str.
1
POLITECHNIKA OPOLSKA
MICHAA
FERENC
PODSTAWY
AUTOMATYKI
OPOLE 2006
 str.
2
SPIS TREŚCI
Strona
WYKAZ WAśNIEJSZYCH OZNACZEC
4
WST
P 5
1. PODSTAWOWE POJ
CIA REGULACJI 6
1.1. Układ regulacji .........................................................................& & .. 6
1.2. Charakterystyki statyczne elementów automatyki ....................& & ... 8
1.3. Charakterystyki czasowe .........................................................& & & 9
1.4. Podstawowe równania  analogie systemów .........................& & & 9
1.4.1. Elementy rozpraszające energię ...............................& & & .. 10
1.4.2. Elementy magazynujące energię potencjalną ...........& & & . 12
1.4.3. Elementy magazynujące energię kinetyczną ...........& & & .. 14
2. DYNAMIKA UKA
ADÓW LINIOWYCH 16
2.1. Zwyczajne równania ró\
niczkowe ..........................................& & & 16
2.2. Transmitancja operatorowa ..................................................... 16
2.3. A
ączenie elementów automatyki  transmitancja wypadkowa ........... 18
2.3.1. Połączenie szeregowe elementów ...................................& & 18
2.3.2. Połączenie równoległe elementów ...................................& .. 18
2.3.3. Układ z ujemnym sprzę\
eniem zwrotnym .......................& .. 19
2.3.4. Układ z dodatnim sprzę\
eniem zwrotnym .......................& .. 20
2.3.5. Przestawienie węzłów zaczepowych i sumacyjnych względem bloku 20
2.3.6. Zadania  schematy blokowe & & & & & & & & & & .& & 22
2.4. Charakterystyki czasowe & & ....................................................& & 26
2.4.1. Zale\
ności między charakterystykami czasowymi .........& & 26
2.5. Charakterystyki częstotliwościowe & & ..................................& & ... 28
2.5.1. Definicja charakterystyki częstotliwościowej .................& & 28
2.5.2. Wyprowadzenie równań wią\
ących transmitancję
operatorową z charakterystyką częstotliwościową j ............... 31
.3. ELEMENTY AUTOMATYKI 34
3.1. Podział układu na człony elementarne .........................& & & & & 34
3.2. Element całkujący .........................................................& & & & & 36
3.3. Element inercyjny pierwszego rzędu .............................& & & & .. 40
3.4. Element bezinercyjny (proporcjonalny) .........................& & & & .. 44
5.5. Element inercyjny drugiego rzędu ................................& & & & & 45
3.6. Element oscylacyjny .......................................................& & & & . 52
3.7. Elementy inercyjne wy\
szego rzędu ..............................& & & & .. 58
3.8. Element ró\
niczkujący ...................................................& & & & .. 60
5.9. Element opóz
niający .......................................................& & & & . 62
 str.
