rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, testowanie hipotez statystycznych

4. Testowanie hipotez statystycznych
Badania statystyczne mają na ogół dwojaki cel:
- ocenę nieznanych parametrów rozkładów, lub
- potwierdzenie (niekiedy obalenie) pewnych przypuszczeń, nazywanych hipotezami
statystycznymi, dotyczących rozkładów.
Metody statystyczne, którymi zajmowaliśmy się dotychczas , słu\yły do oceny nieznanych parametrów.
Obecnie poznamy metody słu\ące do sprawdzania (weryfikacji) hipotez statystycznych.
Hipotezą statystyczną nazywamy sformułowane przypuszczenie, które dotyczy:
1. wartości nieznanych parametrów w populacji generalnej - hipotezy parametryczne,
2. kształtu rozkładów teoretycznych dla obserwowanych zmiennych losowych - hipotezy
nieparametryczne.
Weryfikację stawianych hipotez statystycznych przeprowadza się na podstawie otrzymanych wyników
próby losowej.
Procedura postępowania, za pomocą której z ka\dej mo\liwej dokonanej próby losowej {Xi}, przy
ustalonym prawdopodobieństwie, formułujemy wniosek (decyzję) przyjęcia lub odrzucenia
weryfikowanej hipotezy, jest nazywana testem statystycznym.
W celu zilustrowania problemu testowania hipotez statystycznych rozpatrzmy następujący przykład:
a) W fabryce jest maszyna do produkcji pewnych detali. Aby sprawdzić, jaki procent wyrobów
produkowanych przez nią ma wady, trzeba wylosować pewną liczbę detali i zbadać, ile z nich nie spełnia
przyjętej normy jakości. Jeśli wylosowano n detali i wśród nich jest nw wadliwych, to: nw/n jest oceną
prawdopodobieństwa wyprodukowania wadliwego detalu przez badaną maszynę. Zadanie sprowadza się
więc do oceny pewnego parametru.
b) Fabryka chce kupić nową maszynę, a producent zapewnia, \e przeciętnie tylko 1 na 100
wyprodukowanych detali jest wadliwy. Aby to sprawdzić losuje się np. 500 detali wyprodukowanych na
tej maszynie i bada się ich jakość. Przypuśćmy, \e nw = 20 z nich nie spełnia normy jakości. Czy na
podstawie takiego wyniku badań mo\na odrzucić zapewnienie producenta? Zadanie więc sprowadza się
do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy producenta, \e prawdopodobieństwo
wyprodukowania wadliwego elementu nie jest większe od 1/100 = 0,01.
Ogólne sformułowanie problemu testowania hipotez statystycznych
Niech f (x,� ) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa rozwa\anej cechy X. Zakładamy, \e funkcja ta jest
znana z dokładnością do parametru � .
Stawiamy hipotezę zwaną hipotezą zerową H0 orzekającą, \e � = �0 , gdzie �0 jest określone w wyniku
badań (estymator).
Ze zbioru wszystkich mo\liwych w danym zagadnieniu hipotez wyró\niamy, ze względu na aspekt
praktyczny, tę hipotezę, która podlega weryfikacji. Tę wyró\nioną hipotezę nazywamy hipotezą zerową i
oznaczać symbolem H0.
Wszystkie pozostałe hipotezy nazywamy hipotezami alternatywnymi i oznaczamy symbolem H1.
Hipoteza zerowa H0 - podstawowe przypuszczenie, które jest przedmiotem weryfikacji.
Hipoteza alternatywna H1 - hipoteza konkurencyjna w stosunku do hipotezy zerowej:
H0: w populacji generalnej występuje pewna własność,
H1: w populacji generalnej nie występuje pewna własność.
W procesie weryfikacji:
- odrzuca się hipotezę H0 i wówczas przyjmuje się hipotezę H1 lub:
- stwierdza się, \e nie ma podstaw, aby odrzucić hipotezę H0.
Aby sprawdzić hipotezę H0, pobieramy próbę z rozwa\anej populacji:
x1,...xn - niezale\ne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie f (x,� ) .
