O czym mówią stałe
fundamentalne
Tadeusz Paszkiewicz
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Rozmowa
Wilhelma z Baskerville
z nowicjuszem
w zakonie Benedyktynów
Adso z Melku
(Imię róży, Umberto Eco)
To być może. Ale jak widzisz, pracuję nad spra-
wami natury. I również w śledztwie, które pro-
wadzimy, nie chcę wiedzieć, kto jest dobry, a kto
zły, ale tylko to, kto był wczoraj wieczorem w
skryptorium, kto zabrał okulary, kto pozostawił
odcisk ciała ciągnącego inne ciało i gdzie jest
Berengar. To są fakty, które spróbuję powiązać ze
sobą, jeśli okaże się to możliwe, bo trudno jest
powiedzieć, jaki skutek wyniknie z takiej czy
innej przyczyny; wystarczyłoby, że wmiesza się
anioł, by zmienić wszystko, nie ma się przeto
czemu dziwić, jeżeli nie sposób pokazać, że jedna
rzecz jest przyczyną innej. Aczkolwiek należy
próbować, jak właśnie czynię.
Twoje życie nie jest łatwe  rzekłem.
Ale znalazłem Brunellusa! Wykrzyknął
Wilhelm, czyniÄ…c aluzjÄ™ do wypadku z
koniem sprzed dwóch dni.
Więc istnieje porządek w świecie 
oznajmiłem tryumfalnie.
Więc jest odrobina porządku w mojej
biednej głowie  odparł Wilhelm.
Tablica stałych fundamentalnych
Stała Wielkość
Plancka h 6,62×10-27 erg × s =6,62×10-34 J × s
Masa elektronu me 9,11 × 10-28 g = 9,11 × 10-31 kg
A
adunek elektronu e 5×10-10 CGSE = 1,6 × 10-19 C
-
2,997925 × 1010 cm/s E"3× 108 m × s-1
Prędkość światła c
Grawitacyjna stała
GH"6,67×10-8cm3g-1s-2
Newtona
StaÅ‚a Boltzmanna kB kB H"1.4×10-16 erg/K E" 1.4×10-23 J/K
Obserwacja
W XIX w. wszystkie wielkości fizyczne
wyrażano w jednostkach odpowiadających
codziennemu doświadczeniu ludzi z epoki
dyliżansów. Dlatego wartości stałych
fundamentalnych są albo bardzo duże (prędkość
światła) albo bardzo małe (wszystkie pozostałe
wielkości).
Arbitralność wyboru jednostek długości (np.
powiązanie miary długości z długością równika
Ziemi), czasu i masy powoduje obecność
dziwnych mnożników potęg dziesiątki.
Wybrane jednostki miar dawnych
stopa chełmińska =12 stopa rosyjska=12 foot (ang)=12 inches
albo 10 cali cali
0,288 m 0,3048 m 0,3048 m
mila chełmińska=180 mila=7 wiorst mile=8 furlongs=320
sznurów=13 500 łokci poles
7776,0 m 7467,6 m 1609,3 m
kamień (1796-1818) =32 pud=40 funtów quarter=28 punds
funty=64 grzywny
12,967 kg 16,38 kg 12,70 kg
Konew (okres przedroz- wiedro Wine gallon
biorowy)=5 garncy
18,8 l 12,299 l 3,77853
Za: Vademecum ucznia i studenta, Wydawnictwo Naukowe PWN i Gazeta Wyborcza
Rozmowa
Wilhelma z Baskerville
z klucznikiem klasztoru
Remigiuszem z Varagine
(Imię róży, Umberto Eco)
Wielkość bezwymiarowa
Stała struktury subtelnej
Ä… a" e2 / !c H"1/137.
( )
Jest to dla elektrodynamiki kwantowej
bardzo ważna wielkość.
Wymiar fizyczny energii i pracy
Wykonując pracę nad układem
zwiększamy jego energię.
Praca FL (F  siła, L  przesunięcie)
ma taki sam wymiar fizyczny jak
energia E.
[E]=[FL].
Sposób konstrukcji wielkości
o wymiarze ciśnienia
Energia/objętość
E F× L F
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= =
ïÅ‚ śł ïÅ‚
V L3 śł ïÅ‚ L2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Ciśnienie jest równe sile działającej
na element powierzchni o jednostko-
wym polu. Wymiar pola L2.
Sposób konstrukcji
o wymiarze siły
Energia/długość
E F× L
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= = F
[ ]
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
L L
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Iloraz energii i długości ma wymiar
siły.
