TESTOWANIE HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH
 Drugim, oprócz teorii estymacji,
podstawowym działem wnioskowania
statystycznego jest teoria weryfikacji
hipotez statystycznych.
Twórcami podstaw tej teorii z lat
30 tych XX wieku są J.Spława-
Neyman i E.S.Pearson.
Definicja hipotezy statystycznej
Przez hipotezÄ™ statystycznÄ…
rozumie siÄ™ dowolne przypuszczenie
co do rozkładu populacji generalnej
(jego postaci funkcyjnej lub wartości
parametrów). Prawdziwość tego
przypuszczenia jest oceniana na
podstawie wyników próby losowej.
Podział hipotez statystycznych
Hipotezy statystyczne dzielimy na :
- proste,
- złożone,
- parametryczne,
- nieparametryczne.
Przykłady hipotez
nieparametrycznych
Przypuśćmy, że zmienna losowa w populacji
generalnej jest skokowa.
Zatem zbiór hipotez dopuszczalnych zawiera
wszystkie możliwe rozkłady skokowe.
Jeżeli sformułujemy hipotezę, że badana populacja
ma rozkład Poissona, to jest to hipoteza
nieparametryczna oraz złożona, bo na podzbiór
hipotez składają się wszystkie rozkłady różniące
siÄ™ parametrem lð.
Gdyby ta hipoteza była sformułowana jako
przypuszczenie, że populacja ma rozkład Poissona
z lð=0.5, to byÅ‚aby to hipoteza prosta.
Przykłady hipotez
parametrycznych
Jeżeli o innej populacji wiemy, że jest
normalna, to jeśli sformułujemy
hipotezę, że parametr m w rozkładzie
populacji generalnej ma wartość 150,
to jest to hipoteza parametryczna i
złożona.
Gdybyśmy zbiór hipotez ograniczyli do
rozkładów normalnych z parametrem
sð =10, to powyższa hipoteza, że
m=150 byłaby prosta.
Po sformułowaniu odpowiedniej
hipotezy dotyczÄ…cej populacji
generalnej niezbędne jest określenie
zasad weryfikacji tej hipotezy, tzn
zasad postępowania, umożliwiającego
stwierdzenie na podstawie wyników
próby, czy hipotezę tę możemy uznać
za słuszną czy nie.
Test statystyczny
Testem statystycznym nazywamy
regułę postępowania, która każdej
możliwej próbie przyporządkowuje
decyzją przyjęcia lub odrzucenia
hipotezy. Oznacza to, że test
statystyczny jest regułą
rozstrzygającą, jakie wyniki próby
pozwalają uznać sprawdzaną hipotezę
za prawdziwÄ…, jakie natomiast  za
fałszywą.
Zasady konstruowania
testów
1. Na etapie pierwszym formułuje się
hipotezę, która podlega weryfikacji.
TÄ™ sprawdzanÄ… hipotezÄ™ nazywa siÄ™
zerowÄ… i zapisuje jako H0: F(x)Îðwð0 .
Oprócz niej formułuje się hipotezę
alternatywnÄ… H1: F(x)Îðwð1, która jest
odpowiednim zaprzeczeniem
hipotezy zerowej i którą przyjmuje
siÄ™ za prawdziwÄ… w przypadku
odrzucenia hipotezy zerowej.
Zasady konstruowania
testów
2. Konstrukcja testu polega na określeniu
takiego obszaru przestrzeni próby w, że
jeżeli wynik próby znajdzie się w tym
obszarze, to sprawdzanÄ… hipotezÄ™ zerowÄ…
odrzucamy, jeśli natomiast wynik próby
należy do dopełnienia obszaru przestrzeni
próby W- w to hipotezę zerową
przyjmujemy.
Obszar w jest nazywany obszarem
odrzucenia hipotezy lub obszarem
krytycznym testu, natomiast W-w
obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.
