12. Weryfikacja hipotez statystycznych
Przez hipotezę statystyczną rozumie się pewne przypuszczenie co do rozkładu
populacji generalnej. Prawdziwość tego przypuszczenia sprawdza się na podstawie wyników
próby losowej. Je\
eli formułowane przypuszczenie dotyczy parametrów rozkładu, to mamy
hipotezę parametryczną, natomiast pozostałe hipotezy są nazywane hipotezami
nieparametrycznymi.
Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która ka\
dej mo\
liwej próbie
przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia hipotezy. Oznacza to, \
e test statystyczny
jest regułą rozstrzygającą, jakie wyniki próby pozwalają uznać hipotezę za prawdziwą, a jakie
 za fałszywą. W przypadku hipotez parametrycznych mamy testy istotności, a w przypadku
hipotez nieparametrycznych  testy zgodności.
Niech ¸ - dowolny parametr rozkÅ‚adu zmiennej losowej opisujÄ…cej badanÄ… populacjÄ™
generalnÄ…, ¸0 - ustalona wartość tego parametru. Stawiamy hipotezÄ™ zerowÄ…:
H0 : ¸ = ¸0 ,
która oznacza, \
e nie ma istotnej ró\
nicy między rzeczywistą wartością parametru w populacji
a wartością zadaną. Następnie stawiamy hipotezę alternatywną, przy czym mo\
na to zrobić
na trzy sposoby:
1. H1 : ¸ `" ¸0 ,
2. H1 : ¸ > ¸0 ,
3. H1 : ¸ < ¸0 .
PostawionÄ… hipotezÄ™ nale\
y rozstrzygnąć na podstawie n-elementowej próby losowej
przy zadanym poziomie istotności ą ( 0 < ą < 1 ).
12.1. Weryfikacja hipotez dla wartości średniej w populacji generalnej o
rozkładzie normalnym przy znanym odchyleniu standardowym.
Przykład 12.1 Robotnicy napełniają puszki konserwowe filetami rybnymi Według
normy waga konserw powinna wynosić m0 = 18 g. Z przeprowadzonych wcześniej badań
wynika, \
e odchylenie standardowe wagi konserw wynosi à = 1,5g. Wylosowano n = 20
konserw, dla których średnia waga wyniosła X = 17 g. Przyjmując, \
e rozkład wagi konserw
jest normalny, zweryfikować na poziomie istotności ą = 0,05 hipotezę, \
e waga konserw
ró\
ni siÄ™ nieistotnie od wagi przewidzianej normÄ….
Stawiamy hipotezy
- zerowÄ…: H0 : m = 18 ,
- alternatywnÄ…: H1 : m `" 18 .
Wprowadzamy statystykÄ™:
X - m0
U = Å" n ,
Ã
gdzie:
X - średnia z próby,
m0 - średnia hipotetyczna (według normy),
à - odchylenie standardowe w populacji,
n - liczebność próby.
W naszym przykładzie:
17 - 18
U = Å" 20 = -2,98 .
1,5
Następnym krokiem jest porównanie wartości U i wartości krytycznej uą odczytanej
z kalkulatora prawdopodobieństwa pakietu STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu
normalnego (por. H. Kassyk-Rokicka, Statystyka. Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) przy zadanym
poziomie istotności ą .
Je\
eli U > uą , to hipotezę H0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H1 ,
czyli stwierdzamy, \
e jest istotna ró\
nica między zadaną a rzeczywistą wartością średniej w
populacji.
Je\
eli U < uÄ… , to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
czyli u0,05 H" 1,96 , co oznacza, \
e hipotezÄ™ H0 nale\
y odrzucić, przyjmując hipotezę
alternatywnÄ…. Ryzyko, \
e popełniamy błąd odrzucając hipotezę zerową wynosi 5%, czyli na
100 przypadków w 5 przypadkach decyzja mo\
e być błędna.