Gęstość masy
Åšrednia masa zawarta w obszarze
o jednostkowej objętości jest gęstością
masy Á.
Åšrednia liczba czÄ…stek znajdujÄ…cych
siÄ™ w obszarze o jednostkowej jest
gÄ™stoÅ›ciÄ… czÄ…stek Ác. jest Å›redniÄ…
Ác
liczbÄ… czÄ…stek w obszarze o
jednostkowej objetości.
Sposób konstrukcji wielkości
o wymiarze pędu
Wykorzystamy relacjÄ™ de Broglie a
! =h/2Ä„.
p = ! / L .
L jest wielkością o wymiarze długości,
np. długością fali,  stała Diraca.
h
Druga relacja de Broglie a
E = !É = h½ = h / T.
E jest energią cząstki, T  wielkością
o wymiarze czasu, É  wielkoÅ›ciÄ… typu
czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej, ½  typu czÄ™stoÅ›ci
liniowej.
½=T-1.
Natężenie prądu I
Jeżeli w interwale czasu t przepłynął
Å‚adunek q to:
I=q/t.
Wielkości o wymiarze długości
Długość Bohra (rząd wielkości  rozmiar
niewzbudzonego atomu H):
aB a" !2 / mee2 H"10-8cm =1Å = 0.1 nm,
( )
długość fali Comptona:
Å»c a" ! / mec H" 3.86×10-11 cm,
klasyczny promień elektronu (rozmiar nukleonu):
re a"e2 / mec2 H"2.5×10-13 cm.
( )
Związki pomiędzy
charakterystycznymi długościami
re = Ä…Å» , Å» = Ä…aB ,
c
c
2
re = Ä…Å» = Ä… aB .
c
Długość Plancka
Pl a" !G / c3 H"1.616×10-33 cm.
Długość Plancka charakteryzuje
rozmiar superstruny.
Istnieją wskazówki, że przestrzeń jest
kwantowana i Pl jest  kwantem
długości.
Wielkości o wymiarze pędu
Pęd relatywistycznego elektronu
pu a" me c,
pęd Fermiego
pF a" ! / 2aB H" 2×10-18 g cm / s,
prędkość Fermiego
vF a" pF / me H" 2.4×108 cm/s .
Wielkości o wymiarze energii
(elektromagnetyzm)
Energia spoczynkowa elektronu
µe a" mec2 H"10-6 g×cm2/s2 H" 5×105 eV,
energia Fermiego
2
µF a" pF / 2me H" 10-12 erg H"1.36×101eV,
temperatura Fermiego
TF a" µF / kB H"104 K .
Związki pomiędzy
charakterystycznymi pędami i
energiami (elektromagnetyzm)
!mee2 mee2
! c
pF = = = =
2aB 2!2 2! c
ëÅ‚ öÅ‚
1 e2
= mec " Ä… mec .
( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
2 !c
íÅ‚ Å‚Å‚
Związki pomiędzy
charakterystycznymi
energiami (elektromagnetyzm)
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
p 1 !
F
µ = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
F
2 m 2 m 2 a
e e íÅ‚ B Å‚Å‚
2 4
ëÅ‚ öÅ‚
1 ! 1 e
2 4 2
= m e = m c "
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
e e
4 2 2
2 m 4! 8 ! c
íÅ‚ Å‚Å‚
e
2 2 2
" Ä… m c < < m c .
( )
e e
Związek prędkości Fermiego
z prędkością światła
(elektromagnetyzm )
!
vF = pF / me = =
2meaB
ëÅ‚ öÅ‚
! mee2 1 e2
= =
ìÅ‚ ÷Å‚c " Ä…c .
2me !2 2 !v
íÅ‚ Å‚Å‚
Wielkości o wymiarze
pędu, energii, i prędkości
(kwantowa grawitacja)
Masa Plancka
mPl a" !c / G H" 2.18×10-5 g H" 2×1019 mas protonu ,
energia Plancka
EPl a" mPlc2 H" 1.22×1028 eV H" 109 J ,
pęd Plancka
pPl a" ! / Pl ~ 6.25×105 g Å"cm / s .
