2. PODSTAWY TEORII OBWODÓW
ELEKTRYCZNYCH
2.1. PODSTAWOWE WIELKOŚCI ELEKTRYCZNE
NAPI
CIE ELEKTRYCZNE
Różnicę potencjałów dwóch punktów A i B pola elektrycznego
nazywamy napięciem elektrycznym u między tymi punktami,
uAB =� VA -�VB
(2.1)
Ponieważ napięcie elektryczne
uAB =� VA -�VB =� -�(�VB -�VA)� =� -� uBA (2.2)
jest wielkością skalarną opatrzoną znakiem, nazywamy je skalarem
zwrotnym. Jednostką napięcia elektrycznego jest wolt (V).
VA
A
UWAGA: Przyjmuje się, że strzałka na-pięcia
związana z dwoma punktami
środowiska, posiada grot skierowany
> uAB
VA VB
do punktu o wyższym potencjale. Jeśli
punkt, do którego skierowany jest grot
strzałki napięcia posiada potencjał
VB B
niższy to oznacza, że wartość tego
napięcia jest ujemna.
Strzałkowanie napięcia
- 1 -
PR
D ELEKTRYCZNY
Pod pojęciem prąd elektryczny, rozumiemy:
�� zjawisko uporządkowanego ruchu ładunków elektrycznych
przez badany przekrój poprzeczny środowiska występujące pod
wpływem działającego pola elektrycznego;
�� wielkość skalarną stanowiącą skrót terminu natężenie prądu
elektrycznego.
Natężeniem prądu elektrycznego i nazywamy granicę stosunku
ładunku elektrycznego D�q przenoszonego przez cząstki naładowane
w ciągu pewnego czasu D�t poprzez dany przekrój poprzeczny środowiska,
do rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dąży do zera, tzn.
D� q dq
i =� lim =�
(2.3)
t��0 D�t dt
Jednostką prądu elektrycznego jest amper (A), [i] = 1A = 1C/1s.
UWAGA: Prąd elektryczny jest skalarem
zwrotnym  oznacza się go za
pomocą strzałki o grocie
skierowanym do obszaru o
i
niższym potencjale (strzałka
u
prądu wskazuje umowny kierunek
przepływu ładunku dodatniego), a
więc prąd strzałkuje się
środowisko w którym
występuje prąd
odwrotnie niż napięcie.
Strzałkowanie prądu
- 2 -
MOC I ENERGIA ELEKTRYCZNA
Z każdym elementem przewodzącym, oprócz prądu i oraz napięcia u,
związana jest także moc p określona wzorem
p =� u i (2.4)
Ponieważ u = u(t), i = i(t), zatem także p = p(t), co podkreśla się
często mówiąc moc chwilowa. Jednostką mocy jest wat (W).
Przy standardowym strzałkowaniu prądu oraz napięcia moc określona
zależnością (2.4) jest mocą pobieraną przez element z otoczenia.
Jeśli w chwili t0
p(t0) >� 0 p(t0) <� 0
oznacza to, że moc jest faktycznie
pobierana oddawana
przez element z otoczenia przez element do otoczenia
Energia pobrana przez element w przedziale czasu od t1 do t2 jest
całką z mocy pobieranej. Oznaczając ją symbolem W(t1, t2) piszemy:
t2
W(�t1,t2)�=� p(�t)�dt (2.5)
��
t1
Jeśli
W(t1, t2) > 0 W(t1, t2) < 0
oznacza to, że w przedziale czasu < t1, t2> element faktycznie
pobrał oddał
energię z otoczenia energię do otoczenia
- 3 -
2.2. PARAMETRY PIERWOTNE I ELEMENTY IDEALNE
Parametry pierwotne opisują podstawowe zjawiska fizyczne
występujące w układzie elektrycznym
Parametry pierwotne (cechy fizyczne) są mierzalne.
Elementy idealne to takie elementy, w których zachodzi tylko jedno
zjawisko fizyczne. Każdy element idealny charakteryzowany jest
tylko jednym parametrem pierwotnym
REZYSTANCJA R
Jest to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność układu do
(jednokierunkowej) zamiany energii elektrycznej na energię cieplną
(DYSYPACJA - ROZPRASZANIE).
Rezystancję można definiować w oparciu o moc rozpraszaną pR(t):
df
p (�t)�
R
R =�
(2.6)
2
i (�t)�
Jednostką rezystancji jest om (W�).