3
Strona
4 REGULATORY 64
4.1. Rodzaje regulatorów ..................................................& & & & & & . 64
4.2. Charakterystyki regulatorów o działaniu ciągłym ..........& & & & & 65
4.2.1 Regulator proporcjonalny P & & & & & & & & ..& & & & . 65
4.2.2 Regulator całkujący I & & & & & & & & & & ..& & & & & 66
4.2.3 Regulator proporcjonalno całkujący PI & & & & & & & & .. 66
4.2.4 Regulator proporcjonalno ró\
niczkujący PD & ..& & & & & 67
4.2.5 Regulator proporcjonalno całkująco ró\
niczkujący PID & & 68
4.3. Zasady konstrukcji regulatorów analogowych ..............& & & & & .. 69
4.4. Regulatory specjalne ..................................................& & & & & .& 71
4.4.1. Regulatory bezpośredniego działania & & & & & & ..& & .. 71
4.4.2. Regulatory dwupoło\
eniowe & & & & & & .& & & & & & 71
4.4.3. Regulatory krokowe & & & & & & & & & ..& & & & & & . 73
4.5. Regulatory cyfrowe ....................................................& & & & & & 75
5 STABILNOŚĆ UKA
ADU REGULACJI 77
5.1. Określenie stabilności układu regulacji .........................& & & & & . 77
5.2. Podstawowy warunek stabilności układów liniowych & & & & & & 78
5.3. Kryterium stabilności Hurwitza ..........................................& & & & 80
5.4 Kryterium stabilności Nyquista ...............................& & & & & & & . 82
90
6 OBLICZANIE PRZEBIEGU REGULACJI
6.1. Ró\
niczkowe równania stanu & & & & & & & & & & & & & & & . 90
6.2. Metody numerycznego całkowania ró\
niczkowych równań stanu ..... 93
6.2.1. Metoda Eulera (prostokątów) do całkowania równań ró\
niczkowych 94
6.2.2. Metoda Runge go - Kutty do całkowania równań ró\
niczkowych 95
6.2.3. Metoda numeryczna Runge go  Kutty do całkowania
układów równań ró\
niczkowych & & & & & & & & & & & 96
6.3. Przykłady obliczeń numerycznych & & & & & & & & & & & & & .. 97
100
7 DOKA
ADNOŚĆ REGULACJI
7.1. Wskaz
niki jakości regulacji wynikające z charakterystyki czasowej 100
7.1.1. Przebiegi regulacji w układach stabilizacyjnych ............ 100
7.1.2. Obliczanie statycznej odchyłki regulacji obiektów statycznych 102
7.1.3. Przebiegi regulacji w układach nadą\
nych 105
7.2. Wskaz
niki jakości regulacji wynikające z charakterystyki
częstotliwościowej zamkniętego układu regulacji & & & & & 107
7.2.1. Wskaz
niki regulacji ..................................................& & & . 109
7.3. Dobór nastaw parametrów regulatora ........................................& & . 111
8 PRZEKSZTAA
CENIE LAPLACE a 117
9 PRZEKSZTAA
CENIE FOURIERA 129
 str.
4
WYKAZ WAśNIEJSZYCH OZNACZEC

A(�) amplituda transmitancji widmowej
G(s) transmitancja operatorowa
G(i�) transmitancja widmowa
i -1 jednostka urojona
i A natę\
enie prądu elektrycznego
I kg m2 masowy moment bezwładności
m kg masa
&
m kg/s strumień masy
p Pa ciśnienie
P(�) składowa rzeczywista transmitancji widmowej
Q(�) składowa urojona transmitancji widmowej
&
Q kW strumień ciepła
s 1/s operator Laplace a
� s czas
T s stała czasowa
T K temperatura bezwzględna
Ń �C temperatura w stopniach Celsjusza
&
V m3/s objętościowe natę\
enie przepływu
x sygnał wejściowy lub zmienna stanu
y sygnał wyjściowy lub wielkość regulowana
ye odchyłka regulacji
yw wartość zadana wielkości regulowanej
z zakłócenie
� kg/m3 gęstość
� rad kąt obrotu lub przesunięcie fazowe
opóz
nienie czasowe
 str.
5
WST
P
Rozwój przemysłu sprawił, \
e pojawiły się maszyny i urządzenia w których procesy przebie-
gają bardzo szybko i do ich opanowania niezbędne są równie szybko działające regulatory. Ju\
w
osiemnastym wieku James Watt zastosował regulator odśrodkowy do stabilizacji prędkości obro-
towej skonstruowanej przez siebie maszyny parowej (parowego silnika tłokowego). W roku 1784
J. Watt uzyskał patent na regulator odśrodkowy do utrzymywania stałej prędkości obrotowej ma-
szyny parowej. Zasada działania regulatora polega na zastosowaniu ujemnego sprzę\
enia zwrot-
nego. Je\
eli prędkość obrotowa wału maszyny była większa od prędkości zadanej, wówczas regu-
lator zmniejszał dopływ pary do maszyny, w rezultacie zmniejszał się moment napędowy silnika,
a prędkość obrotowa stabilizowała się.
