rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, estymacja podziałowa

Estymacja przedziałowa
Przedziały ufności
Na poprzednim wykładzie zajmowaliśmy się ocenami punktowymi szacowania nieznanych parametrów,
tzn. chodziło o podanie jednej liczby mo\liwie najmniej ró\niącej się od nieznanej wartości parametru.
Taka estymacja punktowa parametrów, bez wskazania stopnia dokładności oszacowań, jest często
niewystarczająca.
W przeciwieństwie do estymacji punktowej, estymacja przedziałowa jest metodą pozwalającą nie tylko na
oszacowanie wartości parametru jakiegoś rozkładu, ale równie\ podanie dokładności z jaką to
oszacowanie wykonano.
Podstawy metod estymacji przedziałowej opracował polski statystyk Jerzy Spława Neyman.
Idea estymacji przedziałowej polega na tym, \e zamiast szacowania parametru � za pomocą jednej liczby,
nale\y znalezć przedział (z1 , z2) zwany przedziałem ufności, w którym nieznany parametr znajdzie się z
zadawalającym nas prawdopodobieństwem. Końce tego przedziału muszą być więc zmiennymi
losowymi, będącymi statystykami:
z1 = f1(x1,..., xn ) i z2 = f2 (x1,..., xn )
gdzie x1,..., xn n - elementowa próbka z populacji, w której cecha X ma rozkład typu ciągłego, zale\ny
od nieznanego parametru �, takimi, aby P{� "(z1, z2 )} było bliskie 1. Bliskość 1 określa się liczbą 1 ą
i nazywa się poziomem ufności.
Definicja.
Jeśli dla danego ą "(0,1) jest spełniona równość: P(z1 d"� d" z2 ) =1 - ą , (3.1)
to przedział (z1, z2 ) nazywamy przedziałem ufności dla parametru �,
a liczbę 1 ą - poziomem ufności,
zaś ą poziom istotności.
Im mniejsze ą, tym dłu\szy przedział ufności. Zazwyczaj ą przybiera jedną z wartości: 0,1, 0,05, 0,01,
przy czym wartość ą = 0,05 jest najczęściej u\ywana mówimy wówczas o 95 % przedziale ufności.
Sposób określania przedziału ufności zale\y od rozkładu, w którym występuje nieznany parametr, od tego
czy znamy pozostałe parametry w tym rozkładzie oraz od liczebności próby. Z praktycznego punktu
widzenia po\ądane jest, aby przy danym ą, przedział ufności był najkrótszy.
Z podanego określenia wynika, \e przedział ufności jest przedziałem losowym, zmieniającym się od
próbki do próbki. Niektóre otrzymane na podstawie próbek przedziały będą zawierały nieznaną wartość
parametru �, inne nie. Wzór (3.1) nale\y interpretować w ten sposób, \e w du\ej serii próbek częstość
zdarzenia polegającego na tym, \e przedział ufności pokrywa nieznaną wartość parametru �, jest w
przybli\eniu równa 1 ą .
� oznacza parametr, którego wartość chcemy oszacować. Mo\e to być na przykład wartość średnia,
wariancja albo odchylenie standartowe jakiegoś rozkładu.
Poszukujemy takich dwóch wartości z1 i z2, aby przedział przez nie wyznaczony z zadanym
prawdopodobieństwem zawierał w sobie rzeczywistą wartość parametru �, .
Wyjaśnijmy pewien problem natury logicznej. Podkreślone zdanie ma dość zło\oną formę. Nie bez
powodu. Wbrew pozorom, nie jest ono to\same ze stwierdzeniem, \e poszukiwana wartość z zadanym
prawdopodobieństwem znajduje się w tym przedziale. Parametr � przyjmuje jedną, konkretną wartość.
To, \e jej nie znamy, nie zmienia faktu, \e taka rzeczywista wartość istnieje. Tak wiec dla jakiegoś
przedziału, prawdopodobieństwo, \e ta rzeczywista wartość nale\y do tego przedziału jest albo równe 1
albo równe 0. Innych mo\liwości nie ma. Zwróćmy uwagę, \e o ile wartość �, jest jednoznaczna i zale\y
tylko od badanego rozkładu, o tyle z1 i z2 są zmiennymi losowymi i tak naprawdę zale\ą od prób
losowych. W związku z tym, podkreślone zdanie nale\y rozumieć w ten sposób, \e gdybyśmy wyznaczyli
przedział ufności np. 100 razy to zazwyczaj około 100 ( 1 - ą ) przedziałów zawierałoby w sobie
rzeczywistą wartość parametru �.
