plik


ÿþCiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.math.put.poznan.pl/<"grzesiak/ ksi|ka: Liczby zespolone i algebra liniowa Konsultacje: czwartek 8.45 9.30, pitek 11.45-12.30, pokój 724E CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Tre[ wykBadu CiaBo liczbowe DziaBanie w zbiorze CiaBo abstrakcyjne CiaBo skoDczone Liczby zespolone CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . Podobnie rozumiemy wykonalno[ odejmowania i mno|enia oraz dzielenia przez liczb ró|n od zera. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . Podobnie rozumiemy wykonalno[ odejmowania i mno|enia oraz dzielenia przez liczb ró|n od zera. W zbiorze N wykonalne jest tylko dodawanie i mno|enie. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . Podobnie rozumiemy wykonalno[ odejmowania i mno|enia oraz dzielenia przez liczb ró|n od zera. W zbiorze N wykonalne jest tylko dodawanie i mno|enie. W Z wykonalne jest dodawanie, odejmowanie i mno|enie. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . Podobnie rozumiemy wykonalno[ odejmowania i mno|enia oraz dzielenia przez liczb ró|n od zera. W zbiorze N wykonalne jest tylko dodawanie i mno|enie. W Z wykonalne jest dodawanie, odejmowanie i mno|enie. W Q wykonalne jest dodawanie, odejmowanie, mno|enie i dzielenie. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wykonalno[ dziaBaD w zbiorach liczb Mówimy, |e w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, je[li dla ka|dej pary liczb x1, x2 " X ich suma x1 + x2 " X . Podobnie rozumiemy wykonalno[ odejmowania i mno|enia oraz dzielenia przez liczb ró|n od zera. W zbiorze N wykonalne jest tylko dodawanie i mno|enie. W Z wykonalne jest dodawanie, odejmowanie i mno|enie. W Q wykonalne jest dodawanie, odejmowanie, mno|enie i dzielenie. W przedziale [0, 1] wykonalne jest tylko mno|enie. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone CiaBo liczbowe Definicja Ka|dy zbiór liczb, który zawiera wicej ni| jedn liczb i w którym s wykonalne wszystkie cztery dziaBania z wyjtkiem dzielenia przez 0, nazywamy ciaBem liczbowym. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone CiaBo liczbowe Definicja Ka|dy zbiór liczb, który zawiera wicej ni| jedn liczb i w którym s wykonalne wszystkie cztery dziaBania z wyjtkiem dzielenia przez 0, nazywamy ciaBem liczbowym. Zbiory N i Z nie s ciaBami. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone CiaBo liczbowe Definicja Ka|dy zbiór liczb, który zawiera wicej ni| jedn liczb i w którym s wykonalne wszystkie cztery dziaBania z wyjtkiem dzielenia przez 0, nazywamy ciaBem liczbowym. Zbiory N i Z nie s ciaBami. Zbiór Q jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone CiaBo liczbowe Definicja Ka|dy zbiór liczb, który zawiera wicej ni| jedn liczb i w którym s wykonalne wszystkie cztery dziaBania z wyjtkiem dzielenia przez 0, nazywamy ciaBem liczbowym. Zbiory N i Z nie s ciaBami. Zbiór Q jest ciaBem. Zbiór R jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Fakt " Zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b "Q jest ciaBem liczbowym. Jak to uzasadni? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Fakt " Zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b "Q jest ciaBem liczbowym. Jak to uzasadni? Pokaza,|e wyniki dziaBaD na takich liczbach s równie| postaci " a + b 2. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? " " " tak, bo (2 - 3 2) + (5 + 2) = 7 - 2 2, a ogólniej "np. " " (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? " " " tak, bo (2 - 3 2) + (5 + 2) = 7 - 2 2, a ogólniej "np. " " (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Czy wykonalne jest odejmowanie? mno|enie? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? " " " tak, bo (2 - 3 2) + (5 + 2) = 7 - 2 2, a ogólniej "np. " " (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Czy wykonalne jest odejmowanie? mno|enie? Czy dzielenie da si wykona? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? " " " tak, bo (2 - 3 2) + (5 + 2) = 7 - 2 2, a ogólniej "np. " " (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Czy wykonalne jest odejmowanie? mno|enie? Czy dzielenie da si wykona? Tak, bo potrafimy usun niewymierno[ z mianownika. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie? " " " tak, bo (2 - 3 2) + (5 + 2) = 7 - 2 2, a ogólniej "np. " " (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Czy wykonalne jest odejmowanie? mno|enie? Czy dzielenie da si wykona? Tak, bo potrafimy usun niewymierno[ z mianownika. PrzykBadowo: " " " " 2 - 3 2 (2 - 3 2)(5 - 2) 22 - 19 2 22 19" " = " " = = - 2 25 - 2 23 23 5 + 2 (5 + 2)(5 - 2) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Niech D bdzie ustalon liczb wymiern dodatni, która nie jest " kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb postaci a + b D, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Niech D bdzie ustalon liczb wymiern dodatni, która nie jest " kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb postaci a + b D, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. Wniosek: istnieje nieskoDczenie wiele ciaB liczbowych. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Ka|de ciaBo liczbowe K zawiera ciaBo liczb wymiernych. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. Std na podstawie wykonalno[ci dodawania 2 = 1 + 1 " K, 3 = 2 + 1 " K itd; CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. Std na podstawie wykonalno[ci dodawania 2 = 1 + 1 " K, 3 = 2 + 1 " K itd; ogólnie, n " K dla dowolnej liczby naturalnej n. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. Std na podstawie wykonalno[ci dodawania 2 = 1 + 1 " K, 3 = 2 + 1 " K itd; ogólnie, n " K dla dowolnej liczby naturalnej n. Z wykonalno[ci odejmowania 1 - 1 = 0 " K, a std dla dowolnego n " N, -n " K. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. Std na podstawie wykonalno[ci dodawania 2 = 1 + 1 " K, 3 = 2 + 1 " K itd; ogólnie, n " K dla dowolnej liczby naturalnej n. Z wykonalno[ci odejmowania 1 - 1 = 0 " K, a std dla dowolnego n " N, -n " K. Z wykonalno[ci dzielenia dla dowolnych liczb naturalnych n i m wynika, |e n/m " K, -n/m " K CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód K jest ciaBem, wic zawiera liczb a = 0. Mo|emy wykona dzielenie, wic a/a = 1 " K. Std na podstawie wykonalno[ci dodawania 2 = 1 + 1 " K, 3 = 2 + 1 " K itd; ogólnie, n " K dla dowolnej liczby naturalnej n. Z wykonalno[ci odejmowania 1 - 1 = 0 " K, a std dla dowolnego n " N, -n " K. Z wykonalno[ci dzielenia dla dowolnych liczb naturalnych n i m wynika, |e n/m " K, -n/m " K a wic Q ‚" K CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wniosek CiaBo Q jest najmniejszym ciaBem liczbowym. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Wniosek CiaBo Q jest najmniejszym ciaBem liczbowym. W szczególno[ci oznacza to, |e skoDczony zbiór liczb nie mo|e by ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Definicja DziaBaniem w zbiorze K nazywamy funkcj h, która ka|dej parze a, b elementów zbioru K przyporzdkowuje pewien element tego samego zbioru: h : K × K -’! K. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Definicja DziaBaniem w zbiorze K nazywamy funkcj h, która ka|dej parze a, b elementów zbioru K przyporzdkowuje pewien element tego samego zbioru: h : K × K -’! K. Na przykBad dodawanie liczb rzeczywistych jest funkcj + : R × R -’! R przyporzdkowujc parze liczb x, y ich sum x + y. Znak + jest symbolem tego dziaBania. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Definicja DziaBaniem w zbiorze K nazywamy funkcj h, która ka|dej parze a, b elementów zbioru K przyporzdkowuje pewien element tego samego zbioru: h : K × K -’! K. Na przykBad dodawanie liczb rzeczywistych jest funkcj + : R × R -’! R przyporzdkowujc parze liczb x, y ich sum x + y. Znak + jest symbolem tego dziaBania. Niech K bdzie zbiorem wektorów na pBaszczyznie. Dla dowolnych dwóch wektorów istnieje ich suma: jest to dziaBanie. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Definicja DziaBaniem w zbiorze K nazywamy funkcj h, która ka|dej parze a, b elementów zbioru K przyporzdkowuje pewien element tego samego zbioru: h : K × K -’! K. Na przykBad dodawanie liczb rzeczywistych jest funkcj + : R × R -’! R przyporzdkowujc parze liczb x, y ich sum x + y. Znak + jest symbolem tego dziaBania. Niech K bdzie zbiorem wektorów na pBaszczyznie. Dla dowolnych dwóch wektorów istnieje ich suma: jest to dziaBanie. Czy skBadanie funkcji jest dziaBaniem? To zale|y od zbioru funkcji (nie zawsze istnieje zBo|enie). