Kolokwium IA
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1A. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyz
nie
{z " C : 0 Re(iz) < 1, 0 arg(z) Ą/2}.
Ż
" (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz iz?
" (2 pkt.) Znajdz
wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2z3 = (1 + i)2. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2A. (4 pkt.) Zastosuj metodę eliminacji Gaussa do przekształcenie układu Ax = b
do układu z macierzą trójkątną górną dla
�ł łł
3 1 3 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 2 3 1
�ł śł
A = , x = [x1, x2, x3, x4]T , b = [5, 3, -1, -1]T ,
�ł śł
�ł -3 3 2
śł
0
�ł �ł
0 1 6 -2
oraz oblicz x3 i x4.
3A. (5 pkt.) Niech
�ł łł
1 -1
�ł �ł
A = .
3 -1
Oblicz A-1 oraz macierz X taką, że (X +2I)-1A2 = I. Dlaczego taka macierz
X istnieje?
4A. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
�ł łł
3 1 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = 0 2 3 .
�ł �ł
0 -3 3
5A. (6 pkt.) Pokaż, że



x 0 0 0 a0


-1 x 0 0 a1



-1 x 0 a2 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4.

0



0 0 -1 x a3



0 0 0 -1 a4
Skorzystaj z tej zależności do pokazania, że jeśli
a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = 0,

to wartość wyznacznika jest równa zero dla każdego nierzeczywistego x bę-
dącego pierwiastkiem 5-tego stopnia z jedynki. Czy można to uzasadnić bez
obliczania tych pierwiastków? Podaj liczbę zespoloną c, dla której wielomian
x5 - 1 dzieli się bez reszty przez wielomian x - c.
Kolokwium IB
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1B. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyz
nie
{z " C : Im(z + i) = 3, 0 arg(iz) Ą/2}.
Ż
" (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz -z?
" (2 pkt.)Znajdz
wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
" "
2(1 + 3 i)z3 = ( 3 + i)2. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2B. (4 pkt.) Zastosuj eliminację Gaussa do przekształcenia następującego układu
x1 - x2 + 2x3 - x4 = -1, 2x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = 1,
2x2 + x3 + x4 = 3, x3 - 3x4 = -3.
do układu z macierzą trójkątną górną oraz oblicz x3 i x4.
3B. (5 pkt.) Niech
�ł łł �ł łł
1 -1 2 0
�ł �ł �ł �ł
A = , B = .
3 -1 4 1
Oblicz A-1, (A + B)2 oraz macierz X taką, że (X-1A)-1 = B. Dlaczego taka
macierz X istnieje?
4B. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
�ł łł
3 1 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = 1 2 3 .
�ł �ł
0 0 3
5B. (6 pkt.) Niech w(x) = x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, gdzie a0 = 0. Dlaczego

wszystkie pierwiastki wielomianu w(x) są różne od zera? Wiadomo, że wielo-
mian w(x) może być zapisany w postaci w(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4),
gdzie x1, x2, x3, x4 są pierwiastkami wielomianu w(x). Czemu równa się su-
ma pierwiastków wielomianu w(x)? Podaj współczynniki wielomianu, którego
pierwiastkami są wszystkie odwrotności pierwiastków wielomianu w(x).
Kolokwium IC
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1C. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyz
nie {z " C : |z| 1, 0 arg(iz) Ą}.
" (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz iz?
" (2 pkt.) Znajdz
wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
2z3 = (1 - i)2. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2C. (4 pkt.) Zastosuj metodę eliminacji Gaussa do przekształcenie układu Ax = b
do układu z macierzą trójkątną górną dla
�ł łł
1 1 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 3 -4 4
�ł śł
A = , x = [x1, x2, x3, x4]T , b = [2, -4, 6, 8]T ,
�ł śł
�ł śł
0 0 3 10
�ł �ł
0 -1 8 6
oraz oblicz x3 i x4.
3C. (5 pkt.) Niech
�ł łł
-3 7
�ł �ł
(7B)-1 = .
1 -2
Oblicz B, B-1 oraz macierz X taką, że (XB-1)-1 = I. Dlaczego taka macierz
X istnieje?
4C. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
�ł łł
3 1 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = 4 2 3 .
�ł �ł
0 0 3
5C. (6 pkt.) Znajdz
rzeczywisty wielomian w(x) stopnia 9, ze współczynnikiem 1
przy najwyższej potędze, taki że w(1) = 16 i którego jedynymi pierwiastkami
są liczby 0, -1, i, -i. Ponadto, zakładamy, że pierwiastki i, -i są pierwiast-
kami jednokrotnymi wielomianu w(x). Czemu równa się współczynnik przy
x8? Odpowiedz na to pytanie bez obliczania wszystkich współczynników wie-
lomianu w(x).
Kolokwium ID
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
29 listopada 2007 r.
1D. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów
na płaszczyz
nie
{z " C : 0 Rez 1, 0 arg(iz) Ą}.
" (2 pkt.) Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb
zespolonych z oraz -iz?
" (2 pkt.) Znajdz
wszystkie liczby zespolone z, które spełniają równanie
" "
2(1 - 3 i)z3 = (1 + 3 i)2. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
2D. (4 pkt.) Zastosuj eliminację Gaussa do przekształcenia następującego układu
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11, 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12,
2x1 + 2x2 - 2x3 - 2x4 = 2, 3x2 + 4x3 + 3x4 = 10.
do układu z macierzą trójkątną górną oraz oblicz x3 i x4.
3D. (5 pkt.) Niech
�ł łł
-1 2
�ł �ł
(I + 2A)-1 = .
4 5
Oblicz A, A-1 oraz macierz X taką, że (A-1X)-1 = I. Dlaczego bez obliczania
wyznacznika macierzy AT A można z góry powiedzieć, że nie może on być
liczbą ujemną?
4D. (4 pkt.) Oblicz det(A) i drugą kolumnę macierzy odwrotnej do
�ł łł
3 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = 0 2 1 .
�ł �ł
0 3 3
5D. (6 pkt.) Niech w(x) = x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Wiadomo, że wielomian
w(x) może być zapisany w postaci w(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4),
gdzie x1, x2, x3, x4 są pierwiastkami wielomianu w(x). Jaką własność muszą
mieć pierwiastki wielomianu w(x), żeby współczynnik a3 był równy 0? Podaj
współczynniki wielomianu, którego pierwiastkami są -x1, -x2, -x3, -x4.