0 <
Następnie przyjmujemy pewien poziom istotności ą , gdzie ą <1
i konstruujemy na podstawie
1-ą
wylosowanej próby przedział ufności dla parametru � na poziomie ufności .
H0 :�
Jeśli �0 znajdzie się w tym przedziale, przyjmujemy sprawdzaną hipotezę: = �0 . W przeciwnym
razie odrzucamy ją.
Stosowanie przedstawionej reguły sprawdzania hipotez statystycznych zapewnia kontrolę częstości
popełnianych tzw. błędów pierwszego rodzaju.
Błąd pierwszego rodzaju prawdopodobieństwo błędnego odrzucenia hipotezy H0 jest równe
przyjętemu poziomowi istotności ą .
Oznacza to, \e jeśli zastosowalibyśmy te regułę n razy w sytuacjach, kiedy postawione hipotezy są
prawdziwe, wówczas oczekiwana liczba błędnych decyzji byłaby równa ą * n
.
Przedstawioną metodę mo\na stosować do sprawdzania hipotez statystycznych dotyczących parametrów
ka\dego rozkładu.
Najwa\niejsze punkty tej metody:
1) Ustalenie rozkładu f (x,� ) badanej wielkości X.
2) Postawienie hipotezy H0 :� = �0 oraz hipotezy alternatywnej H1.
3) Ustalenie poziomu istotności ą ( zwykle 0,01, 005 )..
1-ą
4) Skonstruowanie dla parametru � przedziału ufności na poziomie ufności .
5) Pobranie próby (przeprowadzenie eksperymentu i zanotowanie wyników).
(1-ą)%
6) Przyjęcie hipotezy H0, jeśli �0 le\y w przedziale ufności (obszar przyjęć).
(1-ą)%
7) Odrzucenie hipotezy H0, gdy �0 nie le\y w przedziale ufności (obszar krytyczny).
Punkty 4, 6, 7 mo\na zastąpić punktami równowa\nymi:
4a) Określenie statystyki testowej T oraz obszaru przyjęć i obszaru krytycznego dla hipotezy H0.
6a) Przyjęcie hipotezy H0, jeśli zaobserwowana wartość T znajdzie się w tzw. obszarze przyjęć.
7a) Odrzucenie hipotezy H0, jeśli zaobserwowana wartość T znajdzie się w tzw. obszarze krytycznym.
Testowanie jest prawidłowe tylko wtedy, gdy kolejne etapy są wykonywane w podanej kolejności.
Hipotezę nale\y formułować przed eksperymentem. Ka\de odstępstwo powoduje, \e tracimy kontrolę nad
prawdopodobieństwem popełnienia błędu pierwszego rodzaju.
Błąd pierwszego rodzaju prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa.
Błąd drugiego rodzaju przyjęcie hipotezy H0 jako prawdziwej, podczas gdy jest ona fałszywa.
W testach statystycznych stosowanych w praktyce bardzo często nie określa się błędu drugiego rodzaju,
natomiast zbiór krytyczny buduje się w ten sposób, aby zagwarantować małe prawdopodobieństwo
(równe obranemu poziomowi istotności ą ) zaobserwowania wartości statystyki testowej nale\ącej do
tego zbioru. Je\eli obliczona wartość statystyki testowej będzie zawierała się w ustalonym zbiorze
krytycznym, to będzie mo\na twierdzić, \e zaszło zdarzenie o małym prawdopodobieństwie ą i
wówczas weryfikowaną hipotezę H0 nale\y odrzucić. W przypadku, gdy obliczona wartość statystyki
testowej nie znajdzie się w zbiorze krytycznym, a to oznacza \e prawdopodobieństwo takiego zdarzenia
jest większe od ą , to mo\na jedynie twierdzić, \e nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy
H0 na podstawie analizowanej jednej próby.
Konstrukcja wy\ej określonych testów jest dosyć prosta, gdy\ nie uwzględnia błędu drugiego rodzaju.
Ceną za tę prostotę jest to, \e nie mo\emy formułować wniosku o przyjęciu weryfikowanej hipotezy H0 ,
lecz zawsze formułujemy wniosek o treści: brak podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy H0 .