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie i mno|enie liczb maj wBasno[ci: 1. Bczno[ CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie i mno|enie liczb maj wBasno[ci: 1. Bczno[ 2. przemienno[ CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie i mno|enie liczb maj wBasno[ci: 1. Bczno[ 2. przemienno[ 3. istnieje dla tych dziaBaD element neutralny (0 dla dodawania, 1 dla mno|enia) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dodawanie i mno|enie liczb maj wBasno[ci: 1. Bczno[ 2. przemienno[ 3. istnieje dla tych dziaBaD element neutralny (0 dla dodawania, 1 dla mno|enia) 4. dla ka|dej liczby x istnieje element przeciwny -x oraz (dla x = 0) element odwrotny x-1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone ZaBó|my, |e mamy zbiór K, w którym s okre[lone dwa dziaBania •" i majce wBasno[ci: CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1. (x •" y) •" z = x •" (y •" z) (dodawanie jest Bczne), 2. x •" y = y •" x (dodawanie jest przemienne), 3. 0 •" x = x •" 0 = x (istnieje w K element zerowy 0), 4. x •" (-x) = 0 (dla ka|dego elementu x istnieje element przeciwny -x), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1. (x •" y) •" z = x •" (y •" z) (dodawanie jest Bczne), 2. x •" y = y •" x (dodawanie jest przemienne), 3. 0 •" x = x •" 0 = x (istnieje w K element zerowy 0), 4. x •" (-x) = 0 (dla ka|dego elementu x istnieje element przeciwny -x), 5. (x y) z = x (y z) (mno|enie jest Bczne), 6. x y = y x (mno|enie jest przemienne), 7. 1 x = x 1 = x (istnieje w K element jednostkowy 1 = 0), 8. x x-1 = x-1 x = 1 (dla x = 0 istnieje element odwrotny x-1), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1. (x •" y) •" z = x •" (y •" z) (dodawanie jest Bczne), 2. x •" y = y •" x (dodawanie jest przemienne), 3. 0 •" x = x •" 0 = x (istnieje w K element zerowy 0), 4. x •" (-x) = 0 (dla ka|dego elementu x istnieje element przeciwny -x), 5. (x y) z = x (y z) (mno|enie jest Bczne), 6. x y = y x (mno|enie jest przemienne), 7. 1 x = x 1 = x (istnieje w K element jednostkowy 1 = 0), 8. x x-1 = x-1 x = 1 (dla x = 0 istnieje element odwrotny x-1), 9. x (y •" z) = x y •" x z (mno|enie jest rozdzielne wzgldem dodawania), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Definicja Niech bdzie dany zbiór K, w którym s okre[lone dwa dziaBania •" i zwane odpowiednio dodawaniem i mno|eniem. Je|eli dla dowolnych x, y, z " K i dla pewnych elementów 0, 1 " K speBnione s warunki 1 9 to system (K, •", ) nazywamy ciaBem (abstrakcyjnym). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. a + b = reszta z dzielenia zwykBej sumy przez p, CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. a + b = reszta z dzielenia zwykBej sumy przez p, a · b = reszta z dzielenia zwykBego iloczynu przez p. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. a + b = reszta z dzielenia zwykBej sumy przez p, a · b = reszta z dzielenia zwykBego iloczynu przez p. Piszemy a + b = c(mod p), ab = d(mod p). Na przykBad: CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. a + b = reszta z dzielenia zwykBej sumy przez p, a · b = reszta z dzielenia zwykBego iloczynu przez p. Piszemy a + b = c(mod p), ab = d(mod p). Na przykBad: 2 + 2 = 1(mod 3), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech p bdzie liczb pierwsz. Rozpatrzmy zbiór Zp = {0, 1, 2, . . . , p - 1} mo|liwych reszt z dzielenia przez p. W tym zbiorze wprowadzimy dziaBania dodawania i mno|enia modulo p. a + b = reszta z dzielenia zwykBej sumy przez p, a · b = reszta z dzielenia zwykBego iloczynu przez p. Piszemy a + b = c(mod p), ab = d(mod p). Na przykBad: 2 + 2 = 1(mod 3), 3 · 2 = 1(mod 5). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Tabelki dziaBaD dla zbioru Z2 = {0, 1}: + 0 1 · 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dla Z3 = {0, 1, 2}: + 0 1 2 · 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 . 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Popatrzmy na tabelki dla Z4 = {0, 1, 2, 3}: + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 . 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Popatrzmy na tabelki dla Z4 = {0, 1, 2, 3}: + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 . 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Z4 nie jest ciaBem, CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Popatrzmy na tabelki dla Z4 = {0, 1, 2, 3}: + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 . 