Błędy testowania hipotez
W praktyce testowania hipotez określa się
odpowiednią statystykę z próby Zn , której
wartość z próby jest podstawą do podjęcia
decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu H0 i dla
której określa się obszar krytyczny.
Jeżeli na podstawie wyników z próby
uznamy za fałszywą i odrzucimy hipotezę
H0, która w istocie jest prawdziwa, to
popełniamy błąd I rodzaju.
Natomiast jeżeli przyjmiemy hipotezę H0,
która jest fałszywa, to popełniamy błąd II
rodzaju.
Błędy testowania hipotez
Testy konstruuje siÄ™ w taki
sposób, aby zminimalizować
prawdopodobieństwo
popełnienia błędu II rodzaju,
przy ustalonym z góry poziomie
prawdopodobieństwa
popełnienia błędu I rodzaju.
PARAMETRYCZNE TESTY
ISTOTNOÅšCI.
Do najczęściej wykorzystywanych
parametrycznych testów istotności
należą testy konstruowane na
podstawie zmiennych losowych:
- o rozkładzie normalnym,
- o rozkładzie t-Studenta,
- o rozkładzie Fishera-Snedecora.
Testy istotności dla wielkości
oczekiwanej.
W tym przypadku formułujemy
hipotezę, że wartość przeciętna
badanej cechy populacji jest równa
danej liczbie.
Rodzaj (model) wykorzystywanego
testu zależy od informacji jakie mamy
o populacji.
Zakładamy, że zmienna losowa ciągła
ma w zbiorowości generalnej rozkład
normalny.
Testy istotności dla wielkości
oczekiwanej.
Z populacji pobiera siÄ™ n-elementowÄ…
próbę losową prostą w celu
zweryfikowania:
hipotezy zerowej H0 : m = m0,
wobec
hipotezy alternatywnej H1 : m # m0,
gdzie m0 jest hipotetyczną wartością
średnią w populacji.
Testy istotności dla wielkości
oczekiwanej.
Jeżeli populacja generalna ma rozkład
N(µ,Ã) o znanym Ã, to do weryfikacji
hipotezy stosuje się test istotności o
postaci
X -ð m0
U =ð n
sð
gdzie X jest średnią arytmetyczną z
próby.
Statystyka U ma rozkład normalny
N(0,1).
Testy istotności dla wielkości
oczekiwanej.
Gdy badana cecha populacji ma
rozkÅ‚ad N(µ,Ã) o obu parametrach
nieznanych to do weryfikacji hipotezy
zerowej stosowany jest test oparty na
statystyce
X -ð m0
t =ð n -ð1
S
Przy założeniu prawdziwości hipotezy
zerowej statystyka t ma rozkład t
Studenta o n-1 stopniach swobody.
Testy istotności dla wielkości
oczekiwanej.
Jeżeli H0 jest prawdziwa, to średnia
arytmetyczna obliczona z próby nie
powinna się istotnie różnić od
hipotetycznej wartości m0.
Formalnie zdanie to możemy zapisać,
że wartość bezwzględna statystyki U
nie powinna przekroczyć wartości
krytycznej odczytanej z tablic
rozkładu normalnego N(0,1) przy
ustalonym poziomie istotnoÅ›ci að.
P( |U| >= uað ) = að.
Obszary krytyczne testu
Wartości zmiennej U spełniające
nierówność |U| >= uað tworzÄ…
dwustronny obszar krytyczny testu.
Hipoteza alternatywna może mieć
także postać :
H1 : m < m0, bÄ…dz

H1 : m > m0.
W pierwszym przypadku test
istotności ma lewostronny obszar
krytyczny, a w drugim prawostronny.
 Stosowanie testu istotności w tak
zbudowanych obszarach krytycznych
sprowadza siÄ™ do obliczenia na
podstawie wyników konkretnej próby
losowej wartości statystyki U i
sprawdzeniu, czy znajduje siÄ™ ona w
obszarze krytycznym, czy też nie.