Opisany powy\ej rodzaj testów nosi nazwę testów istotności. W testach tych wskazane jest takie
sformułowanie hipotezy H0, co do której mamy większe przekonanie o jej fałszywości ni\ o jej
prawdziwości.
Zwróćmy uwagę na to, \e nie został tutaj postawiony problem, aby rozstrzygać o tym, czy postawiona
hipoteza H0 jest czy nie jest prawdziwa. Ograniczyliśmy się tylko do podania reguły określającej, kiedy na
podstawie próby hipotezę H0 nale\y przyjąć, a kiedy odrzucić. Przyjęcie hipotezy H0 nie oznacza naszego
całkowitego przekonania o jej prawdziwości. Równie\ jej odrzucenie, nie oznacza, \e jesteśmy
przekonani o tym, \e jest ona fałszywa.
Obszar krytyczny testu - to podzbiór przestrzeni próby o tej własności \e jeśli otrzymamy w próbie
punkt przestrzeni próby nale\ący do tego podzbioru, to podejmuje się decyzję odrzucenia hipotezy
zerowej. W zale\ności od hipotezy alternatywnej (H1) i zerowej (H0) wyró\nia się:
- obszar krytyczny testu dwustronny: jest to obszar zło\ony z dwóch rozłącznych podzbiorów z
przestrzeni próby wyznaczony najczęściej symetrycznie w rozkładzie statystyki. Testu z
dwustronnym obszarem krytycznym u\ywa się zwykle wtedy gdy hipoteza alternatywna jest w
postaci nierówności typu `" ,
- obszar krytyczny testu jednostronny: jest to obszar zło\ony z jednego podzbioru przestrzeni
próby wybranego z jednej strony w rozkładzie odpowiedniej statystyki. Hipoteza alternatywna
H1 występuje w postaci nierówności typu < lub >.
U1- ą
1) rozkład dwustronny (obszar krytyczny testu dwustronny )
1
2
H0 : m = m0
H1 : m `" m0
średnia z próby jest zgodna ze średnią populacji generalnej, dla rozkładu dwustronnego wartość statystyki
t odczytujemy z tablicy t - Studenta dla n-1 i ą
ą
ą
ą
2) rozkład prawostronny (obszar krytyczny prawostronny U1-ą )
H0 : m = m0
H1 : m > m0
dla rozkładu prawostronnego wartość statystyki t odczytujemy z tablicy t - Studenta dla n-1 i 2ą
3) rozkład lewostronny (obszar krytyczny lewostronny Uą (-) )
H0 : m = m0
H1 : m < m0
dla rozkłady lewostronnego wartość statystyki t odczytujemy z tablicy t - Studenta dla n-1 i 2ą.
4.1. Przykłady testów statystycznych.
4.1.1. Testy dla wartości średniej.
Niech nieznanymi parametrami próby będą wartość oczekiwana i wariancja. Rozpatrzmy 3 modele:
1. rozkład normalny ze znaną wariancją,
2. rozkład normalny z nieznaną wariancją,
3. rozkład dowolny ze skończoną wariancją i du\a próba.
We wszystkich modelach n liczebność próby.
Model 1.
Populacja generalna ma rozkład N(m;� ) , odchylenie standardowe � jest znane. Nieznany jest parametr
m, dla którego stawiamy hipotezę:
H0 : m = m0 , przeciwko jednej z hipotez:
H1 : m `" m0 ,
H1 : m > m0 ,
H1 : m < m0 .
Do weryfikacji hipotezy H0 w tym modelu wykorzystujemy statystykę U, która jest ściśle związana z
wartością X i odchyleniem standardowym � :
X - m0
U = n , (4.1)
�
która przy zało\eniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład normalny standaryzowany N(0;1).
W przypadku hipotezy alternatywnej:
H1 : m `" m0 obszar krytyczny jest dwustronny , symetryczny i dla poziomu istotności ą ma postać
(-",-uą ) *" (uą ,") , gdzie uą wyznacza się z:
P(| U |> uą ) = 2P(U > uą ) = 2(1- Ś(uą )) = ą .