Ka\dy z przedziałów zaznaczonych na powy\szym rysunku stanowi realizację przedziału ufności na
poziomie ufności 1 ą dla nieznanego parametru Ś
Ś.
Ś
Ś
Lewostronnym przedziałem ufności nazywamy przedział ufności postaci (-" , z1).
Prawostronnym przedziałem ufności nazywamy przedział ufności postaci (z2 , +").
Istnieje nieskończenie wiele przedziałów ufności dla danego poziomu ufności.
Dla poziomu ufności równego jedności przedział ufności rozciąga się od minus do plus
nieskończoności.
Do estymacji przedziałowej dla małych prób (n<30) losowanych z populacji o rozkładzie
normalnym
wartości oczekiwanej - stosuje się rozkład t Studenta
wariancji i odchylenia standardowego - stosuje się rozkład chi - kwadrat
Przykłady znajdowania przedziałów ufności.
Przedziały ufności dla średniej.
Model 1.
Cecha X elementów populacji generalnej ma rozkład normalny N( m ; � ), przy czym odchylenie
standardowe � jest znane, a m nieznane. Znalezć przedział ufności dla wartości przeciętnej m.
Przyjmijmy za estymator parametru m średnią empiryczną z próby o liczności n:
n
1
X = X
n " i
n
i=1
Statystyka X jest zmienną losową o rozkładzie: N(m;� / n) .
n
Dokonując standaryzacji zmiennej losowej X , otrzymamy nową zmienną losową:
n
X - m
n
U = n
�
Zgodnie z definicją przedziału ufności, musimy znalezć takie dwie wartości zmiennej losowej u1 i u2, \eby
prawdopodobieństwo tego, \e zmienna losowa U przyjmie wartość spomiędzy u1 a u2 było równe
poziomowi ufności, czyli 1-ą:
P(u1 < U < u2 ) = Ś(u2 - u1) = 1 - ą
Oczywiście oznacza to, \e ró\nica wartości dystrybuanty w punkcie u1 i w punkcie u2
jest równa temu prawdopodobieństwu. A więc obszary na lewo i na prawo od zaznaczonego obszaru
odpowiadają odpowiednio prawdopodobieństwu ą1 i ą2
ą1 + ą = ą u1 = u(ą1) u2 = u(1 - ą2 )
Jak widać: , ,
2
Tak więc równanie definiujące przedział ufności mo\na przedstawić w postaci:
X - m
n
P(u(ą1) < n < u(1 - ą2 )) = 1 - ą
, a po przekształceniach:
�
� �
P(u(ą1) < X - m < u(1-ą2 ) ) = 1-ą
n
n n
� �
P(X - u(ą1) < m < X + u(1-ą2 ) ) =1-ą
n n
n n
otrzymamy przedział losowy zawierający z prawdopodobieństwem 1 ą nieznaną wartość średnią m:
� �
(X - u(ą1) , X + u(1-ą2 ) )
n n
n n
Zauwa\my, \e powy\sza formuła definiuje nieskończenie wiele przedziałów ufności, w zale\ności od
wybranej wartości jednego z parametrów ą.
Poni\ej przedstawiono 3 najczęściej u\ywane przedziały ufności:
1) Lewostronny przedział ufności:
�
ą1 = 0 (-", Xn - u(ą) )
n
2} Prawostronny przedział ufności:
�
ą2 = 0 (Xn - u(1-ą) ,+ ")
n
3) Symetryczny względem wartości średniej przedział ufności najczęściej u\ywany:
ą ą � ą �
ą1 = ą2 = (X - u(1- ) , X - u( ) )
n n
2 2 2
n n
Poniewa\ standaryzowany rozkład normalny jest symetryczny względem zera, to:
ą ą
u( ) = -u(1 - )
, więc symetryczny przedział ufności mo\na zapisać jako:
2 2
ą � ą �
(X - u(1- ) , X + u(1- ) )
n n
2 2
n n
Przedział ufności jest symetryczny względem tej średniej X .
