� t�
ć� ��
jw� -� jw�
�� ��
2 2
A 2 j e -� e 2A t�
��
�� ��
=� =� sinć�w� =�
�� ��
jw� 2 j w� 2
Ł� ł�
�� ��
�� ��
Ł� ł�
t�
��
t�
sinć�w�
�� ��
2A w�
2
Ł� ł�
2
=�
t�
w�
w�
2
t�
��
Zatem F(� jw�)� =� At� Sać�w�
�� ��
2
Ł� ł�
Czyli funkcja gęstości widmowej F(jw�) funkcji bramkowej jest funkcją
rzeczywistą a zatem FX(w�) = 0.
3) Wyznaczamy widmo gęstości amplitud
w�t�
F(�w�)� =� F(� jw�)� =� At� �� Sać� ��
�� ��
2
Ł� ł�
Uwaga: F(�0)� =� At�
w�t� 2p� n
F(�w�)� =� 0 gdy =� p� n czyli dla w� =�
2 t�
- 23 -
4) Wyznaczamy widmo gęstości fazy
Y� (�w�)� =� arg F(� jw�)�
Ponieważ funkcja gęstości widmowej rozpatrywanego sygnału jest
wielkością rzeczywistą, zatem widmo gęstości fazy jest przedziałami
stałe i przybiera wartości 0 lub ą�p�
Y�(w�)
o
180
-6p� -4p� -2p�
t� t� t�
0
2p� 4�p� 6�p�
w�
t� t� t�
o
-180
- 24 -