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Z4 nie jest ciaBem, bo nie istnieje 2-1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Popatrzmy na tabelki dla Z4 = {0, 1, 2, 3}: + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 . 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Z4 nie jest ciaBem, bo nie istnieje 2-1. ZaBo|enie, |e p jest liczb pierwsz jest konieczne. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pitagorejczycy przy próbie zmierzenia przektnej kwadratu zauwa|yli, |e nie jest on wspóBmierny z bokiem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pitagorejczycy przy próbie zmierzenia przektnej kwadratu zauwa|yli, |e nie jest on wspóBmierny z bokiem. Oznacza to, |e: Równanie x2 = 2 nie ma rozwizania wymiernego. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pitagorejczycy przy próbie zmierzenia przektnej kwadratu zauwa|yli, |e nie jest on wspóBmierny z bokiem. Oznacza to, |e: Równanie x2 = 2 nie ma rozwizania wymiernego. DoprowadziBo to do rozwa|ania nowych liczb, które teraz nazywamy niewymiernymi. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pitagorejczycy przy próbie zmierzenia przektnej kwadratu zauwa|yli, |e nie jest on wspóBmierny z bokiem. Oznacza to, |e: Równanie x2 = 2 nie ma rozwizania wymiernego. DoprowadziBo to do rozwa|ania nowych liczb, które teraz nazywamy niewymiernymi. Przy rozpatrywaniu równaD kwadratowych szybko spostrzegamy, |e: Równanie x2 = -1 nie ma rozwizania rzeczywistego. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " Dodatni pierwiastek równania x2 = 2 oznaczamy 2. Wiemy, |e " zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " Dodatni pierwiastek równania x2 = 2 oznaczamy 2. Wiemy, |e " zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. Czy jest sens w analogii: Pierwiastek równania x2 = -1 oznaczamy i. Wtedy zbiór liczb(?) postaci a + bi, gdzie a, b " R, jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " Dodatni pierwiastek równania x2 = 2 oznaczamy 2. Wiemy, |e " zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. Czy jest sens w analogii: Pierwiastek równania x2 = -1 oznaczamy i. Wtedy zbiór liczb(?) postaci a + bi, gdzie a, b " R, jest ciaBem. " Jest ró|nica: o ile 2 jest dBugo[ci (wic liczb) przektnej kwadratu, to czym jest i? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " Dodatni pierwiastek równania x2 = 2 oznaczamy 2. Wiemy, |e " zbiór liczb postaci a + b 2, gdzie a, b " Q, jest ciaBem. Czy jest sens w analogii: Pierwiastek równania x2 = -1 oznaczamy i. Wtedy zbiór liczb(?) postaci a + bi, gdzie a, b " R, jest ciaBem. " Jest ró|nica: o ile 2 jest dBugo[ci (wic liczb) przektnej kwadratu, to czym jest i? Niemniej skoro wykonywaBo si dziaBania na liczbach postaci " a + b 2, to mo|na je wykonywa równie| na liczbach a + bi. Trzeba tylko pamita, |e i2 = -1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. Tworzymy iloczyn kartezjaDski R × R. Jego elementami s pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy dziaBania CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. Tworzymy iloczyn kartezjaDski R × R. Jego elementami s pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy dziaBania dodawania: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. Tworzymy iloczyn kartezjaDski R × R. Jego elementami s pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy dziaBania dodawania: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) i mno|enia (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. Tworzymy iloczyn kartezjaDski R × R. Jego elementami s pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy dziaBania dodawania: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) i mno|enia (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc). Par z = (a, b) bdziemy nazywa liczb zespolon, a caBy zbiór R × R  zbiorem liczb zespolonych. Bdziemy go oznacza liter C. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Para (0, 0) jest elementem zerowym dodawania, CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Para (0, 0) jest elementem zerowym dodawania, a para (1, 0) jest elementem jednostkowym mno|enia. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Para (0, 0) jest elementem zerowym dodawania, a para (1, 0) jest elementem jednostkowym mno|enia. Elementem przeciwnym do (a, b) jest taka para (x, y), |e (a + x, b + y) = (0, 0); std (x, y) = (-a, -b). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czy istnieje element odwrotny do (a, b) = (0, 0)? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czy istnieje element odwrotny do (a, b) = (0, 0)? ZaBó|my, |e z = (a, b) jest niezerow liczb zespolon, tj. a2 + b2 > 0, oraz |e (a, b) · (x, y) = (1, 0). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czy istnieje element odwrotny do (a, b) = (0, 0)? ZaBó|my, |e z = (a, b) jest niezerow liczb zespolon, tj. a2 + b2 > 0, oraz |e (a, b) · (x, y) = (1, 0). Wtedy, zgodnie z definicj mno|enia, musi by: ax - by = 1, ay + bx = 0. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czy istnieje element odwrotny do (a, b) = (0, 0)? ZaBó|my, |e z = (a, b) jest niezerow liczb zespolon, tj. a2 + b2 > 0, oraz |e (a, b) · (x, y) = (1, 0). Wtedy, zgodnie z definicj mno|enia, musi by: ax - by = 1, ay + bx = 0. Rozwizaniem tego ukBadu jest para liczb a -b x = , y = , a2 + b2 a2 + b2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czy istnieje element odwrotny do (a, b) = (0, 0)? ZaBó|my, |e z = (a, b) jest niezerow liczb zespolon, tj. a2 + b2 > 0, oraz |e (a, b) · (x, y) = (1, 0). Wtedy, zgodnie z definicj mno|enia, musi by: ax - by = 1, ay + bx = 0. Rozwizaniem tego ukBadu jest para liczb a -b x = , y = , a2 + b2 a2 + b2 a wic liczba zespolona a -b , a2 + b2 a2 + b2 jest odwrotno[ci liczby z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Struktura (C; +, ·) jest ciaBem. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W jakim sensie ciaBo C zawiera ciaBo R? CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W jakim sensie ciaBo C zawiera ciaBo R? Poniewa| zachodz równo[ci: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0), wic par (a, 0) mo|na uto|sami z liczb a. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W jakim sensie ciaBo C zawiera ciaBo R? Poniewa| zachodz równo[ci: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0), wic par (a, 0) mo|na uto|sami z liczb a. Zbiór wszystkich takich par tworzy ciaBo liczb rzeczywistych zawarte w ciele liczb zespolonych. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li wprowadzimy oznaczenie i = (0, 1), to liczba zespolona (a, b) daje si przedstawi za pomoc liczby i oraz liczb rzeczywistych a, b. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li wprowadzimy oznaczenie i = (0, 1), to liczba zespolona (a, b) daje si przedstawi za pomoc liczby i oraz liczb rzeczywistych a, b. (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi, gdzie zamiast (a, 0), (b, 0) napisali[my a, b. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Zauwa|my, |e i2 = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Zauwa|my, |e i2 = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1. Liczby zespolone bdziemy zapisywa w postaci a + bi. Zapis ten pozwala przy dziaBaniach arytmetycznych operowa liczbami a + bi jak wielomianami, przy czym nale|y zastpowa i2 przez -1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych liczb zespolon z = a + bi mo|na interpretowa jako punkt o odcitej a i rzdnej b. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych liczb zespolon z = a + bi mo|na interpretowa jako punkt o odcitej a i rzdnej b. Punkty rzeczywiste, tj. takie punkty z = a + bi, dla których b = 0, wypeBniaj o[ ukBadu zwan osi rzeczywist, za[ punkty, dla których a = 0, wypeBniaj drug o[, zwan osi urojon. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Czasem wygodniej jest traktowa liczb z = a + bi jako wektor zaczepiony w pocztku ukBadu wspóBrzdnych i koDcu (a, b). Wtedy dodawanie liczb zespolonych jest (geometrycznie) dodawaniem wektorów. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li z jest wektorem, to ma dBugo[, kierunek i zwrot. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li z jest wektorem, to ma dBugo[, kierunek i zwrot. " DBugo[ wynosi a2 + b2. Nazywamy j moduBem bdz warto[ci bezwzgldn liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li z jest wektorem, to ma dBugo[, kierunek i zwrot. " DBugo[ wynosi a2 + b2. Nazywamy j moduBem bdz warto[ci bezwzgldn liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. PrzykBadowo: " " " |1 + 2i| = 1 + 4 = 5, |3 - 4i| = 9 + 16 = 5. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li z jest wektorem, to ma dBugo[, kierunek i zwrot. " DBugo[ wynosi a2 + b2. Nazywamy j moduBem bdz warto[ci bezwzgldn liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. PrzykBadowo: " " " |1 + 2i| = 1 + 4 = 5, |3 - 4i| = 9 + 16 = 5. Zauwa|my, |e równo[ |z| = 1 jest speBniona przez te punkty pBaszczyzny, które le| na okrgu o [rodku w pocztku ukBadu i promieniu 1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Je[li z jest wektorem, to ma dBugo[, kierunek i zwrot. " DBugo[ wynosi a2 + b2. Nazywamy j moduBem bdz warto[ci bezwzgldn liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. PrzykBadowo: " " " |1 + 2i| = 1 + 4 = 5, |3 - 4i| = 9 + 16 = 5. Zauwa|my, |e równo[ |z| = 1 jest speBniona przez te punkty pBaszczyzny, które le| na okrgu o [rodku w pocztku ukBadu i promieniu 1. Nierówno[ |z| < 1 charakteryzuje punkty wewntrz tego okrgu. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Imz z1 z1 + z2 Rez z2 CiaBo | z 2 | | 1 z | | 2 z + 1 z | CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Przyjmiemy oznaczenie a - bi = z. Liczb z nazywamy sprz|on z liczb z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Przyjmiemy oznaczenie a - bi = z. Liczb z nazywamy sprz|on z liczb z. Np. 2 - 5i = 2 + 5i. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Przyjmiemy oznaczenie a - bi = z. Liczb z nazywamy sprz|on z liczb z. Np. 2 - 5i = 2 + 5i. Wzory: z1 + z2 = z1 + z2, z1 - z2 = z1 - z2, ¯ ¯ ¯ ¯ z1 z1 ¯ z1z2 = z1z2, = . ¯ ¯ z2 z2 ¯ CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Przyjmiemy oznaczenie a - bi = z. Liczb z nazywamy sprz|on z liczb z. Np. 2 - 5i = 2 + 5i. Wzory: z1 + z2 = z1 + z2, z1 - z2 = z1 - z2, ¯ ¯ ¯ ¯ z1 z1 ¯ z1z2 = z1z2, = . ¯ ¯ z2 z2 ¯ A tak|e dla z = a + bi: zz = (a + bi)(a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 = |z|2. ¯ CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Wprowadzamy oznaczenia Re z = a, Im z = b. Liczby Re z i Im z nazywamy odpowiednio cz[ci rzeczywist i cz[ci urojon liczby z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Wprowadzamy oznaczenia Re z = a, Im z = b. Liczby Re z i Im z nazywamy odpowiednio cz[ci rzeczywist i cz[ci urojon liczby z. Np. Re(2 + 7i) = 2, CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Niech z = a + bi. Wprowadzamy oznaczenia Re z = a, Im z = b. Liczby Re z i Im z nazywamy odpowiednio cz[ci rzeczywist i cz[ci urojon liczby z. Np. Re(2 + 7i) = 2, Im(2 + 7i) = 7 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. Oznaczamy: Õ0 = arg z, Õ = Arg z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. Oznaczamy: Õ0 = arg z, Õ = Arg z. 1 arg i = À, 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. Oznaczamy: Õ0 = arg z, Õ = Arg z. 1 1 arg i = À, Arg i = À + 2kÀ, 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. Oznaczamy: Õ0 = arg z, Õ = Arg z. 1 1 arg i = À, Arg i = À + 2kÀ, arg 1 = 0, 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Kierunek i zwrot wektora z = a + bi mo|na okre[li, podajc miar Õ kta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest póBo[ rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem  wektor z. T miar nazwiemy argumentem liczby z. Argument jest wieloznaczny: Õ = Õ0 + 2kÀ, gdzie: 0 Õ0 < 2À, k " Z. Õ0 nazywamy argumentem gBównym. Oznaczamy: Õ0 = arg z, Õ = Arg z. 1 1 arg i = À, Arg i = À + 2kÀ, arg 1 = 0, Arg 1 = 2kÀ. 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Imz b z = a + ib Õ Rez a Rysunek 1: ModuB i argument CiaBo | z | CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone a cos Õ = " , a2 + b2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone a cos Õ = " , Imz b z = a + ib a2 + b2 Õ a Rez b sin Õ = " . Rysunek 1: ModuB i argument a2 + b2 CiaBo | z | CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W takim razie a b z = a + bi = |z| + i = |z|(cos Õ + i sin Õ). |z| |z| CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone W takim razie a b z = a + bi = |z| + i = |z|(cos Õ + i sin Õ). |z| |z| Twierdzenie Ka|da liczba zespolona daje si przedstawi w postaci z = |z|(cos Õ + i sin Õ), zwanej postaci trygonometryczn liczby z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), À À i = 1 · (cos + i sin ), 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), À À i = 1 · (cos + i sin ), 2 2 " À À 1 + i = 2 · (cos + i sin ). 