Wykłady ze statystyki matematycznej
5. Weryfikacja hipotez statystycznych z
wykorzystaniem testów parametrycznych
1
Procedura weryfikacji hipotez statystycznych
z wykorzystaniem testu istotności
1. Sformułowanie hipotez H0 i H1 (H0 jest zawsze formułowana w
postaci równości)
2. Określenie poziomu istotności 1- ą
3. Ustalenie wartości statystyki empirycznej temp na podstawie
obserwacji z próby
4. Odczytanie statystyki teoretycznej tt z tablic statystycznych
5. Porównanie wartości statystyki empirycznej temp z wartościami
statystyki teoretycznej tt i podjęcie decyzji o odrzuceniu lub
braku podstaw do odrzucenia H0
2
Test dwustronny
H0: E(x) = E0(x)
E(x)  wartość średnia dla populacji
E0(x)  założona wartość średnia
H1: E(x) `" E0(x)
temp < tt brak podstaw do odrzucenia H0
1-Ä…
2
1 - Ä…
1 - Ä… 1-Ä…
2
2
2
-tt tt
obszar krytyczny obszar krytyczny
(obszar odrzucenia) (obszar odrzucenia)
dla danego poziomu istotności dla danego poziomu istotności
Jeżeli wartość temp wpada w obszar krytyczny należy odrzucić H0
3
Test prawostronny
H0: E(x) = E0(x)
E(x)  wartość średnia dla populacji
E0(x)  założona wartość średnia
H1: E(x) > E0(x)
temp < tt
brak podstaw do odrzucenia H0
1-Ä…
tt
obszar krytyczny (obszar odrzucenia)
dla danego poziomu istotności
Jeżeli wartość temp wpada w obszar krytyczny należy odrzucić H0
4
Test lewostronny
H0: E(x) = E0(x)
E(x)  wartość średnia dla populacji
E0(x)  założona wartość średnia
H1: E(x) < E0(x)
brak podstaw do odrzucenia H0
temp > -tt
1-Ä…
-tt
obszar krytyczny (obszar odrzucenia)
dla danego poziomu istotności
Jeżeli wartość temp wpada w obszar krytyczny należy odrzucić H0
5
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wartości średniej
Założenie: rozkład badanej zmiennej w populacji
generalnej ma charakter rozkładu normalnego
o nieznanej średniej i odchyleniu standardowym
H0 zawsze przyjmuje postać równości:
H0: E(x) = E0(x)
H1 może przyjąć jedną z postaci:
H1: E(x) `" E0(x) test dwustronny
H1: E(x) > E0(x) test prawostronny (jednostronny)
H1: E(x) < E0(x) test lewostronny (jednostronny)
6
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wartości średniej
Model dla małej próby (n d" 30)
x - E0(x)
temp = Å" n -1
s(x)
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic rozkładu
t Studenta:
" test dwustronny  dla k = n -1 oraz poziomu istotności 1- ą
" test jednostronny - dla k = n -1 oraz poziomu istotności 2(1- ą)
7
Zad. 8
Wiadomo, że w minionych latach turysta korzystał średnio z 4
noclegów w hotelu w Hongkongu. Analityk przemysłu turystycznego
chce wiedzieć, czy ostatnie zmiany w uprawianiu turystyki w
Hongkongu zmieniły tę średnią. Zebrano informacje dla losowo
wybranych 26 turystów i otrzymano średnią liczbę noclegów 3,5 i
odchylenie standardowe 2 noclegi. Zakładając, że rozkład noclegów
turystów przebywających w Hongkongu ma charakter rozkładu
normalnego, czy można uważać, że średnia liczba noclegów dla
całej populacji turystów zmieniła się? Przeprowadz
test przyjmujÄ…c
poziom istotności 0,05.
8
Zad. 9
W pewnej korporacji międzynarodowej dla losowo wybranych 17
pracowników otrzymano średni wiek 43 lata i odchylenie
standardowe 3 lata. Zakładając, że wiek pracowników ma rozkład
normalny, czy można uważać, że przeciętny wiek pracownika w tej
korporacji jest istotnie wyższy niż 40 lat? Poziom istotności wynosi
0,01.
9
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wartości średniej
Model dla dużej próby (n > 30)
x - E0(x)
temp = Å" n
s(x)
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic
dystrybuanty rozkładu normalnego:
1-Ä…
" test dwustronny  dla 0,5 -
2
" test jednostronny  dla
0,5 - (1-Ä…)
10
Zad. 10
Zakłada się, że  długość życia opon samochodowych ma rozkład
normalny. Producent twierdzi, że wartość przeciętna tej
charakterystyki jest równa 50 tys. km. Na podstawie 100 losowo
wybranych opon otrzymano średnią 45 tys. km i odchylenie
standardowe 8 tys. km. Czy na poziomie istotności 0,05 można
uważać, że producent ma rację?