n
Przedział ufności dla średniej m w populacji otrzymuje się ze wzoru:
ńł � � �ł
P�łX - uą �" < m < X + uą �" = 1 - ą
żł (3.2)
n n
n n
ół �ł
gdzie:
ą
uą = u(1 - ) - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym,
2
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1-ą wyznacza się z rozkładu normalnego
standaryzowanego N (0,1), w taki sposób, by spełniona była relacja:
P{-uą < m < uą } =1 -ą
uą jest taką wartością zmiennej losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym, \e pole powierzchni
pod krzywą gęstości w przedziale (-uą ,uą ) wynosi 1-ą, a pole pod krzywą gęstości na prawo od uą i na
lewo od - uą wynosi po ą/2.
Model 2.
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej �
� dla n<30.
�
�
Cecha X populacji ma rozkład N(� ; �), przy czym zarówno � jak i � stanowią nieznane parametry tego
rozkładu.
n
2
n
- X )
"(xi
1
X - �
i=1
X =
Statystyka t = n -1 , gdzie , S = , n liczebność próbki,
"xi
n
S n
i=1
ma rozkład t Studenta o n-1 stopniach swobody. Poniewa\ rozkład tej statystyki jest niezale\ny od
nieznanych parametrów � jak i �, a zale\y tylko od liczebności próby, zatem statystykę tę mo\na
wykorzystać do konstrukcji przedziału ufności dla wartości przeciętnej �.
Mo\na zapisać:
P(t < t )= 1-ą
n,ą
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
1 -ą
ą/2
ą/2
0.10
0.05
0.00
-3 -2 -1 0 1 2 3
-t tn ,ą
n ,ą
Przekształcając powy\sze równanie:
�ł x - � �ł
P�ł n -1 < tn,ą �ł =1 - ą
�ł �ł
S
�ł łł
x - �
P�ł- tn,ą < n - 1 < tn,ą �ł =1 - ą
�ł �ł
S
�ł łł
�ł S S �ł
P�ł- tn,ą < x - � < tn,ą �ł =1 - ą
n
�ł - 1 n -1
łł
�ł S S �ł
P�ł- x - tn,ą < -� < tn,ą - x �ł = 1 - ą
n -1 n -1
�ł łł
�ł S S �ł
P�ł x + tn,ą > � > x - tn,ą �ł = 1 - ą
n -1 n -1
�ł łł
otrzymamy ostatecznie
P(x - t \ < � < x + t \ )= 1-ą
(3.4)
n,ą x n,ą x
n
2
(x
" - x)
i
i =1
\ =
gdzie odchyleniem standardowym średniej arytmetycznej.
x
n(n -1)
Równanie (3.4) interpretujemy następująco:
(1-ą)100% przedziałem ufności dla nieznanej wartości oczekiwanej jest przedział określony
x
podwójną nierównością: - t \ < � < x + t \
. Wartości krytyczne tn,ą rozkładu t Studenta
n,ą x n ,ą x
odczytujemy z tablic dla liczby stopni swobody r = n-1.
Przykład 3.1
Pobrano próbkę o liczności 100 danych z populacji o rozkładzie N( m ; 0.2 ). Dla tych 100 danych
obliczono X = 2.0031 S = 0.1967. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej przy poziomie ufności 1-
n
ą = 0.95.
Przykład 3.2
Wzięto próbkę o liczności n = 4 z populacji o rozkładzie normalnym. Obliczono, \e:
X = 2.105 S = 0.19841. Wyznaczyć przedział ufności dla wartości średniej na poziomie ufności 0.95.
Model 3.
Cecha X populacji generalnej ma rozkład dowolny o nieznanych parametrach, czyli nieznanej wartości
2
�
przeciętnej � i skończonej wariancji . Zakładamy liczebność próby n > 30.
Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, \e statystyka :
X - �
t = n ma asymptotyczny rozkład N(0 ; 1).
�
2
\
Ze względu na du\ą liczność próbki, nieznaną wartość � zastępujemy przez estymator obliczony z
próbki.