ą
A stąd: Ś(uą ) = 1- , gdzie uą - wartość zmiennej losowej U odczytana z tablicy dystrybuanty
2
rozkładu normalnego standaryzowanego.
W przypadku hipotezy alternatywnej:
H1 : m < m0 obszar krytyczny jest lewostronny: (-",-uą ) , gdzie wyznacza się z: < -uą ) = ą .
uą P(U
W tym przypadku: Ś(-uą ) = 1- Ś(uą ) = ą , czyli: Ś(uą ) = 1-ą ,
gdzie uą - wartość zmiennej losowej U odczytana z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego
standaryzowanego.
H1 : m > m0 obszar krytyczny jest prawostronny: (uą ,") , gdzie uą wyznacza się z: P(U > uą ) = ą .
W tym przypadku: 1- Ś(uą ) = ą , czyli: Ś(uą ) = 1-ą ,
gdzie uą - wartość zmiennej losowej U odczytana z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego
standaryzowanego.
Przykład 4.1.
Pewna populacja generalna ma rozkład normalny N( m ; 0,2 ). Pobrano z niej próbę n = 100 danych i
otrzymano wartości: X =2,0031 i \ =0,1967.
Sprawdzić na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezę, \e m = 2.
Model 2.
Populacja generalna ma rozkład N(m;� ) , odchylenie standardowe � jest nieznane. Hipotezy zerowa i
alternatywne są takie same jak w poprzednim modelu. Poniewa\ � nie jest znane, więc statystyka słu\ąca
do weryfikacji hipotezy będzie dana wzorem (przy zało\eniu prawdziwości hipotezy H0):
:
X - m0 X - m0
t = n -1 = n
, (4.2)
S
\
o której wiemy, \e ma rozkład niezale\ny od � , a mianowicie rozkład t Studenta o n-1 stopniach
swobody.
tą
Wobec tego wyznaczamy ze wzorów:
P(| t |> tą ) = ą dla dwustronnego obszaru krytycznego, lub
P(t > tą ) = ą dla jednostronnych obszarów krytycznych.
tą
Je\eli tablice statystyczne podają tylko wartość dla danych ą i n, to przy jednostronnych obszarach
krytycznych trzeba skorzystać z zale\ności:
2P(t > tą ) = P(| t |> tą ) .
Hipotezę H0 : m = m0 odrzucamy, gdy
S
| X - m0 |> tą
,
n -1
S
| X - m0 |d" tą
a przyjmujemy, gdy
n -1
0.40
0.35
Jednostronny obszar krytyczny
0.30
(-", -tn,ą)
0.25
0.20
0.15
t2ą ,n-1
1-ą
ą
0.10
0.05
0.00
-3 -2 -1 0 1 2 3
-tn,ą tn,ą
0 .4 0
Dwustronny obszar krytyczny
0 .3 5
(-", -tn,ą), (tn,ą, +")
0 .3 0
0 .2 5
0 .2 0
0 .1 5
tą ,n-1
1 -ą
ą/2
ą/2
0 .1 0
0 .0 5
0 .0 0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-t t
n ,ą n ,ą
0.4 0
0.3 5
0.3 0
0.2 5
Jednostronny obszar krytyczny
0.2 0
(tn,ą, +")
0.1 5
1-ą ą
0.1 0
0.0 5
t2ą ,n-1
0.0 0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-tn,ą tn,ą
Przykład 4.2.
Pewna populacja generalna ma rozkład normalny N(m;� ) . Pobrano z niej próbę n = 4 dane i otrzymano
wartości: X = 1,9650 i S = 0,1464.
Sprawdzić na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezę, \e m = 1,8.
Model 3.
Populacja generalna ma rozkład dowolny o skończonej wariancji , parametr � mo\e, ale nie musi być
znany, natomiast próba jest du\a ( n > 30). Aby móc zweryfikować hipotezę o nieznanej wartości
przeciętnej cechy X takiej populacji, musimy znać rozkład jakiejś statystyki, która mo\e słu\yć za test.
