Teoria VII
Inżynieria Biomedyczna I rok, semestr letni 2009/2010
12/13 maja 2010 r.
Parametryczne testy istotności
Weryfikacja hipotez statystycznych
Każde badanie naukowe należy rozpocząć od sformułowania problemu badawczego oraz
najbardziej prawdopodobnego (na gruncie wiedzy badającego) ogólnego rozwiązania,
czyli hipotezy badawczej. Poprawne sformułowanie hipotezy w dużej mierze przesądza
o sukcesie badawczym. Hipoteza powinna być tak sformułowana, aby łatwo ją można
było przyjąć lub odrzucić.
Hipoteza statystyczna jest to pewne przypuszczenie
dotyczące rozkładu populacji testowanej przy wykorzy-
staniu wyników próby losowej pobranej z tej populacji.
Weryfikacja hipotez statystycznych jest zasadniczą domeną statystyki. Prawdziwość
hipotezy weryfikuje się na podstawie wyników próby losowej.
Tradycyjnie hipotezy dzieli siÄ™ na dwie grupy:
" parametryczne - są związane z wartościami parametrów rozkładów populacji (np.
średnia, wariancja)
" nieparametryczne - dotyczą generalnie typu rozkładu populacji (postaci rozkładu
cech lub losowości próby)
Przebieg weryfikacji hipotezy przebiega według pewnego schematu postępowania,
który nazywany jest testem statystycznym. Gdy weryfikujemy hipotezę parame-
tryczną, to mówimy o testach parametrycznych. Ogólnie testy pozwalają na podstawie
wyników z próby podjąć decyzję o odrzuceniu lub nie postawionej hipotezy.
Test przebiega następująco:
" stawiamy hipotezę, która będzie podlegała sprawdzeniu. Nazywa się ją hipotezą
zerowÄ… i oznacza jako H0.
" następnie formułujemy hipotezę alternatywną, określaną jako H1, która będzie
konkurencyjna do hipotezy zerowej. Jeżeli testowana hipoteza zerowa zostanie od-
rzucona, wówczas przyjmujemy hipotezę alternatywną.
W trakcie weryfikacji hipotez szukamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
na korzyść przyjęcia jej alternatywy!
1
" przyjmujemy odpowiedni poziom istotności. Weryfikacja powinna przebiegać
tak, aby zapewnić jak najmniejsze prawdopodobieństwo pomyłki. Jednak zawsze
istnieje ryzyko popełnienia jednego z dwóch błędów:
 błąd pierwszego rodzaju - polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, mimo
że jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego
rodzaju jest nazywane poziomem istotności i oznaczane przez ą. Najczęściej
ą przyjmuje wartości 0.05, 0.01 i 0.001.
 błąd drugiego rodzaju - polega na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy w rzeczy-
wistości jest ona fałszywa. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego
rodzaju oznaczamy ².
Poniżej przedstawiono zestawienie omówionych wyżej błędów:
Hipoteza zerowa DECYZJE
Przyjąć H0 Odrzucić H0
Hipoteza zerowa prawdziwa decyzja prawidłowa błąd I rodzaju
Hipoteza zerowa fałszywa błąd II rodzaju decyzja prawidłowa
WartoÅ›ci Ä… i ² sÄ… ze sobÄ… powiÄ…zane tak, że jeÅ›li zmniejszymy Ä…, to automatycznie
zwiÄ™kszeniu ulegnie ². StÄ…d wynika, że niemożliwe jest równoczesne minimalizo-
wanie prawdopodobieństwa popełnienia obu błędów. Potrzebny jest więc pewien
kompromis, który przy założonym z góry poziomie istotności ą zapewniłby moż-
liwie najmniejszÄ… wartość prawdopodobieÅ„stwa ². A to umożliwiajÄ… tzw. testy
istotności.
Moc testu = 1 - ². Jest to prawdopodobieÅ„stwo od-
rzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa. Moc
testu jest zależna od poziomu istotności, postaci hipo-
tezy alternatywnej oraz od liczebności próby.
W statystyce stosuje się zasadę  domniemania prawdziwości hipotezy zerowej .