Często posługujemy się innym parametrem zwanym konduktancją G,
związaną z rezystancją relacją
R G = 1 (2.7)
jednostką konduktancji jest simens (S), [G] = 1S = 1W�-1.
IDEALNY REZYSTOR jest
R
elementem o dwóch zaciskach, w którym
zachodzi jedynie proces dysypacji energii
elektrycznej. Oznacza to, że jest u
R
charakteryzowany tylko rezystancją R.
Między prądem i napięciem (parą wielkości zaciskowych) idealnego
rezystora występuje proporcjonalność wyrażona prawem Ohma
1
uR =� R iR lub iR =� uR =� G uR (2.8)
R
- 4 -
INDUKCYJNOŚĆ L
Jest to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność układu do
wytwarzania pola magnetycznego (gromadzenia energii w polu
magnetycznym - AKUMULACJA).
df
Y�
L =� =� const.
(2.9)
i
Jednostką indukcyjności jest henr (H), [L]=1Wb/1A=1V��1s/1A=1W���1s=1H
L
IDEALNA CEWKA jest dwójnikiem, w
i (t)
L
którym zachodzi jedynie proces akumulacji
energii w polu magnetycznym. Oznacza to, że
u (t)
L
opisuje ją tylko indukcyjność L.
Napięcie na zaciskach cewki opisuje zależność:
dY� d diL(�t)�
uL(�t)� =� =� [�L iL(�t)�]�=� L (2.10)
dt dt dt
POJEMNOŚĆ C
Wielkość określająca zdolność układu do gromadzenia ładunku
elektrycznego pod wpływem przyłożonego napięcia - lub inaczej do
gromadzenia energii w polu elektrycznym (AKUMULACJA).
df
q
C =� =� const.
(2.11)
u
Jednostką pojemności jest farad (F), [C] = 1C/1V = 1A��1s/1V = 1F.
IDEALNY KONDENSATOR jest
C
i (t)
C
dwójnikiem, w którym zachodzi jedynie
proces akumulacji energii w polu
elektrycznym. Oznacza to, że opisuje go tylko u (t)
C
pojemność C.
Prąd kondensatora opisuje zależność:
dq d duC(�t)�
iC(�t)�=� =� [�C uC(�t)�]�=� C (2.12)
dt dt dt
- 5 -
NAPI
CIE y
RÓDA
OWE u0
jest parametrem, występującego w układzie elektrycznym, procesu
przemiany innego rodzaju energii (mechanicznej, chemicznej, świetlnej
itp.) w energię elektryczną, a zatem jest parametrem opisującym własności
generacyjne występujące w układzie. Tę własność niezależną od innych
uwarunkowań układu opisuje zależność
Ł� u(�t)� =� u0(�t)�
(2.13)
i
Jednostką napięcia z
ródłowego jest wolt (V).
IDEALNE y
RÓDA
O NAPI
CIA
element o dwóch końcówkach (zaciskach), w
u (t)
0
i(t)
którym zachodzi wyłącznie generacja energii
uzewnętrzniająca się pod postacią napięcia
z
ródłowego u0 (występującego pomiędzy
u(t)
zaciskami elementu), niezależnego od
obciążenia (prądu w układzie).
PR
D y
RÓDA
OWY iZ
Własności generacyjne układu elektrycznego mogą być również
charakteryzowane parametrem nazywanym natężeniem prądu z
ródłowego
lub krótko - prądem z
ródłowym.
Wartość parametru zwanego prądem z
ródłowym jest niezależna od
stanu pracy układu elektrycznego, co zapiszemy w postaci
Ł� i(�t)� =� iZ (�t)�Z
(2.14)
u
Jednostką prądu z
ródłowego jest amper (A).
IDEALNE y
RÓDA
O PR
DU element o
i (t)
Z
dwóch końcówkach (zaciskach), w którym
i(t)
zachodzi wyłącznie generacja energii
uzewnętrzniająca się pod postacią prądu
u(t)
z
ródłowego iZ niezależnego od obciążenia
(napięcia na zaciskach).
- 6 -
2.3. A

CZENIE ELEMENTÓW IDEALNYCH
SZEREGOWE RÓWNOLEGA
E
...