Pierwsze regulatory były konstruowane przez in\
ynierów mechaników w sposób częściowo
intuicyjny w oparciu o wiedzę z zakresu mechaniki. Problemy pojawiły się z regulatorami turbin
parowych. Regulatory z siłownikami hydraulicznymi (ze wspomaganiem) mimo tego \
e były po-
prawnie skonstruowane z zachowaniem ujemnego sprzę\
enia zwrotnego, rozbiegały się (były nie-
stabilne). Te niepowodzenia dały impuls do badań stabilności układów regulacji. Matematycy
wykryli zasady stabilności układów regulacji. Przy okazji opracowali matematyczne metody obli-
czeń stanów nieustalonych w układach regulacji oraz analizy stabilności tych układów.
Główne zadania teorii regulacji to: opis dynamiki obiektów regulacji i regulatorów (równania
ró\
niczkowe, transmitancja operatorowa, charakterystyki czasowe, charakterystyki częstotliwo-
ściowe), analiza stabilności układów regulacji, obliczanie przebiegu procesu regulacji. Przed erą
komputerową matematyczna teoria regulacji układów liniowych opierała się na przekształceniu
Laplace a i transmitancji operatorowej.
Obecnie po wprowadzeniu komputerów oraz opracowaniu specjalistycznych progra-
mów główne zadania teorii regulacji są realizowane przy u\
yciu komputerów. Dynamikę
układu regulacji, obliczanie przebiegu procesów przejściowych, stabilność, analizuje się
w oparciu o równania ró\
niczkowe. Komputery umo\
liwiają wykonanie bardzo zło\
o-
nych obliczeń. Równania ró\
niczkowe mogą być liniowe lub nieliniowe. Ilość równań
mo\
e być bardzo du\
a. Czas obliczeń  krótki, dzięki temu mo\
na przeanalizować wiele
wariantów układu regulacji.
Równie\
technika regulacji znacznie się zmieniła. Oprócz tradycyjnych układów ana-
logowych skonstruowane specjalne komputery spełniające funkcje regulatora, nazywane
sterownikami, słu\
ące do regulacji procesów. Sterownik jest to komputer wyposa\
ony w
specjalne oprogramowanie słu\
ące do realizacji wybranych algorytmów regulacji i stero-
wania.
Chocia\
wiele procesów wolnozmiennych mo\
na regulować ręcznie, jednak automatycz-
na regulacja zapewnia bezpieczeństwo, umo\
liwia lepszą stabilizację parametrów proce-
su, zmniejsza zatrudnienie i koszty eksploatacji. Automatyczna regulacja w połączeniu z
układami sterowania umo\
liwia prowadzenie ruchu zło\
onych urządzeń takich jak blok
energetyczny zło\
ony z kotła parowego, turbiny i generatora elektrycznego zawierających
wiele wzajemnie powiązanych obiektów wraz z ich lokalnymi układami regulacji.
 str.
6
1 PODSTAWOWE POJ
CIA REGULACJI
1.1 Układ regulacji
Układ regulacji powstaje przez połączenie obiektu regulacji z regulatorem w ten sposób, \
e
powstaje zamknięty obwód przepływu sygnałów.
Na rys. 1.1 przedstawiono układ regulacji poziomu wody w zbiorniku. Wielkością regulowa-
ną jest poziom  H wody w zbiorniku. Wielkością zakłócającą jest stopień otwarcia  z zaworu
wylotowego.
Poziom wody jest mierzony przy
pomocy pływaka, który poprzez dz
wi-
Nastawianie
a
b
gnię dwustronną działa na zawór regu-
zadanego
lacyjny dopływu wody. Punkt podpar-
poziomu
cia dz
wigni został umieszczony między
.
V
1
pływakiem i zaworem. Dzięki temu
uzyskano ujemne sprzę\
enie zwrotne
działające stabilizująco; zwiększenie
poziomu wody powoduje przymykanie
H
z
zaworu i zmniejszanie dopływu wody
.