Tylko wtedy mo\emy zbudować obszar krytyczny. Nie znając rozkładu cechy X, nie potrafimy znalezć
dokładnego rozkładu \adnej statystyki. Nie jest to jednak sytuacja bez wyjścia. Mo\na bowiem skorzystać
z twierdzenia Lindeberga Levy ego, które mówi, \e jeśli n jest dostatecznie du\e, a zmienne losowe
X1, X ,..., X są niezale\ne, o jednakowym rozkładzie, i zachodzi: E(X1) = ... = E(Xn) = m oraz:
2 n
n
1
X = X
V(X1) =...= V(Xn) = �2, to zmienna losowa ma rozkład normalny o parametrach m i
n " k
n
k =1
2 2
� H" Sn
� / n . Przyjmujemy równie\ : ( wariancja empiryczna jest zbie\na z prawdopodobieństwem 1
do wariancji rozwa\anej cechy populacji generalnej). Wobec powy\szego, dochodzimy do wniosku, \e
chcąc zweryfikować hipotezę:
H0 : m = m0 , przeciwko hipotezie alternatywnej:
H1 : m `" m0 ,
w przypadku, gdy nie ma \adnych informacji o postaci rozkładu cechy X w populacji, nale\y pobrać
X
dostatecznie liczną próbę, a następnie za test przyjąć statystykę .
n
Hipotezę H0 przyjmujemy, gdy:
| X - m0 |
n
n d" uą
(4.3)
Sn
odrzucamy, jeśli:
| X - m0 |
n
n > uą
Sn
gdzie uą jest liczbą odczytaną z tablicy rozkładu normalnego, spełniającą warunek:
| X - m0 |
n
P( n > uą ) = ą
(4.4)
Sn
Przykład 4.3.
Zu\ycie wody przez zakład przemysłowy podlega losowym wahaniom w kolejnych dniach. Na podstawie
X
obserwacji dla n=256 dni stwierdzono, \e średnie dzienne zu\ycie wody wynosi =102 hl, a średnie
256
2 2
S256 = 64hl
odchylenie kwadratowe . Przyjmując poziom istotności ą = 0.05, zweryfikować hipotezę,
\e średnie dzienne zu\ycie wody wynosi 100 hl.
4.1.2. Testy weryfikujące hipotezę o równości dwóch wartości oczekiwanych
Model I.
Często zachodzi konieczność porównania wyników dwóch prób i odpowiedzenia na pytanie, czy
pochodzą one z tej samej populacji generalnej. Populacje mają rozkłady N(m1;�1) i N(m2;� ) , a
2
odchylenia standardowe �1,� są znane. Nieznane są parametry m1,m2 , dla których stawiamy hipotezę:
2
H0 : m1 = m2 , przeciwko jednej z hipotez alternatywnych:
H1 : m1 `" m2 ,
H1 : m2 > m2 ,
H1 : m1 < m2 .
Z dwóch niezale\nych prób o licznościach n1,n2 obliczamy statystykę:
X1 - X
2
U = (4.7)
2 2
�1 �
2
+
n1 n2
Statystyka ta ma, przy zało\eniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład N( 0 ; 1 ). Obszar krytyczny
przyjmujemy dwustronny, prawostronny lub lewostronny, w zale\ności od hipotezy alternatywnej.
Model II.
Populacje mają rozkłady N(m1;�1) i N(m2;� ) , a odchylenia standardowe �1,� są nieznane, ale
2 2
wiadomo \e są równe: � = �1 = � . Mo\na udowodnić następujące twierdzenie:
2
Twierdzenie:
Je\eli mamy dwie próby wylosowane z populacji o takiej samej wariancji � i rozkładach N(m1;� ) ,
N(m2;� ) , to statystyka:
X1 - X
2
t = (4.8)
2
n1S12 + n2S2 1 1
( + )
n1 + n2 - 2 n1 n2
ma, przy zało\eniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład t Studenta o n1 + n2 - 2 stopniach swobody.
Model III
Nieznany (dowolny) rozkład, du\a próba. Sprawdzianem testu jest statystyka:
X1 - X
2
u =
2
S12 S2
+
n1 n2
4.1.3 Testy dla wariancji.
Niech badana cecha X populacji generalnej ma rozkład normalny N(m;� ) , przy czym oba parametry są
nieznane. Formułujemy hipotezę:
2 2
H0 :� = � , wobec hipotez alternatywnych:
0
2 2
H1 :� `" � ,
0
2 2
H1 :� > � ,
0
2 2
H1 :� < � .