1 2 n 1 2 n
...
n n n
1 1
R =� G =�
REZYSTORÓW
��R ��G ; R =� ��
k k
Rk
k =�1 k =�1 k =�1
n n
1 1
L =� =�
CEWEK
��L ��
k
L Lk
k =�1 k =�1
n n
1 1
=� C =�
KONDENSATORÓW
�� ��C
k
C Ck
k =�1 k =�1
n
y
RÓDEA
możliwe tylko w jednym
u0 =�
��u
0 k
NAPI
CIA przypadku
k =�1
n
y
RÓDEA
możliwe tylko w jednym
iZ =�
��i
Z k
PR
DU przypadku
k =�1
- 7 -
2.4. ELEMENTY R, L, C W OBWODACH PR
DU
HARMONICZNEGO
�� REZYSTOR
Przy występowaniu prądu harmonicznego
i(�t)�=� Im sin(�w� t +�Y�i)� (2.15)
w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie
u(�t)�=� Ri(�t)�=� R Im sin(�w� t +�Y�i)� =� Um sin(�w� t +�Y�u )� (2.16)
przy czym amplituda przebiegu napięcia
Um =� R Im (2.17)
a faza początkowa
Y�u =�Y�i (2.18)
Czyli przesunięcie fazowe j� między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero:
j� =�Y�u -�Y�i =� 0 (2.19)
i(t),u(t)
Napięcie na
idealnym rezystorze
U
m
jest w fazie z prądem
I
m
w�t
Y�i 0
Y�u
- 8 -
W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Symboliczna wartość chwilowa prądu
jw�t jY�i
i(t) =� I e gdzie I =� Im e (2.20)
m m
napięcia
jw�t jw�t
u(t) =� R i(t) =� R I e =� U e (2.21)
m m
Zatem
U =� R I (2.22)
m m
co oznacza, że
U =� R I I =� GU
(2.23)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci
wykładniczej, otrzymujemy
jY�u jY�i
U e =� R I e (2.24)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (2.24) znajdujemy
U =� R I I =� G U
(2.25)
Y�u =�Y�i
a z przyrównania argumentów (2.26)
U
Pomnożenie wskazu I przez R
powoduje wydłużenie tego wskazu R
razy. Wobec tego wskaz napięcia
I
U =� R I znajduje się na tej samej
prostej co wskaz I Y�u=Y�i
- 9 -
�� CEWKA INDUKCYJNA
Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na
jej zaciskach wyraża zależność (2.10)
di(�t)�
u(�t)�=� L
dt
Przyjmując, że w cewce występuje prąd harmoniczny
i(�t)�=� Im sin(�w� t +�Y�i)� (2.27)
napięcie na cewce wynosi
p�
��
u(�t)�=� w� L Im sinć�w� t +�Y�i +� =� Um sin(�w� t +�Y�u )� (2.28)
�� ��
2
Ł� ł�
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia
Um =� w�L Im (2.29)
p�
natomiast faza początkowa Y�u =�Y�i +� (2.30)
2
Czyli przesunięcie fazowe j� między przebiegami u(t) i i(t) cewki
indukcyjnej wynosi:
p�
j� =�Y�u -�Y�i =� (2.31)
2
u(t),i(t)
Napięcie na zaciskach
idealnej cewki
wyprzedza prąd
o 90o
0
w�t
Y�u Y�i
p�/2
- 10 -
Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu
jw�t jY�i
i(t) =� I e gdzie I =� Im e (2.32)
m m
napięcia
di(�t)�
jw�t jw�t
u(�t)�=� L =� jw�L I e =�U e (2.33)
m m
dt
Zatem
U =� jw�L I (2.34)
m m
co oznacza, że
1
U =� jw� L I I =� U
(2.35)
jw� L
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci
wykładniczej, otrzymujemy
p�
ć�Y� ��
j +�
�� ��
i
jY�u
2
Ł� ł�
U e =� w�L I e (2.36)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (3.36) znajdujemy
1
U =� w� L I =� X I I =� U =� BLU
(2.37)
L
w� L
reaktancja indukcyjna susceptancja indukcyjna
p�
Y�u =�Y�i +�
a z przyrównania argumentów (2.38)
2
U
Pomnożenie wskazu I przez jw�L