V
2
do zbiornika. Gdyby zastosowano
dz
wignię jednostronną, z punktem pod-
parcia na zewnątrz zaworu regulacyj-
nego, wówczas takie połączenie da do-
Rys. 1.1 Układ regulacji poziomu wody w zbiorniku
datnie sprzę\
enie zwrotne, podniesienie
za pomocą regulatora pływakowego
pływaka spowoduje otwieranie zaworu
i zwiększanie dopływu wody.
Rys. 1.1 przedstawia fizyczną realizację obiektu regulacji i regulatora, dlatego jest nazywany
schematem fizycznym lub konstrukcyjnym. Zło\
one układy regulacji przedstawia się w wy\
szym
stopniu uproszczenia w postaci schematów blokowych.
Na schemacie blokowym układu regulacji (rys. 1.2) poszczególne części układu regulacji są
przedstawiane przy pomocy prosto-
kątów zwanych blokami połączo-
nych liniami przedstawiającymi dro-
z
Sumator
gi przepływu sygnałów.
yw ye y
x Obiekt
Regulator
W największym uproszczeniu
regulacji
_
schemat blokowy układu regulacji
zawiera dwa bloki: obiekt regulacji i
Sprzę\
enie zwrotne
regulator. Zamknięcie obwodu
regulacji odbywa się przez pętlę
sprzę\
enia zwrotnego łączącą obiekt
regulacji z regulatorem.
Rys. 1.2. Schemat blokowy układu regulacji
 str.
7
Obiekt regulacji jest urządzeniem podlegającym regulacji, w którym jest wyró\
niony pewien
sygnał wyjściowy  y będący wielkością regulowaną oraz sygnały wejściowe: sterujący  x i za-
kłócający  z .
Regulator jest aparatem słu\
ącym do regulacji i składa się z trzech części: zadajnika słu\
ą-
cego do nastawiania wartości zadanej  yw  , sumatora, w którym jest obliczana odchyłka regu-
lacji  ye  oraz regulatora właściwego (zwanego wzmacniaczem korekcyjnym) w którym wy-
twarzany jest sygnał sterujący  x .
Regulator jest zasilany energią, która mo\
e być doprowadzona z oddzielnego zasilacza (w
regulatorach pośredniego działania), lub mo\
e być pobierana z obiektu równocześnie z pomiarem
wielkości regulowanej (w regulatorach bezpośredniego działania). Pływakowy regulator poziomu
jest regulatorem bezpośredniego działania.
Sumator jest elementem regulatora wytwarzającym odchyłkę regulacji  ye  , przewa\
nie za-
chodzi odejmowanie dwóch sygnałów: sygnału wartości zadanej  yw  i wielkości regulowanej
 y . Na schematach blokowych sumator jest oznaczany przy pomocy kółka z zaznaczonymi sy-
gnałami wejściowymi i jednym sygnałem wyjściowym.
ye = yw - y (1.1)
Sprzę\
enie zwrotne układu regulacji powinno być ujemne. Znak sprzę\
enia zwrotnego prze-
jawia się w odpowiednim kierunku działania regulatora przeciwnym do kierunku działania zakłó-
ceń. Je\
eli z powodu działania zakłóceń wielkość regulowana jest większa od wartości zadanej, to
regulator powinien zmieniać sygnał sterujący w takim kierunku, aby zmniejszać wielkość regulo-
waną i ustabilizować ją na zadanej wartości. Sprzę\
enie zwrotne ujemne działa stabilizująco na
układ regulacji. Sprzę\
enie zwrotne dodatnie powoduje niestabilność na układ regulacji.