4 4 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2: Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2. (1) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2: Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2. (1) Twierdzenie Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2, (z2 = 0): z1 Arg = Arg z1 - Arg z2. (2) z2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Dla ka|dej liczby zespolonej z i ka|dego caBkowitego n: Arg zn = n · Arg z. (3) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Dla ka|dej liczby zespolonej z i ka|dego caBkowitego n: Arg zn = n · Arg z. (3) Wzór de Moivre a: (cos Õ + i sin Õ)n = cos nÕ + i sin nÕ. (4) CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 2 2 + i = 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 26À 26À = cos + i sin = 4 4 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 26À 26À = cos + i sin = 4 4 2À 2À = cos 6À + + i sin 6À + = 4 4 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 26À 26À = cos + i sin = 4 4 2À 2À = cos 6À + + i sin 6À + = 4 4 À À = cos + i sin = 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 26À 26À = cos + i sin = 4 4 2À 2À = cos 6À + + i sin 6À + = 4 4 À À = cos + i sin = i, 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone 26 " " 26 2 2 À À + i = cos + i sin = 2 2 4 4 26À 26À = cos + i sin = 4 4 2À 2À = cos 6À + + i sin 6À + = 4 4 À À = cos + i sin = i, 2 2 -3 " -3 -1 3 2À 2À + i = cos + i sin = 2 2 3 3 = cos (-2À) + i sin (-2À) = = cos 0 + i sin 0 = 1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Dowód. Dla n naturalnego wzór (3) otrzymamy po wielokrotnym zastosowaniu wzoru (1). Gdy n = 0, to prawdziwo[ wzoru wynika z równo[ci Arg 1 = 2kÀ. Natomiast, gdy n = -k, gdzie k " N, to 1 Arg zn = Arg z-k = Arg = Arg 1 - Arg zk = zk = -k Arg z = n Arg z. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy tak liczb w, |e wn = z. Twierdzenie Ka|da liczba zespolona z = a + bi = 0 ma dwa ró|ne pierwiastki drugiego stopnia, okre[lone wzorami: ñø " ± dla b = 0, a 0, ôø ôø "a òø " ± -ai dla b = 0, a < 0, z = ôø a+|z| -a+|z| ôø óø ± + i · sgn b dla b = 0. 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone PrzykBad ëø öø " 3 + 5 -3 + 5 íø øø 3 - 4i = ± + i(-1) = ±(2 - i). 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Twierdzenie Liczba z = |z|(cos Õ + i sin Õ) = 0 ma dokBadnie n ró|nych pierwiastków n-tego stopnia. Okre[lone s one wzorem: Õ + 2kÀ Õ + 2kÀ n wk = |z| cos + i sin , n n k = 0, 1, . . . , n - 1. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem À À w0 = cos + i sin = 6 6 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem " À À 3 1 w0 = cos + i sin = + i, 6 6 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem " À À 3 1 w0 = cos + i sin = + i, 6 6 2 2 À 2À À 2À w1 = cos + + i sin + 6 3 6 3 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem " À À 3 1 w0 = cos + i sin = + i, 6 6 2 2 " À 2À À 2À 3 1 w1 = cos + + i sin + = - + i, 6 3 6 3 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem " À À 3 1 w0 = cos + i sin = + i, 6 6 2 2 " À 2À À 2À 3 1 w1 = cos + + i sin + = - + i, 6 3 6 3 2 2 À 4À À 4À w2 = cos + + i sin + = 6 3 6 3 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone " 3 Obliczymy i: À À i = cos + i sin , 2 2 zatem " À À 3 1 w0 = cos + i sin = + i, 6 6 2 2 " À 2À À 2À 3 1 w1 = cos + + i sin + = - + i, 6 3 6 3 2 2 À 4À À 4À w2 = cos + + i sin + = i. 6 3 6 3 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Pierwiastki stopnia n z liczby z s wierzchoBkami n-kta foremnego n wpisanego w okrg o promieniu |z|. Na przykBad pierwiastki stopnia 6 z 64, okre[lone wzorem 2Àk 2Àk wk = 2 cos + i sin , k = 0, 1, . . . , 5 6 6 s wierzchoBkami sze[ciokta foremnego wpisanego w okrg o promieniu 2. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Imz w2 w1 À w3 3 2 0 w = Rez w4 w5 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Równanie algebraiczne drugiego stopnia: az2 + bz + c = 0 o wspóBczynnikach zespolonych rozwizujemy w zwykBy sposób, tzn. obliczamy wyró|nik " = b2 - 4ac i stosujemy wzory: " -b ± " z1,2 = . 