Zatem model ten sprowadza się do modelu 1, czyli:
ą \
� = X ą u(1- )
2
n
n
1
2
\ = - X )2
gdzie:
"(X i
n -1
i=1
Przedziały ufności dla wariancji.
W zale\ności od tego, czy próba jest mała czy du\a, przedział ufności dla wariancji buduje się
2
odpowiednio w oparciu o rozkład � (chi - kwadrat) bądz o rozkład normalny.
Model 4
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (� ; �) o nieznanych parametrach � i �.
Z populacji tej wylosowano niezale\nie do próby n elementów (n jest małe tj. n<30). Z tej próby
2
obliczono wariancję S .
2
Konstrukcję przedziału ufności oprzemy na statystyce � chi kwadrat:
2
nS
2
� = , która ma rozkład chi kwadrat o n-1 stopniach swobody.
2
�
ą ą
2 2
Oznaczmy kwantyle tego rozkładu przez: � ( , n -1) oraz � (1 - , n -1) dla ustalonego poziomu
2 2
ufności 1 ą.
2
�
f( )
ą
2
ą
2
2
�
c1 c2
Poniewa\ powszechnie u\ywane tablice rozkładu �2 podają prawdopodobieństwo P(�2 e" �2 )
, zatem dla
ą
określonego współczynnika ufności 1-ą wartości c1 znajdujemy z tablic rozkładu �2 dla
ą ą
1-
prawdopodobieństwa , natomiast wartość c2 dla prawdopodobieństwa . Czyli:
2 2
ą ą
2 2
P{� e" (c2 = � ( , n -1)} =
2 2
ą ą
2 2
P{� e" (c1 = � (1- , n -1)} = 1-
2 2
Zgodnie z powy\szym rysunkiem mo\na napisać nierówność:
ą ą
2 2 2
P(� ( , n -1) > � > � (1- , n -1)) = 1-ą
2 2
Wstawiając statystykę chi-kwadrat, otrzymamy nierówność:
2
ą nS ą
2 2
P(� ( , n -1) > > � (1- , n -1)) = 1-ą
2
2 � 2
2
�
Rozwiązując nierówność zawartą w nawiasie względem otrzymuje się na poziomie ufności 1 ą
przedział ufności określony warunkiem:
2 2
nS nS
2
> � >
ą ą
2 2
� (1- , n -1) � ( , n -1)
2 2
2
\
Je\eli w powy\szym wzorze wykorzystamy nieobcią\ony estymator , to zgodnie z definicją statystyki
2
(n -1)\
2
� =
chi kwadrat: mo\na zapisać:
2
�
2 2
(n -1)\ (n -1)\
2
> � >
ą ą
2 2
� (1- , n -1) � ( , n -1)
2 2
Przedziały ufności dla odchylenia standardowego � stanowią pierwiastki kwadratowe powy\szych
przedziałów.
Przykład 3.3
Dokonano 10 pomiarów stratności P z prądów wirowych próbki kompozytu proszkowego i otrzymano
następujące wyniki:
2
1.56, 1.55, 1.50, 1.46, 1.56, 1.51, 1.49, 1.49, 1.40, 1.49. Wartość x =1.5010 oraz \ = 0.0022
Wyznaczyć przedział ufności dla średniokwadratowego błędu pomiarowego stratności (czyli dla �2) przy
poziomie ufności 0.9, zakładając, \e błąd pomiaru ma rozkład normalny.
Model 5.
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (�,�) lub zbli\ony do normalnego o
nieznanych parametrach � i �. Z populacji tej wylosowano niezale\nie du\ą liczbę n elementów (n >30).
2
Z tej próby obliczono odchylenie standardowe S = S . Wówczas przybli\ony przedział ufności dla
odchylenia standardowego � populacji generalnej jest określony wzorem:
ńł �ł
�ł �ł
S S
�ł
P�ł < � < =1 -ą
�ł
uą żł
�ł1+ uą �ł
1-
�ł �ł
2n 2n
ół �ł
Przykład 3.4
W zakładzie X zbadano 500 urządzeń spośród nowo wyprodukowanej partii i otrzymano następujący
rozkład liczby usterek:
Liczba 0 1 2 3 4 5 6
usterek
Liczba 112 168 119 63 28 9 1
urządzeń
Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego usterek dla poziomu ufności 0.99.