Sygnał. Wielkości występujące w obiektach materialnych mo\
na
podzielić na sygnały i parametry. Sygnałami są takie wielkości
x(t)
jak siła, ciśnienie, temperatura, napięcie elektryczne natę\
enie
prądu, strumień pary, które przekazują oddziaływanie z jednego
obiektu na drugi. Sygnały są wielkościami zmieniającymi się w
czasie. Przenoszą energię i informację z jednego obiektu na dru-
gi. Sygnał rzeczywisty przenosi informację i energię. Informacja
jest zawarta w czasowym przebiegu wielkości fizycznej. Prąd
t
elektryczny w słuchawce telefonicznej wprawiając membranę w
drgania wytwarza dz
więk, który odbierany jest jako informacja.
Informacja jest zawarta w czasowym przebiegu natę\
enia prądu
Rys. 1.3. Sygnał
elektrycznego. Parametrami są takie wielkości jak oporność i
pojemność elektryczna, masa, ciepło właściwe.
Element automatyki jest to wydzielona część pewnego urządzenia w której da się wyró\
nić dwa
sygnały związane przyczynowo: sygnał wejściowy i sygnał wyjściowy. Sygnał wejściowy jest
przyczyną sygnału wyjściowego.
Element automatyki jest przedstawiany za pomocą prosto-
x y kąta, do którego wchodzi sygnał wejściowy  x i wycho-
dzi sygnał wyjściowy  y , jak to przedstawiono na rys.
1.4. Prostokąt przedstawiający element automatyki nazy-
wany jest blokiem.
Rys. 1.4. Element automatyki
 str.
8
1.2 Charakterystyki statyczne elementów automatyki
Charakterystyka statyczna jest to wykres przedstawiający zale\
ność sygnału wyjściowego  y
od sygnału wejściowego  x dla stanu ustalonego. Przykłady charakterystyk statycznych przed-
stawiono na rys. 1.5 i rys. 1.6.
Charakterystyka statyczna jest liniowa, je\
eli jej wykres jest linią prostą, a równanie charakte-
rystyki opisuje funkcja liniowa y = a + k �" x .
y
y
x
x
Rys. 1.5. Charakterystyka Rys. 1.6. Charakterystyka
statyczna liniowa statyczna nieliniowa
Wszystkie inne charakterystyki statyczne, które nie są liniami prostymi są charakterystykami
nieliniowymi (rys. 1.6).
Stopień nieliniowości mo\
e być ró\
ny. Niektóre obiekty mają charakterystykę statyczną
prawie liniową. W pewnym zakresie zmienności sygnału wejściowego sygnał wyjściowy mo\
e
y y
a) b)
x
x
Rys. 1.7 Charakterystyki statyczne nieliniowe:
a)  ograniczenie wartości maksymalnej i minimalnej,
b)  charakterystyka przekaz
nika dwupoło\
eniowego
być opisany z wystarczającą dokladnością funkcją liniową. Inne obiekty mają charakterystyki
typowo nieliniowe, przedstawione na rys. 1.7
Nieliniowości charakterystyk statycznych obiektów regulacji są następujące: ograniczenie
wartości minimalnej i maksymalnej, charakterystyka opisana funkcją nieliniową.
Elementy regulacyjne na przykład przekaz
niki mogą mieć charakterystykę dwupoło\
eniową
lub trójpoło\
eniową. Elementy pomiarowe i nastawcze mają niejednoznaczność (histerezę).
Są takie obiekty, które nie mają charakterystyki statycznej. Są to obiekty całkujące opisane w
rozdziale 3.
 str.
9
1.3 Charakterystyki czasowe
Charakterystyka czasowa jest to wykres przedstawiający przebieg sygnału wyjściowego jako
funkcję czasu, otrzymany po wprowadzeniu określonej zmiany sygnału wejściowego. Jako sygnał
wymuszający na ogół przyjmuje się skok jednostkowy x(t) = 1(t), a charakterystyka otrzymana
przy tym wymuszeniu nazywana jest odpowiedzią skokową jednostkową (rys.1.8).
x(s) y(s)
G(s)
x(t)
y(t)
" x
t t
Rys. 1.8 Charakterystyka czasowa dla wymuszenia skokowego
Charakterystykę czasową mo\
na zmierzyć. Na wejście badanego elementu wprowadza się sy-
gnał skokowy jednostkowy i rejestruje się przebieg sygnału wyjściowego. Przed rozpoczęciem
pomiaru badany obiekt powinien być w stanie ustalonym. Wielkość wymuszenia skokowego po-
winna być mała ze względu na pozostawanie obiektu w strefie liniowości, "x = 5�10 % znamio-
nowej wartości sygnału wejściowego.