0
Zakładamy poziom istotności ą " (0;1) .
2
Do testowania hipotezy w tym modelu wykorzystujemy statystykę � :
2 2
nS (n -1)\
2
�obs = =
(4.5)
2 2
� �
0 0
która, przy zało\eniu prawdziwości hipotezy H0 , ma rozkład chi kwadrat o n 1 stopniach swobody.
2 2
a) Gdy hipotezą alternatywną jest: H1 :� < � , wówczas zbiorem krytycznym jest przedział:
0
(0; �1-ą;n-1] ; �1-ą ;n-1 - kwantyl rozkładu chi kwadrat o n-1 stopniach swobody.
, gdzie:
2 2
b) Gdy hipotezą alternatywną jest: H1 :� > � , wówczas zbiorem krytycznym jest przedział:
0
[ �ą ;n-1 ;+ ") ; �ą ;n-1 - kwantyl rozkładu chi kwadrat o n-1 stopniach swobody.
, gdzie:
2 2
c) Gdy hipotezą alternatywną jest: H1 :� `" � , wówczas zbiorem krytycznym jest przedział:
0
2
(0;�1-ą / 2;n-1]*"[�ą / 2;n-1 ;+ ")
2
2 2
�ą
P(� > �ą ) = ą .
Z tablic otrzymujemy wartość taką, \e
2 2
Hipotezę H0 :� = � odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, jeśli obliczona z próby wartość
0
2
�obl
statystyki testowej nale\y do zbioru krytycznego. Gdy obliczona z próby wartość statystyki testowej
nie mieści się w wyznaczonym w wyznaczonym zbiorze krytycznym, to mo\emy tylko stwierdzić, \e nie
2 2
ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 :� = � . Oznacza to, \e wyniki uzyskane z analizowanej próby
0
nie przeczą tej hipotezie.
2
�
Jeśli liczebność próby n jest du\a, to statystyka określona wzorem (4.5) ma rozkład asymptotycznie
N (n; 2n)
normalny . Dlatego zamiast statystyki (4.5) wygodniej jest u\yć statystyki:
2
� - n
U =
(4.6)
2n
o rozkładzie normalnym standaryzowanym N( 0 ; 1).
Przykład 4.4.
Pewnym przyrządem dokonano 10 pomiarów pewnej wielkości otrzymując następujące wyniki: 4.98,
4.92, 4.88, 4.98, 5.02, 4.99, 5.08, 5.03, 4.86, 4.93. Dane te pochodzą z próby o rozkładzie normalnym.
a) Sprawdzić, \e pomiarów dokonano przyrządem o dokładności nie gorszej ni\ 0.05.
b) Sprawdzić, \e pomiarów dokonano przyrządem o dokładności nie gorszej ni\ 0.1.
Przyjąć poziom istotności 0,05.
4.1.4. Test dla wskaznika struktury (rozkład dwumianowy).
Populacja generalna ma rozkład 2 punktowy z parametrem p, próba du\a (n>100)
H : p = p0
0
H1 : p `" p0
H1 : p > p0
H1 : p < p0
m
- p0
n
p0 + q0 =1
m
U =
Statystyka testowa:
p0q0 , gdzie: n = p , oraz zachodzi: q0 =1- p0
n
- jeśli H1 : p `" p0 i U e" Uą to odrzucamy H0
- jeśli H1 : p > p0 i U e" Uą to odrzucamy H0
- jeśli H1 : p < p0 i U d" Uą to odrzucamy H0
Wartość p.
Decyzja o przyjęciu lub odrzuceniu sprawdzanej hipotezy H0 zale\y od przyjętego poziomu istotności.
Mo\e się zdarzyć, \e przy poziomie istotności ą =0.01 nale\y ją przyjąć, a przy poziomie ą = 0.05
odrzucić. Dlatego bardzo często w opracowaniach statystycznych podaje pewien wskaznik, nazywany
wartością p ( p - value).