Przykład 3.5
W losowo wybranej grupie 450 samochodów osobowych marki FSO 1500 przeprowadzono badanie
zu\ycia benzyny na tej samej dla wszystkich samochodów trasie długości 100 km. Okazało się, \e
odchylenie standardowe zu\ycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km.
Zakładając, \e badana cecha ma rozkład normalny wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia
standardowego ze zu\yciem benzyny przez wszystkie samochody tej marki na takiej trasie. Przyjąć
poziom ufności 0,99.
Przykład 3.6
W celu oszacowania średniej długości pewnego detalu produkowanego w przedsiębiorstwie
wylosowano 17 detali i otrzymano średnią ich długość 32 cm oraz odchylenie standardowe 0,6 mm.
Oszacować przy poziomie ufności 0,90 wartość oczekiwaną produkowanych w tej firmie detali.
Przedziały ufności dla wskaznika do struktury.
Niech X1, X ,..., X będzie prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli ego o nieznanym
2 n
parametrze p.
Z centralnego twierdzenia granicznego dla dostatecznie du\ego n zmienna losowa:
p - p
Ć
m
p =
Ć
gdzie estymator: (m liczba sukcesów w próbie o liczności n ) ,
p(1- p)
Ć Ć
n
n
N(0;1).
ma rozkład bliski rozkładowi
Przy czym musi zachodzić: np e" 5, n(1- p) e" 5 ).
Mo\na te\ udowodnić, \e zmienna losowa
p - p
Ć
ma rozkład bliski N (0;1) , o ile .
np e" 5, n(1- p) e" 5
Ć Ć
p(1- p)
Ć Ć
n
�ł �ł
�ł �ł Ć(z1-ą / 2 ) = 1-ą / 2
Stąd: gdzie:
p - p
Ć
P�ł - z1-ą / 2 d" d" z1-ą / 2 �ł H" 1-ą
�ł p(1- p) �ł
Ć Ć
�ł �ł
n
�ł łł
Równowa\nie:
�ł p(1- p) p(1- p) �ł
Ć Ć Ć Ć
P�ł p - z1-ą / 2 d" p d" p + z1-ą / 2 �ł
Ć Ć
�ł �ł
n n
�ł łł
H" 1-ą
Przedział ufności dla parametru p na poziomie ufności 1-ą jest realizacją przedziału losowego:
�ł p(1- p) p(1- p) łł
Ć Ć Ć Ć
p - z1-ą / 2 , p + z1-ą / 2
Ć Ć
�ł śł
n n
�ł �ł
Przykład 3.7
W badaniach opinii publicznej otrzymano wynik: 57% spośród 1000 ankietowanych Polaków
poparło wejście Polski do Unii Europejskiej, a pozostałych 43% osób było przeciwnych. Skonstruować
95% przedział ufności dla proporcji p obywateli popierających wejście Polski do UE.
Minimalna liczebność próby
Minimalna liczebność próby taka liczebność próby, która zapewni wymaganą dokładność (precyzję
oszacowania) przy danym poziomie ufności .
1. Minimalna liczebność próby dla estymacji przedziałowej średniej m w populacji przy znanym
odchyleniu standardowym � w populacji.
Nale\y znalezć taką liczebność próby n, dla której przy danym poziomie ufności 1-ą , połowa długości
przedziału ufności "x nie przekroczy ustalonej z góry wartości.
Wyznaczamy przedział, który z danym prawdopodobieństwem obejmie mierzoną wartość parametru
populacji:
P{X - u1-ą / 2� < m < X + u1-ą / 2� } = 1-ą
x x
�
"x = u1-ą / 2� = u1-ą / 2 dopuszczalny błąd oceny (tolerancja)
Oznaczmy:
x
n
u1-ą / 2�
n =
Zatem:
"x
2 2
u1-ą / 2�
n =
Czyli minimalna liczebność próbki: (3.5)
"x2
Je\eli liczność próby losowej z rozkładu normalnego o wartości średniej m i odchyleniu standardowym �
P(| X - m |d" "x2) e" 1-ą
spełnia warunek (3.5) to:
Z prawdopodobieństwem co najmniej 1 ą błąd bezwzględny oszacowania nieznanej wartości średniej m
przez X nie przekroczy "x , tzn. wśród wielu próbek o liczności n częstość takich, dla których błąd
bezwzględny średniej z próby nie przekroczy "x jest w przybli\eniu nie mniejsza ni\ 1 ą.