11
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla dwóch średnich
Założenie: rozkłady obu populacji są normalne
o nieznanych wartościach średnich i nieznanych,
ale jednakowych odchyleniach standardowych
H0 zawsze przyjmuje postać równości:
H0: E1(x) = E2(x)
H1 może przyjąć jedną z postaci:
H1: E1(x) `" E2(x) test dwustronny
H1: E1(x) > E2(x) test prawostronny (jednostronny)
H1: E1(x) < E2(x) test lewostronny (jednostronny)
E1(x) i E2(x) hipotetyczne wartości średnie dla pierwszej i drugiej
populacji
12
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla dwóch średnich
Model dla dwóch małych prób (n1 i n2 d" 30)
x1 - x2
temp =
ëÅ‚ öÅ‚
n1s12(x) + n2s22(x) 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
+
ìÅ‚
n1 + n2 - 2 n1 n2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic rozkładu
t Studenta:
" test dwustronny  dla k = n1+n2 -2 oraz poziomu istotności 1- ą
" test jednostronny  dla k = n1+n2 -2 oraz poziomu istotności 2(1- ą)
13
Zad. 11
Rodzina Nowaków jez
dzi do hotelu  Sandra grać w kręgle. Ma do
wyboru dwie trasy dojazdu. Nowakowie postanowili sprawdzić, czy
przeciętne czasy przejazdu na obu trasach są takie same. W tym
celu notowali losowo czas podróży alternatywnymi drogami i
otrzymali następujące wyniki.
Dla pierwszej trasy: liczebność zanotowanych przejazdów 13,
średni czas przejazdu 32 minuty, odchylenie standardowe czasu
przejazdu 7 minut.
Dla drugiej trasy: liczebność zanotowanych przejazdów 11, średni
czas przejazdu 30 minut, odchylenie standardowe czasu przejazdu
9 minut.
Przyjmij, że poziom istotności wynosi 0,01.
14
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla dwóch średnich
Model dla dwóch dużych prób (n1 i n2 > 30)
x1 - x2
temp =
s12(x) s22(x)
+
n1 n2
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic
dystrybuanty rozkładu normalnego:
1-Ä…
" test dwustronny  dla
0,5 -
2
" test jednostronny  dla - (1-Ä…)
0,5
15
Zad. 12
Studenci zarządzania i finansów dwóch równoległych lat studiów
uzyskali następujące średnie ocen.
Zarządzanie: średnia ocen 3,6; odchylenie standardowe ocen 2.
Finanse: średnia ocen 4,1; odchylenie standardowe ocen 1,8.
Przy obliczaniu średnich uwzględniono wszystkie stopnie uzyskane
przez studentów w ostatnim roku akademickim. Zbadano 200
studentów na kierunku Zarządzanie i 280 studentów na kierunku
Finanse. Zakładając, że w całej populacji studentów średnia ocen
ma rozkład zbliżony do normalnego, przy poziomie istotności 0,05
zweryfikuj hipotezę, że studenci kierunku Zarządzanie mają gorsze
wyniki w nauce niż studenci kierunku Finanse.
16
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wskaz
nika struktury
Odnosi siÄ™ zazwyczaj do cech opisowych
Założenie: populacja ma rozkład dwupunktowy o
parametrach p i q, gdzie p jest wskaz
nikiem struktury
dla wyróżnionych elementów populacji
H0 zawsze przyjmuje postać równości:
H0: p = p0
H1 może przyjąć jedną z postaci:
H1: p `" p0 test dwustronny
H1: p > p0 test prawostronny (jednostronny)
H1: p < p0 test lewostronny (jednostronny)
p0 hipotetyczna wartość wskaz
nika struktury w populacji
17
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wskaz
nika struktury
Dla dużej próby o liczebności n > 100
zakładany jest poziom istotności 1-ą
m
- p0
n
temp =
p0 Å" q0
n
gdzie:
n  liczebność próby
m  liczba wyróżnionych elementów w próbie
P0  hipotetyczny wskaz
nik struktury dla wyróżnionych
elementów
q0 = 1-p0
18
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla wskaz
nika struktury
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic
dystrybuanty rozkładu normalnego:
1-Ä…
" test dwustronny  dla
0,5 -
2
" test jednostronny  dla - (1-Ä…)
0,5
19
Zad. 13
Wysunięto hipotezę, że 60% Polaków jest w wieku produkcyjnym.
W celu sprawdzenia tej hipotezy zbadano wiek 6000 mieszkańców
pewnego kompleksu budynków i stwierdzono wśród nich 4220 osób
w wieku produkcyjnym. Przy poziomie istotności 0,05 zweryfikuj
założoną hipotezę.
20
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla współczynnika korelacji
Założenie: cechy mają charakter liczbowy a związek
między nimi jest liniowy
H0 zawsze przyjmuje postać równości:
H0: Á = 0
H1 może przyjąć jedną z postaci:
H1: Á `" 0 test dwustronny (wystÄ™puje zależność w sensie
parametrycznym)
H1: Á > 0 test prawostronny (wystÄ™puje zależność o
kierunku dodatnim)
H1: Á < 0 test lewostronny (wystÄ™puje zależność o kierunku
ujemnym)
21
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla współczynnika korelacji
Dla małej próby o liczebności n d" 30
zakładany jest poziom istotności 1-ą
p
r
temp = Å" n - 2
p
1- (r )2
gdzie:
n  liczebność próby
rp  współczynnik korelacji liniowej Pearsona z próby
22
Weryfikacja hipotezy statystycznej
dla współczynnika korelacji
Wartość statystyki teoretycznej tt należy odczytać z tablic
rozkładu t Studenta:
" test dwustronny  dla k = n-2 oraz poziomu istotności 1-ą
" test jednostronny  dla k = n-2 oraz poziomu istotności 2(1-ą)
23
Zad. 14
Sformułowano przypuszczenie, że spożycie ziemniaków jest tym
mniejsze im wyższe są dochody konsumentów. W celu sprawdzenia
tego przypuszczenia wylosowano 10 gospodarstw domowych, dla
których określono roczny dochód na osobę i roczne spożycie
ziemniaków. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona wyniósł
-0,93. Przyjmując poziom istotności 0,01 zweryfikuj sformułowane
przypuszczenie.
24