j�=p�/2
powoduje wydłużenie wskazu I
i jego obrót o 90o  w przód
p�
j� =�Y�u -�Y�i =�
I
Y�
u
2
Y�
i
- 11 -
�� KONDENSATOR
Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o
pojemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (2.12)
du(�t)�
i(�t)�=� C
dt
Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie
u(�t)�=� Um sin(�w� t +�Y�u )� (2.39)
prąd płynący przez kondensator wynosi
p�
��
i(�t)�=� w�CUm sinć�w� t +�Y�u +� =� Im sin(�w� t +�Y�i)� (2.40)
�� ��
2
Ł� ł�
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu
Im =� w�CUm (2.41)
p�
natomiast faza początkowa Y�i =�Y�u +� (2.42)
2
Zatem przesunięcie fazowe j� między przebiegami u(t) i i(t)
kondensatora wynosi:
p�
j� =�Y�u -�Y�i =� -� (2.43)
2
Prąd płynący przez
u(t),i(t)
idealny kondensator
wyprzedza napięcie
o 90o
0
w�t
Y�i Y�u
p�/2
- 12 -
Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia
jw�t jY�i
u(t) =� U e gdzie U =� Um e (2.44)
m m
prądu
du(�t)�
jw�t jw�t
i(�t)�=� C =� jw�CU e =� I e (2.45)
m m
dt
Zatem
I =� jw�CU (2.46)
m m
co oznacza, że
1
I =� jw�CU U =� I
(2.47)
jw�C
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci
wykładniczej, otrzymujemy
p�
ć�Y� ��
j +�
�� ��
u
jY�i
2
Ł� ł�
I e =� w�C U e (2.48)
Z przyrównania modułów, znajdujemy
1
I =� w�C U =� BCU U =� I =� XC I
(2.49)
w�C
susceptancja pojemnościowa reaktancja pojemnościowa
p�
Y�i =�Y�u +�
a z przyrównania argumentów (2.50)
2
Pomnożenie wskazu I przez
I
j�=-p�/2
1/jw�C powoduje wydłużenie
wskazu I i jego obrót o 90o
 wstecz U
Y�
i
p�
j� =�Y�u -�Y�i =� -� Y�
u
2
- 13 -
2.5. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Prawo Ohma
Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości
skutecznej prądu I w nim płynącego:
U =� Z I
(2.51)
Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo
elektryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.
Podstawiając w (2.51) symboliczne wartości skuteczne w postaci
wykładniczej, otrzymujemy
jY�u
U U e U
j (�Y�u -�Y�i )�
Z =� =� =� e (2.51)
jY�i
I I
I e
U
czyli: Z =� , arg Z =� (�Y�u -�Y�i )�=� j� (2.52)
I
jj�
Z =� Z e Z =� R +� j X
Zatem (2.53)
rezystancja reaktancja
Im
Impedancję Z można
przedstawić geometrycznie
Z
na płaszczyz
nie zmiennej
X
zespolonej za pomocą
trójkąta impedancji.
j�
Re
R
- 14 -
Prawo Ohma można także przedstawić następująco:
Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego
przez dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika
Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:
I =� Y U
(2.54)
Admitancja (przewodność zespolona  jej jednostką jest simens S)
dwójnika równa się odwrotności jego impedancji:
1
Y =� (2.55)
Z
co oznacza, że
1 1
Y =� =� e-� jj� (2.56)
jj�
Z
Z e
1 I
czyli: Y =� =� , argY =� -�j� (2.57)
Z U
Y =� Y e-� jj� Y =� G +� j B
Zatem (2.58)
konduktancja susceptancja
Im
Admitancję Y można
przedstawić geometrycznie
Y
na płaszczyz
nie zmiennej
B
zespolonej za pomocą
trójkąta admitancji.