Ostatnim etapem jest stwierdzenie, czy podjęta decyzja weryfikacyjna jest
Ć
jednoznaczna. W tym celu nale\
y określić poziom krytycznym ą odczytany z kalkulatora
prawdopodobieństwa pakietu STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H.
Kassyk-Rokicka, Statystyka. Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) dla wartości U .
Ć
Je\
eli Ä… < 0,01 , to decyzja o odrzuceniu hipotezy zerowej jest jednoznaczna.
Ć
Je\
eli Ä… > 0,01, to decyzja o odrzuceniu hipotezy zerowej jest niejednoznaczna
(rozmyta) i z reguły zaleca się powtórzenie testu dla próby o większej liczebności.
W naszym przypadku
Ć
skÄ…d Ä… H" 0,003 < 0,01, czyli decyzja jest jednoznaczna.
Przykład 12.2 Przyjmując, \
e średnice śrub pochodzących z masowej produkcji
majÄ… rozkÅ‚ad normalny, w którym odchylenie standardowe jest znane i wynosi à = 0,1mm,
zweryfikować hipotezę H0 : m = 8 mm, tzn. \
e przeciętna długość średnicy wynosi 8 mm
w oparciu o następujące wyniki pomiarów średnic n = 9 przypadkowo wybranych śrub:
Przyjąć poziom istotności ą = 0,01.
Najpierw obliczymy średnią z próby, korzystając z modułu statystyki opisowe pakietu
STATISTICA"!PL
Teraz stawiamy hipotezÄ™ zerowÄ…
H0 : m = 8
oraz hipotezÄ™ alternatywnÄ…
H1 : m `" 8 .
Następnym krokiem jest obliczenie wartości statystyki U
8,02 - 8
U = Å" 9 = 0,6
0,1
oraz odczytanie wartości krytycznej uą z kalkulatora prawdopodobieństwa pakietu
STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H. Kassyk-Rokicka, Statystyka.
Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) przy zadanym poziomie istotności ą
czyli u0,01 H" 2,58 . Mamy więc
U = 0,6 < 2,58 = uÄ…
co oznacza, \
e nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Ryzyko, \
e popełnimy błąd
nie odrzucając hipotezy zerowej wynosi 1%, czyli na 100 przypadków w 1 przypadku decyzja
mo\
e być błędna.
Ostatnim etapem jest stwierdzenie, czy podjęta decyzja weryfikacyjna jest
Ć
jednoznaczna. W tym celu nale\
y określić poziom krytycznym ą odczytany z kalkulatora
prawdopodobieństwa pakietu STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H.
Kassyk-Rokicka, Statystyka. Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) dla wartości U .
Ć
Je\
eli Ä… > 0,1 , to decyzja o nieodrzuceniu hipotezy zerowej jest jednoznaczna.
Ć
Je\
eli Ä… < 0,1, to decyzja o nieodrzuceniu hipotezy zerowej jest niejednoznaczna
(rozmyta) i z reguły zaleca się powtórzenie testu dla próby o większej liczebności.
Ć
skÄ…d Ä… H" 0,55 > 0,1, czyli decyzja jest jednoznaczna.
12.2. Weryfikacja hipotez dla wartości średniej w populacji generalnej o
rozkładzie normalnym przy nieznanym odchyleniu standardowym w
przypadku du\
ej próby (n>100).
Przykład 11.3 Producent oświadcza, \
e średni czas świecenia \
arówek wynosi 1000
godzin. Aby zweryfikować hipotezę H0 : m = 1000 , tzn. \
e średni czas świecenia wynosi
1000 godzin pobrano próbę losową o liczebności n = 100 i stwierdzono, \
e w tej próbie
X = 995 oraz S2(X ) = 36 . Na poziomie istotności ą = 0,02 zweryfikować tę hipotezę.
Stawiamy hipotezÄ™ zerowÄ…
H0 : m = 1000
oraz hipotezÄ™ alternatywnÄ…
H1 : m `" 1000 .
