plik


WykBad 7 CiaBo liczb zespolonych cd. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Ka|da liczba zespolona z = a + bi jest opisana przez par liczb rzeczywi- stych. Zatem mo|na j interpretowa jako punkt (lub wektor) na pBaszczyznie o wspBrzdnych (a, b): Imz b z = a + bi Rez a OdlegBo[ liczby z od pocztku ukBadu wspBrzdnych nazywamy modu- Bem liczby z i oznaczamy go przez |z|. " Je[li z = a + bi to |z| = a2 + b2. Zadanie Rozwiza rwnanie |z| + z = 0. Rozwizanie Poniewa| |z| interpretujemy jako odlegBo[, wic |z| " R. Wic " je[li z = -|z| to Im(z) = 0 zatem z = a " R. Std mamy a+ a2 = 0. Zatem rozwizaniem rwnania s wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od zera. WBasno[ci moduBw liczb zespolonych 1. |z w| = |z| |w|, |z| z 2. Je[li w = 0 to |w| = |w| 3. |z + w| |z| + |w| |z+w| Dowd Niech t = , wtedy |t| = 1 i t(z + w) = |z + w| " R. Std mamy: z+w |z + w| = t(z + w) = tz + tw = Re(tz + tw) = = Re(tz) + Re(tw) |tz| + |tw| = |z| + |w|, 4. z z = |z|2. Zadanie Poda interpretacj geometryczn zbioru {z " C : |z| = 1} oraz zbioru {z " C : |z - i| = 1}. Rozwizanie {z " C : |z| = 1}: 1 Imz Rez 1 {z " C : |z - i| = 1}: Imz i Rez Kt  midzy dodatni stron osi Re, a promieniem wodzcym liczby z nazywamy argumentem tej liczby i oznaczamy przez arg(z). Imz z = a + bi Argz Rez Argumentem liczby zespolonej jest zbir liczb rzeczywistych bo np. argu- mentem liczby 1 + i jest zbir { + 2k : k " Z}. 4 Argumentem gBwnym liczby z nazywamy ten z argumentw ktry zawarty jest w przedziale [0, 2). Argument gBwny liczby z oznaczamy przez  Arg(z), np. Arg(1 + i) = . 4 2 Zadanie Narysowa na pBaszczyznie zbir {z " C : Arg(z) = }. 3 Rozwizanie 2 Imz Rez Je[li  jest argumentem liczby z = a + bi to mamy: a b cos  = , sin  = |z| |z| Je[li z = a + bi = 0 to mamy: a b z = |z| + i = |z|(cos  + i sin ) |z| |z| posta t nazywamy postaci trygonometryczn liczby z. " " PrzykBad Niech z = 1 - i, wtedy |z| = 12 + 12 = 2, " " 1 2 -1 2 " " cos  = = , sin  = = - 2 2 2 2  7 std Arg(z) = 2- = , a wic postaci trygonometryczn liczby z = 1-i 4 4 jest: " 7 7 z = 1 - i = 2 cos  + i sin  . 4 4 Niech z = |z|(cos  + i sin ), w = |w|(cos  + i sin ) wtedy mamy: 1. zw = |z||w|(cos( + ) + i sin( + )), 1 2. "n " N zn = |z|(cos(n) + i sin(n)) (wzr Moivre a ), |z| z 3. = (cos( - ) + i sin( - )). w |w| Dowd z w = |z|(cos  + i sin )|w|(cos  + i sin ) = |z||w|((cos  cos  - sin  sin ) + i(cos  sin  + cos  sin )) = |z||w|(cos( + ) + i sin( + )), to daje dowd punktu 1. Punkt 2. jest indukcyjnym uoglnieniem punktu 1., a punkt 3. udowadnia si podobnie jak punkt 1. " Zadanie Wyznaczy liczb (-1 + i 3)125. 1 Abraham de Moivre 1667-1754, matematyk angielski 3 " Rozwizanie " " "Szukamy postaci trygonometrycznej liczby z = -1 + i 3. -1 3 Mamy |z| = 1 + 3 = 4 = 2, cos  = , sin  = , std Arg(z) = 2 2  2  - = . Zatem: 3 3 2 2 z = 2 cos  + i sin  . 3 3 Wykorzystujc wzr Moivre a mamy: 2 125 2 125 z125 = 2125 cos  + i sin  , 3 3 poniewa| 2 125 = 250 = 3 83 + 1, to: " 4 4 1 3 z125 = 2125 cos  + i sin  = 2125 - - i . 3 3 2 2 Pierwiastkowanie liczb zespolonych Liczb w nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z, je[li wn = z. Twierdzenie 1 Dla dowolnej liczby zespolonej z = 0 istnieje dokBadnie n r|nych pierwiastkw stopnia n z z. Je[li z = |z| (cos  + i sin ) to pier- wiastki n-tego stopnia z z wyra|aj si wzorami:  + 2k  + 2k n k = |z| cos + i sin , n n n gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1, a |z| oznacza pierwiastek arytmetyczny z liczby rzeczywistej dodatniej |z|. Dowd Je[li w jest n-tym pierwiastkiem z z = |z| (cos  + i sin ) i w = |w| (cos  + i sin ) to z rwno[ci wn = z i ze wzoru Moivre a mamy: |w|n = |z|, n =  + 2k +2k gdzie k " Z. Std  = , je[li k > n to mo|emy podzieli k przez n n +2k z reszt. Otrzymamy wtedy k = qn + r, 0 rlen, i mamy  = = n +2(qn+r) +2r = + 2q. Poniewa| sin i cos s funkcjami o okresie 2 wic n n +2r parzyst wielokrotno[ kta  mo|na odrzuci i mamy  = dla 0 n r < n. Aatwo rwnie| sprawdzi, |e dla k = l mamy k = l. 4 Zadanie Wyznaczy wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby i. Rozwizanie Przedstawiamy liczb i w postaci trygonometrycznej:   i = cos + i sin . 2 2 Zgodnie z powy|szym twierdzeniem pierwiastkami stopnia trzeciego z liczby i s:   + 2k + 2k 2 2 zk = cos + i sin , 3 3 dla k " {0, 1, 2}. Std otrzymujemy: "   3 z0 = cos + i sin = + i1, 6 6 2 2 " 5 5 3 z1 = cos + i sin = - + i1, 6 6 2 2 9 9 z2 = cos + i sin = -i. 6 6 5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 11 Cialo liczb zespolonych
Algebra 2 02 arytmetyka liczb całkowitych
algebra kolokwium (liczby zespolone)
Algebra1p Ciała, Liczby zespolone
algebra kol1)listop 07
prezentacja cialo liczbowe algebra
Wytrzymalosc Materialow wyklad Prety zespolone 07 8
zespoły szybkiej interwencji na granicy Rozp WE 867 07
FUNKCJA CHŁODZENIE SILNIKA (FRIC) (ZESPOLONE Z KALKULATOREM

więcej podobnych podstron