1.4 Podstawowe równania obiektów  analogie systemów
Przebieg procesów w stanach nieustalonych opisujemy za pomocą równań ró\
niczkowych.
Do napisania równań ró\
niczkowych opisujących dynamikę obiektów korzystamy z podstawo-
wych praw fizyki. Ruch ciał mechanicznych opisujemy równaniami wynikającymi z bilansu sił
działających. Procesy gromadzenia substancji w zbiornikach opisujemy równaniami wynikający-
mi z bilansu masy lub objętości. Do opisu dynamiki procesów cieplnych stosujemy równania bi-
lansu energii. Dynamikę układów elektrycznych opisujemy równaniami wynikającymi z bilansu
ładunków (potencjałów) elektrycznych i równań przepływu prądu elektrycznego.
W celu uproszczenia równań pomija się przestrzenny rozmiar ciał i przyjmuje się model
obiektu o parametrach skupionych. Zakłada się, \
e takie parametry jak masa, ładunek elektryczny,
pojemność cieplna i.t.p. są skupione w jednym punkcie. Równocześnie wszelkie nieliniowe za-
le\
ności między sygnałami zastępuje się funkcjami zlinearyzowanymi. Zło\
one obiekty dzielimy
na obiekty mniejsze, które w przybli\
eniu opisujemy jako obiekty o parametrach skupionych.
Ze względu na formę równań te podstawowe elementy podzielimy na trzy grupy:
- elementy rozpraszające energię ,
- elementy magazynujące energię potencjalną,
- elementy magazynujące energię kinetyczną.
Zachodzi podobieństwo (analogia) równań ró\
niczkowych opisujących elementy przynale\
ne
 str.
10
do ró\
nych systemów (elektrycznych, hydraulicznych, pneumatycznych, mechanicznych, ciepl-
nych). Podobne równania mają podobne rozwiązania.
1.4.1 ELEMENTY ROZPRASZAJ
CE ENERGI

Elementy rozpraszające zamieniają energię czynnika roboczego na ciepło, które następnie
jest rozpraszane do otoczenia
Opór elektryczny.
Przepływ prądu przez opór elektryczny (rezystancję) opisuje prawo Ohma
u(t)
i(t) = (1.2)
u
R
i
i  natę\
enie przepływu prądu,
u  napięcie przyło\
one do opornika,
R
R  opór elektryczny (rezystancja).
Rys. 1.9 Opór elektryczny
Opór przepływu cieczy lub gazu
Przepływ mo\
e być laminarny lub burzliwy. Charakter przepływu zale\
y od liczby Reynoldsa
Re. Przepływ laminarny ma miejsce wówczas, gdy liczba Reynoldsa Re < 2300. Warunek ten jest
spełniony w kapilarach stosowanych w regulatorach hydraulicznych i pneumatycznych.
Przepływ laminarny
W przepływie laminarnym prędkość przepływu oraz
p1 p2
&
objętościowy strumień cieczy V jest proporcjonalny do
&
V
ró\
nicy ciśnień (p1 - p2) na elemencie dławiącym.
p1 - p
2
&
V = (1.3)
RV
&
R
&
V
Rys. 1.10 Opór prze- R  opór przepływu
&
V
pływu lami-
Przepływ burzliwy
W przepływie burzliwym (rys. 1.11) prędkość przepływu jest nieliniową funkcją ró\
nicy ciśnień
&
&
V = k �" p1 - p2 . Je\
eli zmiany przepływu "V są spowodowane małymi zmianami ró\
nicy ci-
śnień "p na zaworze, wówczas równanie przepływu mo\
na zlinearyzować w otoczeniu punktu
pracy. Rzeczywistą charakterystykę przepływu zastępujemy odcinkiem linii stycznej do charakte-
rystyki rzeczywistej w punkcie pracy. Przyrost natę\
enia przepływu jest proporcjonalny do przy-
rostu ró\
nicy ciśnień.
 str.