 Tak wiÄ™c, jeżeli |U|>= uað , to
hipotezę odrzucamy, gdyż
różnica między średnią z próby, a
hipotetyczną wartością jest zbyt
duża (mówimy jest statystycznie
istotna).
Natomiast jeżeli |U| < uað , to
stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej
przy poziomie istotnoÅ›ci að.
Przykład 1.
Dzienne zużycie wody w procesie
produkcyjnym jest zmiennÄ… losowÄ… o
rozkÅ‚adzie normalnym N(m,sð).
Na podstawie obserwacji przez n=196
dni roku stwierdzono, że średnie
dzienne zużycie wody wynosi Xśr =
1025 m3, natomiast sð = 20 m3. Na
poziomie istotnoÅ›ci að = 0,05
zweryfikować hipotezę, iż średnie
dzienne zużycie wody nie różni się
istotnie od m0= 1000 m3 .
 WeryfikowanÄ… hipotezÄ… zerowÄ… jest
tu:
H0 : m = 1000, wobec hipotezy
alternatywnej
H1 : m # 1000.
Do weryfikacji wykorzystamy
statystykÄ™ U
 Co się zmieni jeżeli hipotezę
alternatywną sformułujemy jako
H1 : m > 1000.
Ze względu na postać H1 mamy do
czynienia z prawostronnym obszarem
krytycznym, określonym nierównością
U>= uað .
 Wreszcie gdyby hipoteza
alternatywna miała postać
H1 : m < 1000, to wartość krytyczną
odczytywalibyśmy z tablic rozkładu
dla lewostronnego obszaru
krytycznego
Testy istotności dla dwóch
wartości oczekiwanych
W praktycznych zastosowaniach
statystyki matematycznej
niejednokrotnie zachodzi konieczność
porównania dwóch średnich m1 i m2
w dwóch populacjach (np.
porównanie starej i nowej technologii
procesów).
Testy istotności dla dwóch
wartości oczekiwanych
Weryfikuje się wówczas hipotezę :
H0 : m1 = m2,
wobec odpowiedniej hipotezy
alternatywnej
H1 : m1 # m2 lub
H1 : m1 > m2 lub
H1 : m1 < m2.
Testy istotności dla dwóch
wartości oczekiwanych
Do weryfikacji omawianych hipotez
używane są testy istotności o postaci
X -ð X , gdy n1+n2>122
1 2
U =ð
2 2
s1 s2
+ð
n1 n2
lub
X -ð X
1 2
t =ð
2 2
n1s1 +ð n2s2
1 1
( +ð )
n1 +ð n2 -ð 2 n1 n2
Testy istotności dla dwóch
wartości oczekiwanych
Test t należy stosować pod
warunkiem, że odchylenia
standardowe w obu populacjach sÄ…
identyczne.
Jeśli hipoteza H0 jest prawdziwa, to
w/w statystyka ma rozkład t-Studenta
o n1+ n2  2 stopniach swobody.
Przedstawione przypadki
porównywania średnich dotyczyły
prób losowych niezależnych od siebie
Testowanie średnich z prób
zależnych
Ważnym obszarem porównywania
dwóch średnich jest przypadek prób
zależnych, gdy obserwacje do prób są
dobierane parami.
Występuje to wówczas, gdy
porównujemy jakiś proces przed jego
zmianÄ… i po jego zmianie.
(Powszechnie stosowany przy
sprawdzaniu skuteczności działania
leku na grupę pacjentów).
Testowanie średnich z prób
zależnych
Jeżeli przedmiotem analizy uczynimy
różnice obserwowanych par wartości,
to problem weryfikacji hipotezy
zerowej sprowadzimy do weryfikacji
hipotezy, że średnia różnic
dobieranych par wartości jest równa
zeru.
Testowanie średnich z prób
zależnych
Dalsze czynności związane z
testowaniem H0 przebiegajÄ… w taki
sam sposób jak w przypadku
testowania wartości średniej i zależą
od postaci hipotezy alternatywnej.