-j�
Re
G
- 15 -
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
prądów in(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do
jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej
chwili czasu równa zeru:
n
L� l�k ik (t) =� 0
(2.59)
��
t
k =�1
gdzie: l�k = ą�1 ( + jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła;  - jeśli zwrot
jest przeciwny, od węzła)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (2.59a) oraz
symbolicznych wartości skutecznych (2.59) odpowiednich prądów:
n n
l�k I =� 0 (2.59a) l�k I =� 0 (2.59b)
m k k
�� ��
k =�1 k =�1
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
napięć un(t) na wszystkich elementach, tworzących
dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili
czasu równa zeru:
n
L� uk (t) =� 0
(2.60)
k
��
t
k =�1
gdzie: k = ą�1 ( + jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni
kierunkiem obiegu oczka;  - jeśli jest przeciwny)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (2.60a) oraz
symbolicznych wartości skutecznych (2.60b) odpowiednich napięć
n n
kU =� 0 (2.60a) kU =� 0 (2.60b)
m k k
�� ��
k =�1 k =�1
- 16 -
2.6. POA

CZENIA DWÓJNIKÓW
�� Połączenie szeregowe n dwójników
n
U =� U1 +�U +�K�+�U =� Z1 I +� Z I +�K�+� Z I =�
2 n 2 n k
��Z I =� Z I (2.61)
k =�1
n
Z =� (2.62)
k
��Z
k =�1
�� Połączenie równoległe n dwójników
n
I =� I1 +� I +�K�+� I =� Y1U +� Y U +�K�+� Y U =�
2 n 2 n k
��Y U =� Y U (2.63)
k =�1
n n
Y =� =� (2.64)
k
��Y lub 1 ��Z1
Z
k
k =�1 k =�1
- 17 -
2.7. TWIERDZENIE THEVENINA I NORTONA W POSTACI
SYMBOLICZNEJ
TwierdzenieThevenina
(o zastępczym z
ródle/generatorze napięciowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić
obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego
połączenia idealnego z
ródła napięcia o napięciu z
ródłowym
U0 i impedancji wewnętrznej ZW, przy czym:
- napięcie z
ródłowe U0 jest równe napięciu na rozwartych
zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego USJ)
- impedancja wewnętrzna ZW, jest równa impedancji
zastępczej (impedancji wejściowej ZAB) dwójnika
pasywnego (bezz
ródłowego) otrzymanego po
wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika
aktywnego wszystkich autonomicznych z
ródeł energii.
Wyznaczenie: oraz
A
A A
DA
B
DA
A
DP
B B
B
- 18 -
TwierdzenieNortona
(o zastępczym z
ródle/generatorze prądowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić
obwodem równoważnym, złożonym z równoległego
połączenia idealnego z
ródła prądu o prądzie z
ródłowym IZ i
admitancji wewnętrznej YW, przy czym:
- prąd z
ródłowy IZ jest równy prądowi płynącemu przez
zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia ISZ)
- admitancja wewnętrzna YW, jest równa admitancji
zastępczej (admitancji wejściowej YAB) dwójnika
pasywnego (bezz
ródłowego) otrzymanego po
wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika
aktywnego wszystkich autonomicznych z
ródeł energii.
Wyznaczenie: oraz
A
A
A
DA
B
DA
A
DP
B
B
B
- 19 -
2.6. REZONANS ELEKTRYCZNY
Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu
nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi.
Rozpatrując bezz
ródłowy obwód elektryczny, przedstawiony
schematycznie na rys. jako dwójnik.
U
=� Z =� R +� jX
I
Y =� 1/ Z =� G +� jB
Rozpatrywany dwójnik
Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu
elektrycznego, przy którym reaktancja wypadkowa X lub
susceptancja wypadkowa B obwodu jest równa zeru
Warunkiem rezonansu jest
X =� Im(�Z)� =� 0
(2.65)
lub
B =� Im(�Y )� =� 0
(2.66)
Częstotliwość (pulsacja), przy której reaktancja wypadkowa lub
susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru nazywana jest
częstotliwością (pulsacją) rezonansową.
Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość
doprowadzonego sygnału sinusoidalnego jest równa częstotliwości
rezonansowej obwodu.
- 20 -
Ponieważ kąt j� przesunięcia fazowego między napięciem U i prądem
I jest równy
�� argumentowi impedancji Z, przy czym
X
j� =� arg(�Z)� =� arctg (2.67)
R
lub
�� argumentowi admitancji Y wziętemu ze znakiem przeciwnym, przy
czym
B
j� =� -�arg(�Y )� =� -� arctg ; (2.68)
G
stąd
j� = 0 dla X = 0 lub B = 0
Oznacza to, że
zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan pracy obwodu
elektrycznego, przy którym prąd i napięcie na jego zaciskach są ze
sobą w fazie (a argument impedancji lub admitancji obwodu jest
równy zeru)
Impedancja Z obwodu w stanie rezonansu równa się rezystancji
obwodu
Z =� Re(�Z)� =� R , (2.69)
a jego admitancja Y , jest równa konduktancji G
Y =� Re(�Y )� =� G . (2.70)
Rezonans występujący w obwodzie, w którym elementy R, L, C
połączone są szeregowo, nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem
szeregowym.