Przykład 3.8
Wykonujemy pomiar grubości płytki platynowej. Ile pomiarów n nale\y wykonać aby dopuszczalny błąd
oceny (tolerancja) wyniósł "x =0.016, standardowy błąd pomiaru � = 0.1 mm. Przyjąć poziom ufności
1 - ą = 0.95.
Przykład 3.9
Producent chce ocenić średnią zawartość nikotyny w paczkach papierosów pewnego gatunku.
Wiadomo, \e standardowe odchylenie zawartości nikotyny w losowo wybranej paczce papierosów
mg. Określić liczbę paczek papierosów, w których nale\y zbadać zawartość nikotyny, aby na
� = 8
poziomie ufności co najmniej 0,95 móc stwierdzić, \e obliczona średnia z próbki x nie będzie się ró\niła
od prawdziwej średniej zawartości nikotyny � o więcej ni\ 1,5 mg.
2. Minimalna liczebność próby dla estymacji przedziałowej średniej m w populacji przy nieznanym
odchyleniu standardowym � w populacji.
Losujemy próbę wstępną n0 i na jej podstawie wyznaczamy właściwą liczebność próby:
2 2
tą ,n0-1 �" \
n =
"x2
gdzie:
tą ,n0 -1 wartość z tablic rozkładu t Studenta dla ą i n0-1 stopni swobody
n
2
1
\ =
"(X - X )
i
n-1
i=1
Je\eli n d" n0 to próbę wstępną traktujemy jako właściwą. Je\eli zaś n > n0 to musimy próbę
powiększyć o n n0.
Przykład 3.9a
Czas montowania bębna w pralce automatycznej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
Zmierzono czas montowania bębna przez 6 losowo wybranych robotników i otrzymano następujące
wyniki ( w minutach): 6.2, 7.1, 6.3, 6.9, 7.5, 7.0. Ile pomiarów czasu monta\u bębna w pralce nale\ałoby
wykonać dla oszacowania średniego czasu monta\u z maksymalnym błędem wynoszącym ą 0.1 minuty,
przy poziomie ufności 0.95.
3. Minimalna liczebność próby dla estymacji przedziałowej wskaznika do struktury.
"x
Aby oszacować wartość wskaznika struktury p z zadaną precyzją , przy znanym estymatorze
p parametru p wymaganą liczność próby statystycznej wyznaczamy ze wzoru:
Ć
p �" q
2
n e" u1-ą / 2 Ć Ć
"x2
Je\eli natomiast nie znamy estymatora parametru p, to we wzorze powy\szym podstawiamy p =1/2, czyli
Ć
p �" q
wartość, dla której iloczyn Ć Ć jest największy. Wówczas wymagana liczność próby statystycznej
1
2
n e" u1-ą / 2
wyznaczamy ze wzoru:
4"x2
Przykład 3.9b
Ile osób nale\ałoby wylosować niezale\nie do próby, aby z maksymalnym błędem 1.5 % oszacować na
poziomie ufności 0.98 procent osób, które oglądają codziennie telewizję jeśli ze wstępnych badań wynika
\e spodziewany rząd wielkości szacowanego procentu wynosi 65%.
ZADANIA.
Przykład 3.10
Stacja paliw sprzedała 8019 litrów gazu w ciągu 9 losowo wybranych dni. Załó\my, \e dzienna ilość
sprzedanego gazu ma rozkład normalny o standardowym odchyleniu litrów. Skonstruować
� = 90
przedziały ufności dla średniej dziennej sprzeda\y gazu na poziomach ufności:
(a) 0,98 (b) 0,80.
Przykład 3.11
Zanotowano czasy obsługi przy okienku kasowym ( w minutach ) 64 losowo wybranych klientów
2
pewnego banku. Obliczono: średnią z próbki && min. oraz wariancję z próbki
X = 3,2 s2 = 1,44min. .
Znalezć 98% przedział ufności dla średniego czasu obsługi � , jeśli mo\na zało\yć, \e czas obsługi
klienta przy okienku kasowym ma rozkład normalny.