W tym celu określa się granicę błędu I rodzaju, czyli poziom istotności. Przy
doborze poziomu istotności trzeba mieć świadomość tego, że im jest niższy, tym
wyższy poziom wiarygodności hipotezy alternatywnej, ale też tym trudniej odrzu-
cić hipotezę zerową.
" W kolejnym kroku dobieramy odpowiedni test i obliczamy go w oparciu o dane
pochodzące z próby. Jest najważniejszym krokiem w trakcie weryfikacji hipotez.
Najlepszym jest ten test, który przy przyjętym poziomie istotności jest testem
najmocniejszym, czyli ma najmniejsze prawdopodobieństwo popełnienia błędu II
rodzaju.
" Po doborze odpowiedniego testu należy znalez
ć obszary krytyczne i w oparciu
o nie podjąć decyzję o odrzuceniu lub nie hipotezy zerowej.
Obszar krytyczny może być obszarem dwustronnym,
gdy obejmuje wszystkie wartości testu zdecydowanie od-
biegające od przyjętej wartości hipotetycznej, obszar le-
wostronny obejmowałby tylko wartości dużo mniejsze
oraz obszar prawostronny - dużo większe.
2
" Podjęcie decyzji o odrzuceniu lub nie hipotezy zerowej na danym poziomie istotno-
ści jest ostatnim etapem kończącym proces weryfikacji hipotezy. Jeżeli obliczona
na podstawie próby wartość statystyki należy do obszaru krytycznego, to H0 od-
rzucamy. W przeciwnym wypadku stwierdza się, że nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej, gdyż nieodrzucenie hipotezy zerowej nie dowodzi jej prawdziwości.
Testy dla średniej
Służą do wnioskowania o wartości średniej w populacji, z której została pobrana próba
losowa. Najczęściej formułuje się pytanie: czy średnia wartość analizowanej cechy w
populacji (µ) jest równa zadanej z góry pewnej wartoÅ›ci (µ0)? Hipoteza zerowa wyglÄ…da
wówczas następująco:
H0 : µ = µ0
Wobec hipotezy alternatywnej (będącej zaprzeczeniem hipotezy alternatywnej):
H1 : µ = µ0 lub H1 : µ < µ0 lub H1 : µ > µ0

Postać funkcji testowej, nazywanej statystyką, zależy od trzech okoliczności:
" Rozkładu cechy w populacji
" Znajomości odchylenia standardowego w populacji
" Liczebności próby
W zależności od posiadanych informacji o populacji wyróżnia się trzy podstawowe
testy istotności dla średniej:
" Test I. Przyjmujemy, że populacja generalna ma rozkÅ‚ad normalny N(µ, Ã) o nie-
znanej Å›redniej µ i znanym odchyleniu standardowym Ã. Wówczas statystyka te-
"
x-µ0
stująca przyjmuje postać: Z = n, gdzie x to średnia z próby, n - liczebność
Ã
próby, a µ0 to hipotetyczna wartość. Statystyka Z ma rozkÅ‚ad normalny N(0,1).
" Test II. Przyjmujemy, że populacja generalna ma rozkÅ‚ad normalny N(µ, Ã) o nie-
znanej Å›redniej µ i nieznanym odchyleniu standardowym Ã. Ponadto liczebność
próby jest mała (n < 30). Wówczas statystyka testująca przyjmuje postać t =
"
x-µ0
n, gdzie x oraz s to średnia i odchylenie standardowe z próby, n - liczebność
s
próby, a µ0 jest wartoÅ›ciÄ… hipotetycznÄ…. Statystyka t ma rozkÅ‚ad t-Studenta o n-1
stopniach swobody.
" Test III. ZakÅ‚adamy, że rozkÅ‚ad populacji jest dowolny o nieznanej Å›redniej µ
i nieznanym odchyleniu standardowym Ã. Dysponujemy jednak dużą próbÄ… losowÄ…
"
x-µ0
(n > 30). Wówczas statystyka testująca przyjmuje postać: Z = n, gdzie x
Ã
to Å›rednia z próby, n - liczebność próby, µ0 - wartość hipotetyczna. Statystyka Z
ma rozkład normalny N(0, 1).
3