Inne wielkości
związane ze stałą G
Przybliżona
Związek ze stałymi
wielkość
fundamentalnymi
Wielkość
liczbowa
Czas Plancka
5,4 × 10-44 s
tPl a" lPl / c = !G / c5
Natężenie Plancka prądu
3×1024 A
IPl a"e/tPl =e/ !G/c5
SiÅ‚a Plancka FPl a" µPl / lPl = c4 / G
1, 2×1044 N
Moc Plancka
PPl=µPl/tPl=c5/G
3,6×1052 W
3
ÁPl a" mPl / lPl = c5 / !G2
Gęstość Plancka ( )
5,1×1096 kg / m3
1,85×1043 Hz
Częstość Plancka
½Pl a" t-1 = c5 / !G
Pl
Ciśnienie Plancka
3 2
4,6×10113 Pa
pPl a" µPL / lPl = FPl / lPl = c7 / !G2
( )
Inne charakterystyczne wielkości
uzyskane
ze stałych fundamentalnych
e!
µB a" H"10-13 J / gauss,
Magneton Bohra
2mec
jednostka oporu elektrycznego (kwantowy
efekt Halla):
&!q a" ! / e2 H" 25812.8 omów ,
jednostka ciśnienia:
e2 / 2a0
( )
1Ry N
B0 a" = / H" 4.35 Å"1012 = 4.35 Å"1012 Pa.
3 3
a0 a0 m2
Ciśnienie Plancka
Wprowadzimy ciśnienie Plancka BPl
3
BPl a" EPl / Pl = c7 / !G2 ~
( )
~ 2×10114 10-5 N / cm2 = 2×10113 Pa.
Jest to niewyobrażalnie wysokie
ciśnienie charakterystyczne dla
wczesnych etapów ewolucji
Wszechświata.
Obserwacje
" Masa Plancka jest wielkością charakterysty-
czną dla średniej kolonii bakterii  olbrzymią
w skali mikroskopowej.
" Energia Plancka jest wielkością typową dla
początkowych etapów ewolucji Wszechświata.
" Klasyczny promień elektronu jest wielkością
rzędu rozmiaru nukleonu (świat cząstek
elementarnych).
" Z otaczającą nas materią związane są: długość
Bohra, energia i pęd Fermiego, jednostki oporu
i ciśnienia .
Działanie
Niech cząstka o pędzie p przebywa drogę x to z
jej ruchem związane jest działanie S:
S " p x .
Wymiar fizyczny stałej Plancka = = [S].
h
[px]
[ ]
Parametr kwantowości:
q = ! / 2S .
Inna definicja działania
Jeżeli proces związany z energią E trwa
przez interwał czasu t, to związane jest
z nim działanie:
S"Et .
Klasyfikacja układów fizycznych
" Układy klasyczne
S >> ·Ò! q <<1
" Układy kwantowe
S d" ·Ò! q e" 1
" Układy relatywistyczne
v/c "1
" Układy nierelatywistyczne
v / c <<1
 Mapa Åšwiata
v/c
1
mechanika
relatyw.
relatwisty-
mech.
czna
kwant.
nierelatyw.
mechanika
mechanika
nierelatywi-
kwant.
styczna
q
1
Sześcian Bronsteina
G  grawitacyjna stała Newtona
Sześcian Bronsteina
Kryształy
Najprostsze kryształy zbudowane są z atomów.
Można przyjąć, że te atomy stykają się.
a0
2a0H"2aB
Odległość 2a0 pomiędzy sąsiednimi cząstkami jest
w przybliżeniu równa odległości pomiędzy ich
środkami, czyli równa jest średnicy atomu 2aB.
Przyjmijmy, że kryształ zbudowany jest z atomów
wodoru.
Oszacowanie średnicy atomu wodoru
Atom wodoru uważamy za
F
odśr
kulÄ™ o promieniu a0 . p=mev
Elektron porusza siÄ™ po
orbicie, która jest okręgiem,
który jest dowolnym
×
F
a0
centralnym przekrojem tej
el
kuli. Zmiana orientacji
orbity wymaga zmiany
orientacji momentu pędu, czyli działania czynnika
zewnętrznego.
Siły działające na elektron poruszający
się po orbicie kołowej o promieniu a0
z prędkością liniową v i o pędzie p
" Siła przyciągania elektrostatycznego:
2
Fel = e2/a0
Fodsr = mev2/a0
" Siła odśrodkowa:
" Warunek równowagi:
2
Fel = Fodsr Ò! e2/a0 = p2/ mea0 e2/a0 = p2/me.