Następnie obliczamy wartość statystyki U
X - m0 995 - 1000
U = Å" n = Å" 100 = -8,33
S( X ) 6
oraz odczytujemy wartość krytyczną uą z kalkulatora prawdopodobieństwa pakietu
STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H. Kassyk-Rokicka, Statystyka.
Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) przy zadanym poziomie istotności ą
czyli u0,02 H" 2,33 . Mamy więc
U = 8,33 > 2,33 = uÄ…
co oznacza, \
e hipotezÄ™ zerowÄ… nale\
y odrzucić. Ryzyko, \
e popełnimy błąd odrzucając
hipotezę zerową wynosi 2%, czyli na 100 przypadków w 2 przypadkach decyzja mo\
e być
błędna.
Ostatnim etapem jest stwierdzenie, czy podjęta decyzja weryfikacyjna jest
Ć
jednoznaczna. W tym celu nale\
y określić poziom krytycznym ą odczytany z kalkulatora
prawdopodobieństwa pakietu STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H.
Kassyk-Rokicka, Statystyka. Zbiór zadań, Tab. 4, str.237) dla wartości U .
czyli decyzja jest jednoznaczna.
12.3. Weryfikacja hipotez dla wartości średniej w populacji generalnej o
rozkładzie normalnym przy nieznanym odchyleniu standardowym w
przypadku małej próby (n<30).
Przykład 12.4 Zakład  Omega otrzymuje od zakładu  Alfa pręty stalowe, których
długość powinna wynosić 100 cm. Odbiorca zło\
ył reklamację, \
e pręty są niewymiarowe.
Dostawca w obecności odbiorcy wylosował n = 10 prętów z ostatniej partii produkcji, które
zmierzono i otrzymano wyniki (w cm)
Czy na poziomie istotności ą = 0,05 mo\
na uznać reklamację za słuszną i czy ta decyzja jest
jednoznaczna?
Najpierw obliczymy średnią oraz odchylenie standardowe z próby, korzystając z
modułu statystyki opisowe pakietu STATISTICA"!PL
Stawiamy hipotezÄ™ zerowÄ…
H0 : m = 100
oraz hipotezÄ™ alternatywnÄ…
H1 : m `" 100 .
Następnie obliczamy wartość statystyki t
X - m0 99,3 -100
t = Å" n -1 = Å" 9 = -1,11
S( X ) 1,89
oraz odczytujemy wartość krytyczną tą ;s z kalkulatora prawdopodobieństwa pakietu
STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu t-Studenta (por. H. Kassyk-Rokicka, Statystyka.
Zbiór zadań, Tab. 6, str.240) przy zadanym poziomie istotności ą oraz s = n -1 stopniach
swobody
czyli t0,05;9 H" 2,26 . Mamy więc
t = 1,11 < 2,26 = tÄ… ;s
co oznacza, \
e nie ma podstaw odrzucenia hipotezy zerowej. Nie więc tak\
e podstaw do
przyjęcia reklamacji, \
e produkowane pręty są niewymiarowe. Ryzyko, \
e popełnimy błąd nie
odrzucając hipotezy zerowej wynosi 5%, czyli na 100 przypadków w 5 przypadkach decyzja
mo\
e być błędna.
Ostatnim etapem jest stwierdzenie, czy podjęta decyzja weryfikacyjna jest
Ć
jednoznaczna. W tym celu nale\
y określić poziom krytycznym ą odczytany z kalkulatora
prawdopodobieństwa pakietu STATISTICA"!PL lub z tablicy rozkładu normalnego (por. H.
Kassyk-Rokicka, Statystyka. Zbiór zadań, Tab. 6, str.240) dla wartości t oraz s = n - 1.
Ć
skÄ…d Ä… H" 0,296 > 0,1, czyli decyzja jest jednoznaczna.