Rezonans występujący w obwodzie, w którym połączone są
równolegle gałęzie R, L oraz R, C lub gałęzie R, L, C nazywamy
rezonansem prądów lub rezonansem równoległym.
- 21 -
A) REZONANS NAPI
Ć
PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI
Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych
szeregowo - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie zmienne
o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji w� = 2p�f.
R L C
Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności
U =� R I
��
R
��
U =� jX I (2.71)
ż�
L L
��
U =� -� jX I
C C ��
U =� U +� U +�U =� [�R +� j(�X -� X )�]�I =� (�R +� jX )�I =� Z I (2.72)
R L C L C
Impedancja obwodu wynosi
ć� 1 ��
Z =� R +� jX =� R +� j(�X -� X )� =� R +� j��w� L -� ��. (2.73)
L C
�� ��
w�C
Ł� ł�
Warunkiem rezonansu (2.65) jest to, aby X=0 lub XL=XC , czyli
1
w� L =� . (2.74)
w�C
Pulsację rezonansową w�r obwodu szeregowego RLC znajduje się z
powyższego równania, otrzymując
1
w�r =�
, (2.75)
LC
1
stąd częstotliwość rezonansowa fr wynosi fr =� . (2.76)
2p� LC
- 22 -
WA
ASNOŚCI OBWODU W STANIE REZONANSU NAPI
Ć
1. impedancja obwodu jest równa rezystancji
Z =� R
(impedancja osiąga wartość minimalną)
2. napięcie na rezystancji obwodu jest równe
U =� U
R
napięciu przyłożonemu do obwodu
3. suma geometryczna napięć na indukcyjności i
U +�U =� 0
L C
pojemności obwodu jest równa zeru
4. napięcie na indukcyjności jest co do modułu
UL =� UC
równe napięciu na pojemności
5. wobec X=0, prąd w obwodzie osiąga wartość U
I =�
maksymalną
R
6. kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym
j� =� 0
napięciem a prądem jest równy zeru
Ze względu na równość modułów
napięć na elementach reaktancyjnych i
fakt, że mogą być one wielokrotnie
większe od modułu napięcia
przyłożonego - rezonans w
rozpatrywanym obwodzie nazywamy
rezonansem napięć.
Wykres wskazowy
Parametrem, który wskazuje ile razy napięcie na indukcyjności lub
pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu w stanie
rezonansu jest dobroć Q.
U UC w�r L 1
L
Q =� =� =� =� . (2.77)
U U R w�r RC
R R
L
r� 1 L
C
Q =� =� , gdzie r� =� w�r L =� =� (2.78)
R R w�r C C
r� jest reaktancją charakterystyczną obwodu
- 23 -
CHARAKTERYSTYKI CZ
STOTLIWOSCIOWE
określają zależność parametrów wtórnych obwodów (impedancji,
reaktancji itd.) od częstotliwości (lub pulsacji).
�� charakterystyka reaktancji indukcyjnej
X (�w�)� =� w�L
L
obwodu
1
�� charakterystyka reaktancji
X (�w�)� =�
C
pojemnościowej obwodu
w�C
1
�� charakterystyka reaktancji wypadkowej
X(�w�)� =� w� L -�
obwodu
w�C
2
�� charakterystyka impedancji (modułu ć� 1 ��
Z(�w�)� =� R2 +� ��w� L -� ��
�� ��
impedancji) obwodu
w�C
Ł� ł�
1
�� charakterystyka kąta przesunięcia
w� L -�
fazowego (argumentu impedancji) w�C
j�(�w�)� =� arctg
obwodu
R
Z(w�)
R
X (w�) X (w�)
L C
w�
r w�
X(w�)
j�
p�/�2�
0
w�
r w�
-p�/�2�
- 24 -
KRZYWE REZONANSOWE
Wykresy zależności wartości skutecznych napięć i prądów
obwodów rezonansowych od częstotliwości (lub pulsacji) noszą nazwę
krzywych rezonansowych
U
I(�w�)� =�
2
�� krzywa rezonansowa prądu
ć� 1 ��
R2 +� ��w�L -� ��
�� ��
w�C
Ł� ł�
UR(�w�)� =� I(�w�)�R
�� krzywe rezonansowe napięć na
UL(�w�)� =� I(�w�)�w�L
elementach obwodu
1
UC(�w�)�=� I(�w�)�
w�C
I
Q < Q < Q
1 2 3
I
r
Q
1
Q
2
Q
3
w� w�
r
U =U
Lmax Cmax
QU
U (w�) U (w�)
C L
U
U (w�)
R
w�
w� w�
r
Cmax Lmax
w�
- 25 -
B) REZONANS PR
DÓW
PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI
Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych
równolegle - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie
zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji w� = 2p�f.