2a CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Równanie algebraiczne drugiego stopnia: az2 + bz + c = 0 o wspóBczynnikach zespolonych rozwizujemy w zwykBy sposób, tzn. obliczamy wyró|nik " = b2 - 4ac i stosujemy wzory: " -b ± " z1,2 = . 2a Zauwa|my, |e w tym przypadku (w przeciwieDstwie do przypadku " liczb rzeczywistych) zawsze istnieje "  w istocie s dwa pierwiastki ró|nice si znakiem. Do powy|szych wzorów wystarczy podstawia dowolny z nich (ten drugi da te same warto[ci z1,2). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. Obliczamy " = -8 - 6i, CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. " Obliczamy " = -8 - 6i, " = ±(1 - 3i), CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. " Obliczamy " = -8 - 6i, " = ±(1 - 3i),wic 1 - i + 1 - 3i 1 - i - 1 + 3i z1 = = 1 - 2i, z2 = = i. 2 2 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. " Obliczamy " = -8 - 6i, " = ±(1 - 3i),wic 1 - i + 1 - 3i 1 - i - 1 + 3i z1 = = 1 - 2i, z2 = = i. 2 2 W ogólnym przypadku pierwiastki nie s sprz|one. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne PrzykBady 1. Rozwiza równanie z2 - 4z + 5 = 0. " 4+2i Obliczamy " = -4, " = ±2i, z1 = = 2 + i, 2 4-2i z2 = = 2 - i. 2 To równanie miaBo wspóBczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki s liczbami sprz|onymi. 2. Rozwiza równanie z2 + (-1 + i)z + (2 + i) = 0. " Obliczamy " = -8 - 6i, " = ±(1 - 3i),wic 1 - i + 1 - 3i 1 - i - 1 + 3i z1 = = 1 - 2i, z2 = = i. 2 2 W ogólnym przypadku pierwiastki nie s sprz|one. CiaBo Tak wic równanie algebraiczne drugiego stopnia ma dokBadnie CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Rozwa|my teraz równanie postaci: anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0 = 0, gdzie ak " C dla k = 0, 1, . . . , n i an = 0. Takie równanie nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n. CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Rozwa|my teraz równanie postaci: anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0 = 0, gdzie ak " C dla k = 0, 1, . . . , n i an = 0. Takie równanie nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n. Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry) Algebraiczne równanie stopnia n o wspóBczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych dokBadnie n pierwiastków (ka|dy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotno[). CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Rozwa|my teraz równanie postaci: anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0 = 0, gdzie ak " C dla k = 0, 1, . . . , n i an = 0. Takie równanie nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n. Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry) Algebraiczne równanie stopnia n o wspóBczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych dokBadnie n pierwiastków (ka|dy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotno[). Trudny dowód tego twierdzenia pominiemy. Zauwa|ymy dla przykBadu, |e rozwizaniami równania zn - 1 = 0 CiaBo CiaBo liczbowe DziaBanie w dowolnym zbiorze CiaBa skoDczone Liczby zespolone Równania algebraiczne Rozwa|my teraz równanie postaci: anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0 = 0, gdzie ak " C dla k = 0, 1, . . . , n i an = 0. Takie równanie nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n. Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry) Algebraiczne równanie stopnia n o wspóBczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych dokBadnie n pierwiastków (ka|dy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotno[). Trudny dowód tego twierdzenia pominiemy. Zauwa|ymy dla przykBadu, |e rozwizaniami równania zn - 1 = 0 s pierwiastki stopnia n z liczby 1. CiaBo

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra 0 07 ciało liczb zespolonych
W21 Algebra prezentacja na temat wartosci wlasnych
instrukcja prezentacja2
Prezentacja MG 05 2012
Prezentacja ekonomia instytucjonalna na Moodle
Sekrety skutecznych prezentacji multimedialnych
413 (B2007) Kapitał własny wycena i prezentacja w bilansie cz II
18 Prezentacja
prezentacja z budo
Antygeny i Imunogennosc PREZENTACJA
Etapy tworzenia prezentacji
Wstęp do pakietu algebry komputerowej Maple
Geneza polityki spójności Unii Europejskiej prezentacja

więcej podobnych podstron