Wartość p jest to najmniejszy poziom istotności , przy którym musielibyśmy, dla danej próby, jeszcze
odrzucić sprawdzaną hipotezę.
Mając taki wskaznik, wiadomo, dla jakich poziomów istotności ą sprawdzaną hipotezę H0 nale\y przyjąć.
Nale\y ją przyjąć jeśli wartość p > ą .
ZADANIA.
Zadanie 4.8.
W pewnej fabryce maszyna jest ustawiona tak, aby produkować zakrętki do butelek o średnicy 2 cm.
Zaistniało podejrzenie, \e maszyna się rozregulowała. Przebadano 10 nakrętek i otrzymano następujące
wyniki:
�0 S
X
=2 cm, = 1,992 cm, = 0,006 cm.
Zweryfikować na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezę głoszącą, \e średnia z próby jest:
1) ró\na od średniej populacji,
2) większa od średniej z populacji,
3) jest mniejsza od średniej z populacji.
Zadanie 4.9.
Norma techniczna przewiduje średnio 55 sek. na wykonanie pewnej operacji technicznej przez
robotników na pewnym stanowisku roboczym. Poniewa\ robotnicy skar\yli się \e norma ta jest zła
dokonano pomiarów chronometra\owych dla 60 wylosowanych robotników i otrzymano z tej próby
średnią równą 72 sek. oraz odchylenie standardowe równe 20 sek. Czy mo\na na poziomie istotności
ą = 0,01 odrzucić hipotezę \e rzeczywisty średni czas wykonania tej operacji jest zgodny z normą?
Zadanie 4.10.
Wylosowano niezale\nie 10 indywidualnych gospodarstw rolnych w pewnej wsi i otrzymano dla nich
następujące wielkości uzyskanych plonów owsa:
18.1, 17.0, 17.5, 17.8, 18.3, 16.7, 18.0, 15.9, 17.6, 18.1
Zweryfikuj hipotezę \e średni plon owsa w tej wsi wynosi 18.0 kwintali z hektara przy poziomie
istotności ą = 0.1.
Zadanie 4.11.
Na 800 zbadanych pacjentów pewnego szpitala 320 miało grupę krwi 0. Na poziomie istotności ą = 0.05
zweryfikuj hipotezę \e procent pacjentów z tą grupą krwi wynosi 35%.
Zadanie 4.12.
W magazynie \ywnościowym wylosowano niezale\nie 120 składowanych tam skrzynek z cytrynami. Po
ich zbadaniu okazało się, \e w 16 skrzynkach znaleziono zepsute cytryny. Na poziomie istotności
ą = 0,05 zweryfikuj hipotezę \e przechowywana partia zawiera więcej ni\ 5% skrzynek z zepsutymi
cytrynami.
Zadanie 4.13.
Producent oświadcza, \e średni czas świecenia \arówek produkowanych przez niego wynosi 1000
godzin. Aby zweryfikować hipotezę H0 : m = 1000, zbadano czas świecenia n = 100 \arówek i
stwierdzono, \e w tej próbie X = 990 oraz S2 = 144 godziny2.
W oparciu o poziom istotności ą = 0,02 zweryfikuj postawioną hipotezę.
Zadanie 4.14.
Sprawdzić na poziomie istotności 0,05 hipotezę, \e średni wzrost dorosłych Polaków to 175cm.
Na podstawie pomiarów 100 wybranych losowo Polaków otrzymano wyniki:
X =171 cm oraz S2= 9 cm2. Zało\yć, \e wzrost Polaków podlega rozkładowi normalnemu.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, testy nieparametryczne, testy zgodności
rafajłowicz,Inżynierskie zastosowania statystyki, estymacja podziałowa
Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych
Teoria 7 Testowanie hipotez
9 Testowanie hipotez
testowanie hipotez
Testowanie hipotez cz 2
20 Testowanie hipotez
Testowanie hipotez
1 wzory testowanie hipotezid121
Testowanie hipotez Testy t Studenta dla rozkładu normalnego
sokolski,statystyka inżynierska,regresja liniowa
sokolski,statystyka inżynierska,Estymacja przedziałowa

więcej podobnych podstron