Ciało liczb zespolonych
Definicja
Liczbą zespoloną nazywamy parę liczb rzeczywistych; z = (a, b) , 0 = (0, 0).
Definicja
Liczby zespolone z1 = (a1 , b1), z2 = (a2 , b2) są równe z1 = z2 wtedy i tylko wtedy,
gdy a1 = a2 i b1) = b2.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
Liczbę zespoloną z = (a, b) interpretujemy
geometrycznie jako punkt A(a, b) bądz
wek-
tor (zob. rys).
b A
Liczbę zespoloną i = (0, 1) nazywamy jed-
nostką urojoną.
i
a
Oś x nazywamy osią rzeczywistą i oznacza-
my ją Re z,
zaś oś y osią zespoloną i oznaczamy ją Im z.
Twierdzenie
Ka\
dą liczbę zespoloną mo\
na jednoznacznie przedstawić w postaci z = a + bi ,
gdzie a, b "R; liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z, b  częścią urojoną tej liczby.
Definicja
Liczbą sprzę\
oną do liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę z = a  bi.
Działania w zbiorze liczb zespolonych
Definicje
Niech z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i.
a) Sumą liczb zespolonych z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i nazywamy liczbą zespoloną:
z1 + z2 = (a1 + b1i ) +(a2 + b2i) = (a1 + a2 ) +(b1+ b2 ) i.
b) Liczbą przeciwną do liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę  z1 = ( a  bi).
c) Ró\
nicą liczb zespolonych z1, z2 nazywamy liczbą zespoloną z1  z2 = z1 +( z2 ).
d) Iloczynem liczb zespolonych z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i nazywamy liczbą zespoloną:
z1 z2 = (a1 + b1i ) (a2 + b2i) = (a1 a2  b1 b2) +(a2 b1+ a1 b2 ) i.
e) Ilorazem liczb zespolonych z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i nazywamy liczbą zespoloną:
a1a2 + b1b b1a2 - a1b
z1 : z2 = + i ; z2 `" 0
2 2 2 2
a2 + b2 a2 + b2
Definicja
Potęgą stopnia naturalnego n liczby z , oznaczaną przez zn , nazywamy n  krotny iloczyn
liczby z przez siebie: zn = z �"z �"& �" z.
Twierdzenie
i2 = -1.
Definicja
Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę rzeczywistą |z| = a2 + b2 .
Geometrycznie moduł interpretujemy jako długość wektora OA, odległość punktu A
od początku układu współrzędnych.
Twierdzenie
Dodawanie liczb zespolonych jest:
a) A
ączne, czyli (z1 + z2 ) + z3 = z1 +( z2 + z3), dla dolnych liczb z1 , z2 , z3.
b) Przemienne, czyli z1 + z2 = z2 + z1 , dla dolnych liczb z1 , z2 .
c) Elementem neutralnym dodawania jest liczba z = 0 + 0i = 0, czyli z1 + 0 = 0 + z1= z1.
d) Dla ka\
dej liczby zespolonej z istnieje liczba przeciwna  z.
Twierdzenie
Mno\
enie liczb zespolonych jest:
e) A
ączne, czyli (z1 z2 ) z3 = z1( z2 z3), dla dolnych liczb z1 , z2 , z3.
f) Przemienne, czyli z1 z2 = z2 z1 , dla dolnych liczb z1 , z2 .
g) Elementem neutralnym mno\
enia jest liczba z = 1 + 0i = 1, czyli = z1 �"1 = 1 �" z1= z1.
1
h) Dla ka\
dej liczby zespolonej z ró\
nej od 0 istnieje liczba do niej odwrotna .
z
i) Mno\
enie jest rozdzielne względem dodawania, czyli (z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3, dla
dolnych liczb z1 , z2 , z3.
Powy\
sze twierdzenia wypowiadamy łącznie następująco: zbiór liczb zespolonych (oznacza-
my go symbolem C od początkowej litery słowa łacińskiego complexus - zespolony) z do-
dawaniem i mno\
eniem jest ciałem przemiennym.
Definicja
Argumentem liczby zespolonej z = a + bi ró\
nej od 0 nazywamy liczbę rzeczywistą Ć speł-
niającą układ równań cos Ć = a : |z| i sin Ć = b : |z| . Argumentem liczby 0 jest 0.
Argument główny to liczba 0 d" Ć < 2 Ą .
Geometrycznie argument liczby zespolonej
z jest miara kąta, jaki tworzy wektor punktu
z
z osią Re z.
Twierdzenie
Ka\
dą liczbę zespoloną z mo\
na przedstawić w postaci trygonometrycznej
z = |z| (cos Ć + i sin Ć) , gdzie Ć " R.
Twierdzenie
Niech z1 = |z1| (cos Ć1 + i sin Ć1 ), z2 = |z2| (cos Ć2 + i sin Ć2 ).
Wtedy:
a) z1z2 = |z1| |z2| [cos (Ć1 + Ć2 )+ i sin (Ć1 + Ć2 )].
b) z1 : z2 = |z1| : |z2| [cos (Ć1 - Ć2 )+ i sin (Ć1 - Ć2 )].
c) zn = |z|n (cos n Ć + i sin n Ć), gdzie n " N.
Twierdzenie
a) Ka\
dą liczbę zespoloną z = |z| (cos Ć + i sin Ć ) mo\
na zapisać w postaci algebraicz-
nej z = |z| eiĆ .
b) eiĄ = -1.