UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita
Kolokwium 1 - zakres, typowy zestaw zadań
Zadanie 1.
1.1. Iloczyn kartezjański, relacje.
R
Zbadać właściwości następujących relacji w zbiorze A =� {�0,1,2}� : (m,n) �� R �� A�� A jeśli
a) mn =� m , b) m +� n �� A , c) m =� max{�n,1}� , d) m2 +� n2 =� 2 , e) m <� n
1.2. Relacja, częściowy porządek.
Niech B =� {�1,2,3,4}�. Wykazać, że relacja w zbiorze B �� B określona następująco:
(m,n) ~ (k,l) jeśli m Ł� k i n Ł� l , jest relacją porządku? Podać przykład najdłuższego,
uporządkowanego ciągu elementów zbioru B �� B .
1.3. Relacja równoważności, klasy równoważności.
Wykazać, że relacja w R �� R taka, że (�x1, y1)� ~ (�x2, y2)� jeśli x1 +� y2 =� x2 +� y1 jest relacją
równoważności. Opisać klasy równoważności.
1.4. Relacja, wykres funkcji.
Czy relacja R �� N �� Z , R =�{�(x, y) : x2 =� y2}� może być wykresem funkcji f : N �� Z ?
1.5. Funkcja, injekcja, surjekcja, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru.
Czy funkcja f : Z+� �� Z+� �� Z , f (m,n) =� m +� n +�1 jest: a) injekcją? b) surjekcją?
-�1 -�1
Znalez
ć f (A��{1}) oraz f ({0}) i f ({3}).
Zadanie 2.
2.1. Współrzędne wektora w bazie.
Czy układ trzech wektorów z przestrzeni
jest liniowo zależny? Wybrać spośród tych wektorów takie, które utworzą bazę.
Wyznaczyć współrzędne wektora w tej bazie. W trakcie rozwiązywania zadania
wektor pojawił się w trzech różnych postaciach. Podać te postaci.
2.2. Baza w przestrzeni liniowej
Czy wielomiany: , ,
tworzą bazę w przestrzeni R2[��] ? Wyznaczyć współrzędne wektora w tej
bazie.
2.3. Podprzestrzeń liniowa.
Wykazać, że następujące zbiory wektorów w przestrzeni liniowej tworzą podprzestrzenie
liniowe w przestrzeni . Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:
a) pierwsza i ostatnia współrzędne są sobie równe,
b) parzyste współrzędne są sobie równe,
c) nieparzyste współrzędne są sobie równe.
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita
Zadanie 3.
3.1. Przekształcenie liniowe, macierz przekształcenia
Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?
2
a) f : R2 �� R , f (�(x1, x2 ))� =� 2x1 -� 3x2 b) f : R2 �� R , f (�(x1, x2 ))� =� 3x1 +� 2x2
c) f : R �� R2 , f (x) =� (x2,2x) d) f : R3 �� R2 , f (x) =� (-�3x, 2x) .
W przypadku przekształcenia liniowego wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazach
standardowych.
3.2. Przekształcenie liniowe, macierz przekształcenia
Macierz przekształcenia liniowego f : R2 �� R2[��] w bazach:
e1 =� (1,0) , e2 =� (0,1) oraz e'1 (x) =� x2 , e'2 (x) =� x , e'3 (x) =�1 , ma postać
Znalez
ć wielomian będący obrazem wektora .
Zadanie 4.
4.1. Liczba zespolona. Postać algebraiczna i trygonometryczna. Płaszczyzna zespolona.
Znalez
ć część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej z postaci:
Obliczyć moduł liczby zespolonej z .
Czy liczba z należy do zbioru ?
4.2. Pierwiastki z liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona.
Obliczyć i narysować na płaszczyz
nie zespolonej pierwiastki:
4
a) 2 -� i 12 b) (5 -� 4i)4
4.3. Pierwiastki z liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona. Odległość punktów.
Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z1 =� 4 -� i . Wyznaczyć pozostałe wierzchołki
kwadratu oraz długość jego boku, jeśli środkiem tego kwadratu jest
z0 =�3+�i
a) b) z0 =� 0
2