MK-05
WYPROWADZANIE RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH RUCHU
UKA
ADÓW DYSKRETNYCH
Zadanie 1
Wyprowadzić równania różniczkowe ruchu układu przedstawionego na rysunku.
x1
k1
k2
m1
l, m2
x2
Sposób postępowania:
" Wprowadzić energię kinetyczną i potencjalną rozpatrywanego układu oraz zapisać
funkcjÄ™ Lagrange a.
1 1 1
2 2 2
E = (m1 + m2 )v1 + m2l v2 - m2v1v2l cos(x2 )
2 6 2
l 1
2
U = -m2 g cos(x2 ) + (k1 + k2 )x1
2 2
Uwaga: W powyższych wzorach v1 i v2 oznaczają pochodne po czasie odpowiednich
współrzędnych uogólnionych.
" Do wyprowadzenia równań ruchu wykorzystać procedurę lagrange, która generuje
równania różniczkowe ruchu w oparciu o równania Lagrange a II rodzaju.
> lagrange:=proc(n,q,r,L)
local i,uzm_q,uzm_r,rel_r_q,Lq,Lr,Lrt:
global row:
uzm_q:=seq(q[i]=q[i](t),i=1..n);
uzm_r:=seq(r[i]=r[i](t),i=1..n);
różniczkowanie po współrzędnych uogólnionych i ich uzmiennienie
for i to n do
Lq[i]:=subs([uzm_q,uzm_r],diff(L,q[i])):
Lr[i]:=subs([uzm_q,uzm_r],diff(L,r[i])):
end do;
różniczkowanie po czasie pochodnych L po prędkościach
for i from 1 to n do
Lrt[i]:=diff(Lr[i],t):
end do;
podstawienie wzajemnych relacji pomiędzy prędkościami i przemieszczeniami uogólnionymi
rel_r_q:=seq(r[i](t)=diff(q[i](t),t),i=1..n);
generowanie równań ruchu
for i to n do
row[i]:=subs(rel_r_q,Lrt[i]-Lq[i]=0):
end do;
seq(row[i],i=1..n);
end proc:
Uwaga: Parametrami formalnymi procedury sÄ…: n  liczba stopni swobody, q  nazwa
zmiennej indeksowanej określającej współrzędne uogólnione, r  nazwa zmiennej
indeksowanej określająca prędkości uogólnione, L  funkcja Lagrange a. Zmiennym
globalnym row1, ..., rown przypisano poszukiwane równania ruchu.
Zadanie 2
Wyprowadzić równania ruchu dla podwójnego wahadła fizycznego.
l, m
Õ1
Õ2 l, m
Energia kinetyczna i potencjalna rozpatrywanego układu wyraża się następującymi wzorami:
2 1 1
2 2 2 2 2
E = ml É1 + ml É2 + ml É1É2 cos(Õ1 - Õ2 )
3 6 2
3 1
U = - mgl cos(Õ1) - mgl cos(Õ2 )
2 2
Zadanie 3
Wyznaczyć funkcję Lagrange a i wyprowadzić równania różniczkowe ruchu dla poniższych
układów.
a) b)
x1
x1 x2
k1
k2
r
k
m
m1
m2