( )
Zależność a0 od stałych
fundamentalnych
Cząstce o pędzie p przypisać można falę o
 = 2Ä„! / p
długości
 = 2Ä„ a0
Warunek kwantowania Sommerfelda ,
wtedy
p = ! / a0 .
! / a0
Zastąpimy w warunku równowagi pęd przez
2
e2 / a0 = p2 / me e2 / a0 = !2 / (a0me).
Otrzymamy równanie pozwalające określić a0.
Jego rozwiÄ…zanie:
a0 = !2 / mee2 a" aB .
( )
ZwiÄ…zek promienia atomu Bohra
z energiÄ… wiÄ…zania elektronu
Oznaczymy energiÄ™ wiÄ…zania elektronu w
atomie wodoru literÄ… |"|
e2
" = - .
8Ä„µ0aB
Można wyrazić promień atomu Bohra aB przez
energiÄ™ wiÄ…zania:
!v
aB = .
2 "
Pary Coopera w nadprzewodniku
Leon Cooper  amerykański fizyk i laureat nagrody
Nobla, zaproponował model wyjaśniający własność
nadprzewodnictwa: elektrony przewodnictwa Å‚Ä…czÄ…
siÄ™ w pary o przeciwnych momentach magnetycznych
 pary Coopera.
Rozmiar pary Coopera
w nadprzewodniku
Wykorzystamy zwiÄ…zek otrzymany dla atomu
wodoru do opisu par Coopera w nadprzewod-
niku. |"| tym razem jest energią wiązania dwóch
elektronów w parę. W grę wchodzą elektrony
o przeciwnie skierowanych momentach
magnetycznych poruszające się z prędkością
Fermiego vF.
Rozmiar pary Coopera ¾ (dÅ‚ugość korelacji)
¾ = !vF / 2 " .
( )
Wniosek
Średnia odległość pomiędzy sąsiednimi
atomami kryształu jest rzędu średnicy atomu
Bohra czyli 2aB:
10-27 ×10-27 erg2 ×s2
a H" 2aB H" 2 H" 10-8cm =1Å = 0.1 nm
25×10-2010-27 g
W rzeczywistości typowa stała sieci jest rzędu
5 Å.
erg = 10-7 J.
Wielkości charakteryzujące
kryształy metali
pF = ! / 2aB H" 2×10-18gcm / s
" Pęd Fermiego
" Prędkość Fermiego
vF = pF/me H" 2.4×108 cm/s
" Energia Fermiego
µF = p2 / 2me H" 10-19 J H" 1.36×101 eV
F
" Temperatura Fermiego TF H" µ / kB H"104 K
F
Metale: indywidualna
charakterystyka - promień rs
N elektronów zajmuje obszar &!V o objętości V.
Na jeden elektron przypada średnio objętość v0
v0 = V / N a" 4Ä„ / 3 rs3
( )
Przyjęliśmy, że każdy elektron metalu otacza
kula o promieniu rs i objętości v0
Energia, pęd, prędkość Fermiego i promień rs
pozwalają całkiem dobrze opisać najważniejsze
własności metali.
Porównanie oddziaływania momentów
magnetycznych cząstek kryształu
i oddziaływania Culomba
2
Uc =e2 /aB, Um "µ /a3 ,
B B
e!
µB = H"10-27 J / gauss .
2mec
Obserwacja:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
µB e! !2 e2
H" / = = Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚e e2me ÷Å‚
eaB Å‚Å‚ ìÅ‚ mec c!
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rola oddziaływań magnetycznych
w kryształach niemagnetycznych
2 2
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
e2 µ µ 1
ëÅ‚ öÅ‚
2
Um = = Uc = Ä… UC H" Uc
ìÅ‚
ìÅ‚137 ÷Å‚
aB ìÅ‚ eaB ÷Å‚ eaB ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
Um /Uc = Ä… H" 1/137
( )
Wniosek: w kryształach
niemagnetycznych
oddziaływania magnetyczne są
znacznie słabsze od kulombowskich.
Konkluzje
W stałych fundamentalnych
służących do kwantowego opisu
zjawisk związanych z oddziaływa-
niami elektromagnetycznymi
zakodowana jest cenna informacja
o własnościach metali.
Konkluzje
Chociaż własności materii
skondensowanej sÄ… zjawiskami
nierelatywistycznymi stała c 
prędkość światła  gra
w podanym ich opisie istotnÄ… rolÄ™.
Oczywiście bardzo wielu
własności materii
skondensowanej nie można
opisać w tak prosty sposób 
np. drgań sieci krystalicznej.