R L C
Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności
I =� GU
��
R
��
I =� -� jBL U (2.79)
ż�
L
��
I =� jBC U
C ��
I =� I +� I +� I =� [�G +� j(�BC -� BL )�]�U =� (�G +� jB)�U =� Y U (2.80)
R L C
Admitancja obwodu wynosi
ć� 1 ��
Y =� G +� jB =� G +� j(�BC -� BL )� =� G +� j��w�C -� �� . (2.81)
�� ��
w� L
Ł� ł�
Warunkiem rezonansu (2.66) jest to, aby B=0 lub BC=BL , czyli
1
w�C =� . (2.82)
w� L
Pulsację rezonansową w�r obwodu równoległego RLC znajduje się z
powyższego równania, otrzymując
1
w�r =�
, (2.75/2.83)
LC
1
stąd częstotliwość rezonansowa fr wynosi fr =� . (2.76/2.84)
2p� LC
- 26 -
WA
ASNOŚCI OBWODU W STANIE REZONANSU PR
DÓW
1. admitancja obwodu jest równa konduktancji
Y =� G
(admitancja osiąga wartość minimalną)
2. prąd w gałęzi rezystancyjnej jest równy
I =� I
R
prądowi obwodu
3. suma geometryczna prądów w gałęzi
I +� I =� 0
indukcyjności i pojemnościowej obwodu jest
L C
równa zeru
4. prąd w gałęzi indukcyjnej jest co do modułu
IL =� IC
równy prądowi w gałęzi pojemnościowej
5. wobec B=0, prąd w obwodzie osiąga wartość
I =� U G
minimalną
6. kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym
j� =� 0
napięciem a prądem jest równy zeru
Ze względu na równość modułów
prądów w gałęziach reaktancyjnych i
fakt, że mogą być one wielokrotnie
większe od modułu prądu
dopływającego do obwodu -
rezonans w rozpatrywanym
obwodzie nazywamy rezonansem
prądów
Wykres wskazowy
Parametrem, który wskazuje ile prąd w gałęzi z indukcyjnością lub
pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu w stanie
rezonansu jest dobroć Q.
IL IC 1 w�rC
Q =� =� =� =� . (2.85)
IR IR w�r LG G
R R
Q =� =� , (2.86)
r�
L
C
gdzie r� jest reaktancją charakterystyczną obwodu
- 27 -
CHARAKTERYSTYKI CZ
STOTLIWOSCIOWE
1
�� charakterystyka susceptancji indukcyjnej
BL (�w�)� =�
obwodu w� L
�� charakterystyka susceptancji
BC (�w�)� =� w�C
pojemnościowej obwodu
1
�� charakterystyka susceptancji
B(�w�)� =� w�C -�
wypadkowej obwodu
w� L
2
�� charakterystyka admitancji (modułu ć� 1 ��
Y(�w�)� =� G2 +� ��w�C -� ��
�� ��
admitancji) obwodu
w� L
Ł� ł�
�� charakterystyka kąta przesunięcia
1
w�C -�
fazowego (argumentu admitancji
w�L
wziętego ze znakiem przeciwnym)
j�(�w�)� =� -�arctg
G
obwodu
Y(w�)
G
B (w�) B (w�)
C L
w�
r w�
B(w�)
j�
p�/�2�
0
w�
r w�
-p�/�2�
- 28 -
KRZYWE REZONANSOWE
2
�� zależność prądu obwodu od ć� 1 ��
I(�w�)�=� U Y(�w�)� =� U G2 +� ��w�C -� ��
�� ��
pulsacji
w� L
Ł� ł�
U
�� zależność prądu w gałęzi
I (�w�)� =�
L
indukcyjnej od pulsacji
w� L
�� zależność prądu w gałęzi
IC (�w�)� =� w�CU
pojemnościowej od pulsacji
I (w�)
C
I(w�)
QI =QGU
R
I (w�)
L
I =GU
R
w�
r
w�
- 29 -