Testy istotności dla
wariancji
Zakłada się, że badana cecha populacji ma
rozkład normalny o nieznanych
parametrach m oraz sð.
Z populacji pobiera siÄ™ n-elementowÄ…
próbę losową prostą w celu zweryfikowania
hipotezy zerowej H0 : sð2 = sð02 ,
wobec
hipotezy alternatywnej
. H1:sð2 (#)(>)(<)sð02 ,
gdzie sð02 jest hipotetycznÄ… wartoÅ›ciÄ…
wariancji w populacji.
Testy istotności dla
wariancji
Do weryfikacji hipotezy zerowej
wykorzystuje siÄ™ statystykÄ™ chi2.
2
nS
Ä„ð2 =ð
2
sð
0
Statystyka ta ma przy założeniu
prawdziwości H0 rozkład chi2 o n-1
stopniach swobody.
Obszary krytyczne testów
O postaci obszarów krytycznych
decyduje postać hipotezy
alternatywnej:
Gdy H1 : sð2 # sð02 to zbiorem
krytycznym jest suma przedziałów
(0,chi2 ) oraz (chi21-ðað2,n-1 ,+ð00)
að1, n-1
Gdy H1 : sð2 > sð02 to zbiorem
krytycznym jest (chi21-ðað, n-1,+ð00)
Gdy H1 : sð2 < sð02 to zbiorem
krytycznym jest (0,chi2 )
að, n-1
Decyzje
Jeżeli wartość obliczona statystyki
wykorzystanej do weryfikacji hipotezy
zerowej:
Należy do zbioru krytycznego, to
hipotezÄ™ zerowÄ… odrzucamy.
Nie należy do zbioru krytycznego, to
nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej na przyjętym
poziomie istotności.
Przykład 2
W celu oszacowania dokładności
pomiarów wykonywanych pewnym
przyrządem o klasie dokładności 0,25
dokonano 8 pomiarów i otrzymano :
18.17, 18.21, 18.05, 18.14, 18.19,
18.22, 18.06, 18.08
Zweryfikować na poziomie istotności
að =ð 0.05 hipotezÄ™ H0: sð2 = 0.0625
dotyczÄ…cÄ… wariancji sð2 wskazaÅ„
przyrzÄ…du wobec hipotezy
alternatywnej H1: sð2 # 0.0625
Równość wariancji dwóch
populacji.
W praktyce, gdy prowadzone sÄ…
badania ze względu na pewną cechę
w dwóch populacjach, zachodzi
potrzeba weryfikacji hipotezy o
jednakowym stopniu rozproszenia
wartości badanej cechy w tych
populacjach.
Pozytywny wynik werfikacji hipotezy o
równości wariancji badanej cechy w
tych populacjach uzasadnia dalsze
badania.
Równość wariancji dwóch
populacji.
Hipoteza zerowa
H0 : sð12 = sð22 (zakÅ‚ada identyczność
wariancji obu populacji)
wobec hipotezy alternatywnej.
H1 : sð12 (#)(>)(<) sð22
Test istotności do weryfikacji H0 ma
postać
F=s12 /s22
O rozkładzie Snedecora z n1 -1 i n2-1
stopniami swobody
Obszary krytyczne testu
Gdy H1 : sð12 > sð22 to zbiorem
krytycznym jest (F1-ðað, n1-1,n2-1,+00)
Gdy H1 : sð12 < sð22 to statystykÄ…
testowÄ… jest 1/F i zbiorem krytycznym
jest (F1-ðað, n2-1,n1-1,+00)
Gdy H1 : sð12 # sð22 to statystykÄ… jest
max(s12 , s22 )/ min(s12 , s22 ) i
zbiorem krytycznym jest (F1-ðað/2, nl-1,nm-
+00), gdzie nl liczebność próbki w
1,
liczniku.