Przykład 3.12
W ciągu pięciu losowo wybranych tygodni zaobserwowano następujące zu\ycia cukru ( w gospodarstwie
domowym, w kg ):
3,8, 4,5, 5,2, 4,0, 5,5.
Skonstruować 90% przedział ufności dla średniego tygodniowego zu\ycia cukru w tym gospodarstwie,
jeśli przyjmiemy rozkład normalny zu\ycia cukru.
Przykład 3.13
Dla poziomu ufności 0,95 oszacować przedziałowo zró\nicowanie zmiennej określającej liczbę usterek w
produkcji telewizorów w przedsiębiorstwie ELEMIS, mając obliczone z 20 elementowej próby:
przeciętną ilość usterek wynoszącą 5 sztuk oraz zró\nicowanie bezwzględne, które wynosi ą 3 usterki.
Przykład 3.14
Zbadano czas świecenia 26 \arówek i uzyskano wyniki: empiryczną wartość oczekiwaną X = 1221 h i
odchylenie standardowe empiryczne S = 432 h. Zakładając, \e czas świecenia \arówek ma rozkład
normalny, oszacować metodą przedziałową średni czas świecenia \arówek. Przyjąć poziom ufności 0,99.
Przykład 3.15
Zakładając, \e kwartalne wydatki na reklamę ( w tys. zł) mają rozkład normalny, wylosowano do próby
100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:
Kwartalne wydatki na reklamę 0 -5 5 - 10 10 - 15 15 - 20
Liczba zakładów 10 20 40 30
Oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe wydatków na reklamę na poziomie ufności
0,95.
Przykład 3.16
W celu oszacowania średniego czasu poświęconego tygodniowo przez studentów na naukę, wylosowano
próbę n = 132 studentów i otrzymano w niej następujące wyniki:
Czas nauki w godz. 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 10 10 - 12
Liczba studentów 10 28 42 30 15 7
Przyjmując poziom ufności 0,90 oszacować metodą przedziałową średni tygodniowy czas nauki
studentów.
Przykład 3.17
Nale\y oszacować \ywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek,
wiadomo \e czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym
równą 120 h. Niezale\nie wylosowana z tej partii próba 25 świetlówek dała następujące wyniki
pomiaru czasu ich świecenia w godzinach:
2630 2840 2800 2580 3060 2820 2700 2970 2840 2840 2900 2950 2680 3020 2550
2810 2690 2660 2780 2790 2770 2720 2820 2920 2850
Przyjmując poziom ufności 0,98 oszacuj metodą przedziałową średni czas świecenia świetlówek
tej partii.
Przykład 3.18
Ile rodzin nale\ących do określonej grupy zamo\ności nale\y wylosować niezale\nie od próby,
by oszacować średnią miesięczną kwotę wydatków na cele kulturalne tych rodzin z
dopuszczalnym maksymalnym błędem szacunku wynoszącym 10 zł je\eli wiadomo \e
odchylenie standardowe tych wydatków wynosi 80 zł. Przyjąć poziom ufności 0,90.
Przykład 3.19
Ilu pracowników pewnego resortu nale\y wylosować niezale\nie do próby by oszacować procent
pracowników którzy trzykrotnie awansowali na wy\sze stanowiska pracy z dopuszczalnym
błędem 2 %. Spodziewany rząd wielkości szacowanego procentu jest 15 procentowy. Przyjąć
poziom ufności 0,90.
Przykład 3.20
Ile przebiegów pociągów pasa\erskich w 1998 roku nale\y wylosować niezale\nie do próby by z
maksymalnym błędem dopuszczalnym 6% oszacować nieznany procent opóznionych
przyjazdów pociągów na stację docelową. Przyjąć poziom ufności 0,90.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, testy nieparametryczne, testy zgodności
rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, testowanie hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne estymacja zadania przykładowe
sokolski,statystyka inżynierska,Estymacja przedziałowa
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w?daniach ekonomicznych e72
Statystyka matematyczna i teoria estymacji
sokolski,statystyka inżynierska,regresja liniowa
Excel w zastosowanie inżynierskich
Statystyka w pomiarach estymatory

więcej podobnych podstron