11
("p)
&
"V = (1.4)
R
&
V
(p1 - p2)
x
p2
p1
&
V "p
RV
&
&
V
&
"V
Rys. 1.11 Opór przepływu burzliwego i linearyzacja jego nie-
liniowej charakterystyki przepływu
Opór cieplny przegrody płaskiej
&
Strumień ciepła Q przepływający przez przegrodę płaską jest proporcjonalny do ró\
nicy tem-
peratur (Ń1 - Ń2 ) na przegrodzie.
Ń1
ą1 Ń
Ń1 - Ń2
&
&
Q = (1.5)
Q
RQ
&
Opór cieplny przegrody jest równy

Ń2
ą2 1 1 � 1
R = ( + + ) (1.6)
&
Q
A ą1  ą2
�
  współczynnik przewodzenia ciepła
ą1, ą2  współczynniki wnikania ciepła
Rys. 1.12 Opór cieplny przegrody A  powierzchnia wymiany ciepła
płaskiej
�  grubość przegrody
płaskiej
O p ó r t a r c i a w u k ł a d a c h m e c h a n i c z n y c h
Je\
eli ciało sztywne porusza się po linii prostej, wówczas siła tarcia płynnego Ft jest propor-
cjonalna do prędkości ruchu tego ciała v.
b)
a) �
I
Ftarcia
v
m
M
tarcia
R R
v �
Rys. 1.13 Opór ruchu: a) posuwistego, b) obrotowego
 str.
12
Ft (t) = R �" v(t) (1.7)
v
R  opór tarcia płynnego przy ruchu ciała po linii prostej.
v
W ruchu obrotowym moment tarcia Mt jest proporcjonalny do prędkości kątowej �.
Mt (t) = R� �" �(t) (1.8)
R� - opór tarcia przy ruchu obrotowym
1.4.2 ELEMENTY MAGAZYNUJ
CE ENERGI
POTENCJALN

Akumulacja energii potencjalnej w polu elektrycznym.
Pojemność elektryczna.
u(t)
Kondensator o pojemność elektrycznej  C .
i(t)
Kondensator gromadzi energię elektryczną potencjalną. A
adowa-
nie kondensatora o pojemności  C opisuje równanie wynikające
z bilansu ładunku Napięcie elektryczne u(t) jest proporcjonalne
do ładunku zgromadzonego na kondensatorze o pojemności C.
C
t
1
Rys. 1.14 Pojemność
u(t) = (1.9)
+"i(t)dt + u(0)
C
elektryczna
0
Pojemność pneumatyczna
Napełnianie gazem zbiornika o objętości V opisuje równanie wynikające z bilansu masy z
uwzględnieniem równania przemiany termodynamicznej.
d(mg ) d(V �"�g )
&
m = = (1.10)
dt dt
Szybkość zmiany masy gazu w zbiorniku jest równa strumieniowi dopływającego gazu. Gę-
stość gazu �g zale\
y od rodzaju przemiany termodynamicznej zachodzącej podczas napełniania
zbiornika. Dla gazu doskonałego i przemiany izotermicznej ( Ńg = idem )trzymamy:
p
�g = (1.11)
RgŃg
&
m
V,
Wstawiając (1.11) do (1.10) otrzymamy:
p, Ńg
d(V �"�g )
dp
&
m = = Cp (1.12)
dt dt
Rys. 1.15 Pojemność
pneumatyczna
Cp  pojemność pneumatyczna jest równa
V
Cp = (1.13)
RgŃg
 str.
