11. CALKOWANIE NA PLASZCZYy
NIE ZESPOLONEJ (cześć 2)
1. Obliczyć
ez
dz.
1 - 4)2
(z2
C(-2, )
4
2. Obliczyć
dz
,
1 + z10
Å‚R
Ä„
gdzie łR jest brzegiem wycinka S = {reiĆ : r " [0, R], Ć " [0, ]}. Nastepnie obliczyć
5
"
dx
.
1 + x10
0
3. Niech f bedzie funkcja holomorficzna w górnej pólplaszczyz
nie {z " C : Imz e" 0} poza
skończona ilościa punktów a1, a2, .., an takich, że Imak = 0 dla k = 1, .., n. Zalóżmy, że f jest

rzeczywista dla z rzeczywistych oraz, że spelnia warunek:
M
"r0, M > 0 "Ä… > 1 "r > r0 |z| e" r Ò! |f(z)| d" .
|z|Ä…
+"
Wykazać, że wówczas istnieje calka f(x)dx i wyraża sie wzorem:
-"
n
+"
f(x)dx = 2Ä„i resa f(z).
k
-"
k=1
4. Niech
"
1
I = dx.
1 + x4
0
Czy nastepujace rozumowanie jest poprawne?
"
1
Niech y = ix, wtedy I = dy = iI, zatem I = 0.
0 1+y4
Jesli nie, to obliczyć I.
5. Korzystajac z metod analizy zespolonej obliczyć
"
dx
.
(x2 + 1)2(x2 + 4)
0
6. Korzystajac z tw.Cauchy o residuach obliczyć
2Ä„
dÕ
.
(2 + cos Õ)2
0
7. Korzystajac z metod analizy zespolonej obliczyć
+"
cos x
dx.
x2 + x + 1
-"
8. * Obliczyć
"
e-2ix
dx.
1 + x4
0
9. * Obliczyć
"
ln x
dx.
1 + x2
0
10. * Obliczyć
"
"
x
dx.
1 + x3
0
11. Niech
ctgz
f(z) = Ä„ .
z2
1
Obliczyć f(z)dz, gdzie łN jest brzegiem kwadratu o wierzcholkach (ą1 ą i)(N + ).
Å‚N 2
Wykorzystujac otrzymany wynik udowodnic, że
"
1 Ä„2
= .
n2 6
n=1
12. * Udowodnić, że
" "
Ä„
cos(x2)dx = sin(x2)dx = .
8
0 0