13
Pojemność hydrauliczna
Napełnianie zbiornika opisuje równanie wynikające z bilansu objętości cieczy.
dVz
&
V = (1.14)
dt
&
V Szybkość zmiany objętości cieczy w zbiorniku jest równa
dH
strumieniowi objętości dopływającej cieczy.
CH
H
Dla zbiornika o stałym przekroju poprzecznym objętości cieczy w
zbiorniku jest równa:
Vz = CH �" H
Rys. 1.16. Pojemność
Równanie bilansu (1.14) przyjmie postać:
hydrauliczna
dH
&
V = CH (1.15)
dt
&
CH  pojemność hydrauliczna zbiornika równa powierzchni zwierciadła cieczy, V  objęto-
ściowe natę\
enie dopływu cieczy, H  poziom cieczy w zbiorniku.
Pojemność cieplna
Akumulację ciepła w ciele stałym o masie m opisuje równanie:
m d(m �" c �"Ń) dŃ
Ń & &
Q Q(t) = = CQ (1.16)
c
dt dt
CQ = m �" c  pojemność cieplna
c  ciepło właściwe
Rys. 1.17. Pojemność
cieplna
m.  masa ciała.
Pojemność mechaniczna sprę\
yn
Zmiana długości sprę\
yny sciskanej lub rozciąganej jest proporcjonalna do przyło\
onej siły F.
a)
b)
�
x
k
x
F
M
Rys. 1.18 Sprę\
yny: a)  ściskana, b) - skręcana.
 str.
14
F = k �" x (1.17)
x
x  przesunięcie, k  współczynnik sprę\
ystości sprę\
yny
x
Kąt skręcenia sprę\
yny skręcanej jest proporcjonalny do momentu skręcającego M przyło\
onego
do sprę\
yny.
M = k� �" � (1.18)
�  kąt skręcenia sprę\
yny, k�  współczynnik sprę\
ystości sprę\
yny spiralnej
1.4.3 ELEMENTY MAGAZYNUJ
CE ENERGI
KINETYCZN

Cewka o indukcyjności L.
Włączenie napięcia  u na cewkę o indukcyjności L powoduje przepływ prądu o natę\
eniu
 i . szybkość zmiany natę\
enia prądu jest proporcjonalna do przyło\
onego napięcia.
di(t) 1
= �" u(t) (1.19)
u
dt L
i
Równanie to często jest zapisywane w postaci
di(t)
L
u(t) = L (1.20)
dt
Rys. 1.19 Indukcyjność
L  Indukcyjność cewki
Spadek napięcia na cewce jest proporcjonalny do szybkości
zmiany natę\
enia prądu.
Ruch prostoliniowy ciała o masie  m .
Przyło\
enie siły  F do
ciała o masie  m powo-
�
b)
a)
duje przyspieszenie jego
I
ruchu. Przyspieszenie  a
v
F
M
m
jest proporcjonalne do siły
�  F wymuszającej ruch.
dv d2x(t) 1
a = = = �" F
Rys. 1.20 Akumulacja energii kinetycznej: a) - ruch po linii prostej, dt m
dt2
b) - ruch obrotowy.
(1.21)
Równanie to często jest zapisywane w postaci
dv(t)
F(t) = m (1.22)
dt
 str.
15
dv d2x(t)
a = = (1.23)
dt
dt2
Ruch obrotowy ciała o masowym momencie bezwładności  I .
Przyspieszenie kątowe ciała w ruchu obrotowym jest proporcjonalne do przyło\
onego mo-
mentu obrotowego (M.) wymuszającego ruch.
d� d2� 1
= = �" M (1.24)
dt I
dt2
Równanie to często jest zapisywane w postaci
d� d2�
M = I �" = I �" (2.25)
dt
dt2
�  prędkość kątowa, I  masowy moment bezwładności, Ć  kąt obrotu.
Równanie (1.25) interpretujemy następująco. Moment sił bezwładności Mb jest proporcjo-
nalny do przyśpieszenia kątowego.